资源简介

专题02 常用逻辑用语
1．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·全国甲卷）等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) x∈M，綈p(x)
【常用结论】
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A B；
②若p是q的充分不必要条件，则A?B；
③若p是q的必要不充分条件，则B?A；
④若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
考点一　充分、必要条件的判定
1．（2021·北京）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·天津）已知 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
【思维升华】
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
考点二　充分、必要条件的应用
3．（2022·徐州模拟）关于椭圆 ： ，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为 ；丁：右准线的方程为 ；如果只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2021高三上·山东月考）若“”为假命题，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【思维升华】
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
考点三　全称量词与存在量词
5.已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
6.命题：“奇数的立方是奇数”的否定是________．
【思维升华】
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．
一、单选题
1．（2022·凉山模拟）下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．中，，
B．，成等比数列
C．是数列的前n项和，p：数列为等比数列，q：数列，，成等比数列
D．，，
2．（2022·成都模拟）命题“，”的否定是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·毕节模拟）设有下列四个命题：
：“，使得”的否定是“，都有”；
：若函数是奇函数，则必有；
：函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；
：若幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则．
则下述命题中真命题是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·如皋模拟）函数有两个零点的一个充分不必要条件是（　　）
A．a=3 B．a=2 C．a=1 D．a=0
5．（2022·永州三模）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021高三上·新都月考）下列命题中正确的是（　　）
A．函数 满足 ，则 的图像关于直线 对称
B．函数 满足 ，则 是以4为周期的周期函数
C．若函数 为奇函数，则 （ 为自然对数的底数）
D．若函数 为奇函数，则
7．（2021高三上·宜春月考）对于实数 ，下列说法：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，且 ，则 ，其中正确的命题的个数
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020·海南模拟）已知命题 ：“若 为锐角三角形，则 ”；命题 ：“ ，使得 成立”若命题 与命题 的真假相同，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·西安模拟）已知命题p：不等式组命题q：，若p是q的充分条件，则r的取值范围为　 　.
10．（2022·晋中模拟）命题 ： ， ，则 为　 　.
11．（2022·葫芦岛模拟）写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件　 　（用m的值或范围作答）．
12．（2021高三上·山东月考）已知命题 ： ，命题 ： ，若命题 是命题 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是　 　．
三、解答题
13．（2021高三上·太原期中）已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）判断“ ”是“ ”的什么条件？并说明理由.（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）
14．（2021高三上·广东月考）函数 的值域为集合 ，函数 的定义域为集合 ，记 .
（1）若 ，试判断 是 的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
专题02 常用逻辑用语
1．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.
故答案为：A
2．（2021·全国甲卷）等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) x∈M，綈p(x)
【常用结论】
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A B；
②若p是q的充分不必要条件，则A?B；
③若p是q的必要不充分条件，则B?A；
④若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
考点一　充分、必要条件的判定
1．（2021·北京）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；
②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，
所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，
所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.
故答案为：A
2．（2021·天津）已知 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；
当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，
故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.
故答案为：A
【思维升华】
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
考点二　充分、必要条件的应用
3．（2022·徐州模拟）关于椭圆 ： ，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为 ；丁：右准线的方程为 ；如果只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】依题意，甲： ；乙： ；丙： ；丁： ；∵ ，∴甲丙丁真命题，故乙为假命题﹒
故答案为：B﹒
4．（2021高三上·山东月考）若“”为假命题，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意知命题“”为假命题，
则“”为真命题，
所以，则，
解得，所以的取值范围为.
故答案为：A
【思维升华】
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
考点三　全称量词与存在量词
5.已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
【答案】C
【解析】由存在量词命题的否定可知，綈p为 n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误．
6.命题：“奇数的立方是奇数”的否定是________．
【答案】存在一个奇数，它的立方不是奇数
【思维升华】
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．
一、单选题
1．（2022·凉山模拟）下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．中，，
B．，成等比数列
C．是数列的前n项和，p：数列为等比数列，q：数列，，成等比数列
D．，，
【答案】D
【解析】对A，中由正弦定理，且均为正数可知，若则，，反之也成立， p是q的充要条件；
对B，若成等比数列则，但当时，且不成等比数列，故p是q的必要不充分条件；
对C，数列时为等比数列时，但，，不成等比数列，故p不是q的充分不必要条件；
对D，当时，，但当时，也成立，故p是q的充分不必要条件
故答案为：D
2．（2022·成都模拟）命题“，”的否定是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由全称命题的否定可知：“，”的否定是“，”.
故答案为：A.
3．（2022·毕节模拟）设有下列四个命题：
：“，使得”的否定是“，都有”；
：若函数是奇函数，则必有；
：函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；
：若幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则．
则下述命题中真命题是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题“，使得”的否定是“，都有”，所以命题为假命题；
若函数是奇函数，只有当上有定义时，才有，所以命题为假命题，则命题为真命题；
将函数的图象向右平移2个单位，可得，
所以命题为真命题，命题为假命题；
当时，幂函数的图象与坐标轴没有公共点，所以命题为假命题，
则为真命题；
根据复合命题的真假判定方法，可得命题、和都是假命题；
命题为真命题.
故答案为：B.
4．（2022·如皋模拟）函数有两个零点的一个充分不必要条件是（　　）
A．a=3 B．a=2 C．a=1 D．a=0
【答案】A
【解析】，有两个零点，有两种情形：
①1是的零点，则，此时有1，2共两个零点
②1不是的零点，则判别式，即
∴是有两个零点的充分不必要条件
故答案为：A．
5．（2022·永州三模）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，得，
取，，此时满足，但是不满足，
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
6．（2021高三上·新都月考）下列命题中正确的是（　　）
A．函数 满足 ，则 的图像关于直线 对称
B．函数 满足 ，则 是以4为周期的周期函数
C．若函数 为奇函数，则 （ 为自然对数的底数）
D．若函数 为奇函数，则
【答案】D
【解析】对于A中，函数 满足 ，即 ，
所以函数 的图像关于直线 中心对称，所以A不正确；
对于B中，函数 满足 ，可得 ，
得不到 的形式，所以函数 不是周期函数，所以B不正确；
对于C中，若函数 为奇函数，
则 ，
解得 ，即当 时，函数 为奇函数，所以C不正确；
对于D中，若函数 为奇函数，
则 ，即 ，即 ，
所以 ，所以D符合题意.
故答案为：D.
7．（2021高三上·宜春月考）对于实数 ，下列说法：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，且 ，则 ，其中正确的命题的个数
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于实数 ，①若 ，则m=0， ，不成立；
②由f（x）=x|x|为奇函数，且x≥0时，f（x）递增，可得f（x）在R上递增，
若a＞b，则a|a|＞b|b|成立；
③若b＞a＞0，m＞0，则
可得 成立；
④若a＞b＞0且|lna|=|lnb|，则lna＞lnb，即有a＞1，0＜b＜1，可得lna+lnb=0，即 在（1，+∞）递增，可得 成立．所以④不正确．
故答案为：B．
8．（2020·海南模拟）已知命题 ：“若 为锐角三角形，则 ”；命题 ：“ ，使得 成立”若命题 与命题 的真假相同，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先判断命题 的真假,若 为锐角三角形,则 ,则 ,由此 ,所以 ,即 ,所以命题 为假命题,
因为命题 与命题 的真假相同,故命题 也为假命题,即命题“ ,使得 成立”是假命题,所以命题 :“ 恒成立”为真命题,
因为 ,所以 ,解得 ,即实数 的取值范围是 .
故选:C
二、填空题
9．（2022·西安模拟）已知命题p：不等式组命题q：，若p是q的充分条件，则r的取值范围为　 　.
【答案】[5，+∞)
【解析】如图，阴影部分为命题p表示的点的集合，命题q为以原点为圆心的圆的内部，
要想p是q的充分条件，则圆要把阴影部分包含在内，
故当圆过点时，为r的最小值，此时，
所以r的取值范围为[5，+∞).
故答案为：[5，+∞)
10．（2022·晋中模拟）命题 ： ， ，则 为　 　.
【答案】 ，
【解析】命题 ： ， . 则 为： ，
故答案为： ，
11．（2022·葫芦岛模拟）写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件　 　（用m的值或范围作答）．
【答案】m=1（答案不唯一）
【解析】当时，易知，又，，
显然，故是命题“，”成立的充分不必要条件.
故答案为：m=1（答案不唯一）.
12．（2021高三上·山东月考）已知命题 ： ，命题 ： ，若命题 是命题 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】4＜a≤6
【解析】 移项整理可得 ，解得 ，
得 ，
由题意得： 且 ，从而得出4＜a≤6。
故答案为：4＜a≤6。
三、解答题
13．（2021高三上·太原期中）已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）判断“ ”是“ ”的什么条件？并说明理由.（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）
【答案】（1）解：解不等式： ，解得 ，则 ，
解不等式： ，解得 ，则 ，
所以 .
（2）解：由(1)知， ， ，
显然 ，而 ，即 ，则 “ ”不是“ ”的充分条件，
又 ，而 ，即 ，则 “ ”不是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
14．（2021高三上·广东月考）函数 的值域为集合 ，函数 的定义域为集合 ，记 .
（1）若 ，试判断 是 的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：令 ，因为 ，所以
且
函数 的值域也就是函数 的值域，
根据二次函数的图像特征可知，函数 在 上单调递增
于是可求得
函数 有意义需要 ，即
，所以
若 ，则 ， 是 的既不充分也不必要条件.
（2）解：若 是 的充分不必要条件，则 ，即
解得： .

展开更多......

收起↑