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专题03 等式性质与不等式性质
1.（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
2．（2019·四川理）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
【常用结论】
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
考点一　比较两个数(式)的大小
1.若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pq D．p≥q
2.(2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
【思维升华】
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
考点二　不等式的性质
3.（2022高二下·福田期中）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4.(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若aC．若c>a>b>0，则<
D．若a>b>c>0，则>
【思维升华】
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
考点三　不等式性质的综合应用
5.（2022·南宁模拟）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（　　）．
A．7 B．9 C．11 D．12
6.（2022·玉林模拟）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（　　）
A． B． C． D．e
【思维升华】
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
一、单选题
1.（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
．（2022·马鞍山模拟）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·长春模拟）对任意不相等的两个正实数，，满足的函数是（　　）
A． B． C． D．
4.关于函数和实数的下列结论中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2021高三上·杭州期末）设，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·朝阳期末）设函数，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·黄浦模拟）下列不等式中，与不等式解集相同的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021·云南模拟）已知函数的图象如图，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022·攀枝花模拟）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10.（2021·江苏模拟）若 则满足 的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11.（2022·上海）不等式 的解集为　 　
12.（2022·静安模拟）函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为　 　.
13.（2022·东城模拟）已知函数若，则不等式的解集为　 　；若恰有两个零点，则的取值范围为　 　.
14.已知函数，当时，恒成立，则　 　．
三、解答题
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________．
16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
专题03 等式性质与不等式性质
1.（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
2．（2019·四川理）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
【答案】D
【解析】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则 ， ，∴A、B不正确；
， =﹣ ，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
【常用结论】
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
考点一　比较两个数(式)的大小
1.若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pq D．p≥q
【答案】B
【解析】p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p综上，p≤q.
2.(2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
【答案】C
【解析】a5＝5a，即＝，
b4＝4b，即＝，
c3＝3c，即＝，
设f(x)＝，
则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
f′(x)＝(x>0)，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减，
当0f′(x)>0，f(x)＝单调递增，
因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，
f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)所以f(a)【思维升华】
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
考点二　不等式的性质
3.（2022高二下·福田期中）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设，则恒成立，
函数f(x)在[e，+∞)上单调递减，
∴f(e)>f(3)>f(4)，
即 ，
则c故选：B．
4.(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若aC．若c>a>b>0，则<
D．若a>b>c>0，则>
【答案】D
【解析】对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；
对于B选项，当a＝－3，b＝－2时，满足a对于C选项，当c＝3，a＝2，b＝1时，＝>＝，故C选项为假命题；
对于D选项，由于a>b>c>0，所以－＝＝＝>0，即>，故D选项为真命题．
【思维升华】
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
考点三　不等式性质的综合应用
5.（2022·南宁模拟）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（　　）．
A．7 B．9 C．11 D．12
【答案】B
【解析】解：易知等价于．
令，则．
令得．
当时；当时．
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值．
令，则．
当时不符合，舍去，所以．
则，．
当时；当时．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值．
若成立，只需，
即，即．
两边取自然对数可得．
当时等式成立；当时有．
令，本题即求的最大的正整数．
恒成立，则在上单调递减．
因为，，，
所以的最大正整数为9．
故答案为：B．
6.（2022·玉林模拟）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（　　）
A． B． C． D．e
【答案】D
【解析】因为不等式，所以，得，
设，则上式不等式等价于对任意的实数恒成立，
当时，，故在上单调递增，因为，所以，所以原问题可转化为，即，
设，，，可知，，可知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以实数a的最大值为e.
故答案为：D
【思维升华】
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
一、单选题
1.（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得， ，则 = ，
故选：D
．（2022·马鞍山模拟）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】偶函数在上单调递增，则在上单调递减，而，
因，则当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：B
3．（2022·长春模拟）对任意不相等的两个正实数，，满足的函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
A，对于函数，，
，不符合题意.
D，对于函数，
，
，不符合题意.
C选项，设，，
，
，不符合题意.
对于B选项，为正实数，
，
，
，
所以，
所以成立.B选项正确.
故答案为：B
4.关于函数和实数的下列结论中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】解：因为，
所以函数是一个偶函数，
又时，与是增函数，且函数值为正数，
故函数在上是一个增函数
由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，
此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，
函数值就小，反之也成立，
考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，A不符合题意；
B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，B不对；
C选项是正确的，由，一定得出；
D选项由，可得出，但不能得出，不成立，
故答案为：C．
5．（2021高三上·杭州期末）设，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，且有，
因为，
所以，，因此，.
故选：D.
6．（2022高三上·朝阳期末）设函数，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，可得，故；
当时，，可得，故.
综上，.
故答案为：C.
7．（2022·黄浦模拟）下列不等式中，与不等式解集相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】显然，所以不等式等价于。
故答案为：B．
8．（2021·云南模拟）已知函数的图象如图，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】记，定义域为，关于原点对称.
又，故其为奇函数.
当时，，；当时，.
由图可知：当或时，；当或时，.
故不等式的解集为：.
故答案为：A.
9．（2022·攀枝花模拟）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，由 恒成立，二次函数的对称轴为 ，
（1）当 时， 在 上单调递减，则 恒成立，
（2）当 时， ，所以
综上可知，当 时， 在 上恒成立；
当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，函数单增，又 ，所以 ；
综上可知， 的取值范围是 ，
故答案为：D
10.（2021·江苏模拟）若 则满足 的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】①当 或0时， 成立；
②当 时， ，可有 ，解得 ；
③当 且 时， ，
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ，
所以 ，
则原不等式的解为 。
故答案为：B
二、填空题
11.（2022·上海）不等式 的解集为　 　
【答案】
【解析】解：由题意得 等价于x(x-1)<0，解得0故答案为： .
12.（2022·静安模拟）函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为　 　.
【答案】{x|x＜-1或x＞1}
【解析】因为当时，单调递增，且，
所以等价于.
因为为偶函数，所以，解得或，
即不等式的解集为{x|x＜-1或x＞1}
故答案为：{x|x＜-1或x＞1}
13.（2022·东城模拟）已知函数若，则不等式的解集为　 　；若恰有两个零点，则的取值范围为　 　.
【答案】（-1，ln2）；（e,+∞）
【解析】当时，
则不等式可转化为或
解得或，
所以，则不等式的解集为；
由题意可知的零点个数可转为与的零点个数之和，
当时，没有零点，没有零点，
此时没有零点；
当时，没有零点，有且仅有一个零点，
此时只有一个零点；
当时，没有零点，
由可得，令，
则，
易知在上单调递减，在单调递增，
；
此时要有两个零点则必有；
综上所述若恰有两个零点，则的取值范围为.
故答案为：（-1，ln2），（e,+∞）
14.已知函数，当时，恒成立，则　 　．
【答案】-3
【解析】当时，恒成立，则对任意恒成立，
则时，恒成立
①
②
③
④
①+②
③+④，
代入①代入③，
，﹒
证明满足题意：
，则，
-1 1
　 + 　 - 　 + 　
-1 ↗ 极大值：1 ↘ 极小值：-1 ↗ 1
由表可知，|f(x)|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒
故答案为：-3.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________．
【答案】　
【解析】　因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，
所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
所以1>－>，即1>－1－>.
所以解得－2<<－.
即的取值范围为.
16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
【答案】　①6　②12
【解析】　设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得且x，y，z均为正整数．
①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时z＝3，y＝4.
∴该小组人数的最小值为12.

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