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专题04 基本不等式
1．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B．
C． D．
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【拓展训练】
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．
1．(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当ad＝bc时，等号成立．
推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立)．
2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
3．(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：
＋
≥.
考点一　利用基本不等式求最值
1.（2022·保定模拟）已知a，，且，则a+2b的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
2.（2022·马鞍山模拟）若，，，则的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
【思维升华】
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
考点二　基本不等式的常见变形应用
3.(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
【思维升华】
　基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
考点三　基本不等式的实际应用
4.（2022·武汉模拟）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．9
5.已知，定义，则的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．1
【思维升华】
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
考点四　柯西不等式的实际应用
6.已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为________．
一、单选题
1.（2022·宝鸡模拟）已知，，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2.（2022·安徽模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
3．（2022高三下·四川）已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4.（2022·凉山模拟）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5.（2022·湖北模拟）已知实数满足，则的最小值为(　　)
A．2 B．1 C．4 D．5
6.（2022·湛江模拟）若，且，则的最小值为（　　）
A．9 B．3 C．1 D．
7.（2022·邵阳模拟）函数的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
8.（2022·浙江模拟）已知互不相等的三个正数a，b，c，则在三个值中，大于2的个数的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知等腰直角三角形的斜边长为4，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10.（2022·湖州模拟）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的个数是（　　）
① 的最小值是4；② 恒成立；③ 恒成立；④ 的最大值是 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11.（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
13．（2022·郑州模拟）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，，则△面积的最小值是　 　．
14.(2022·百师联盟联考)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋b的最小值为________．
三、解答题
15.(2022·重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为多少？
16．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是多少？
专题04 基本不等式
1．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
2．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【拓展训练】
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．
1．(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当ad＝bc时，等号成立．
推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立)．
2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
3．(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：
＋
≥.
考点一　利用基本不等式求最值
1.（2022·保定模拟）已知a，，且，则a+2b的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以a+2b的最大值为.
故答案为：C
2.（2022·马鞍山模拟）若，，，则的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】由，
因为，，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：B
【思维升华】
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
考点二　基本不等式的常见变形应用
3.(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由图形可知，OF＝AB＝(a＋b)，
OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF＝＝，
∵CF≥OF，
∴≥(a＋b)(a>0，b>0)．
【思维升华】
　基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
考点三　基本不等式的实际应用
4.（2022·武汉模拟）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．9
【答案】A
【解析】由圆的方程知：圆心；
直线过圆的圆心，；
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故答案为：A.
5.已知，定义，则的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．1
【答案】A
【解析】由定义，得，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
所以，即的最小值为5.
故答案为：A
【思维升华】
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
考点四　柯西不等式的实际应用
6.已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为________．
答案　3
解析　(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)＝9，
∴ax＋by＋cz≤3，
当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时取“＝”，
∴ax＋by＋cz的最大值为3.
一、单选题
1.（2022·宝鸡模拟）已知，，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由，可得，所以，则，因为，，则，当且仅当即时，取得等号，所以，即的最小值是4，
故答案为：A．
2.（2022·安徽模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】解：因为，
所以，即，
由余弦定理易得，
又
平分角A，
．
由，
得，
即，
即，
，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为18．
故答案为：D．
3．（2022高三下·四川）已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的公差d，由有，
解得，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故答案为：A
4.（2022·凉山模拟）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设，，，，
则，，，
，当且仅当时等号成立
故答案为：A．
5.（2022·湖北模拟）已知实数满足，则的最小值为(　　)
A．2 B．1 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由得，因式分解得，
则，当且仅当时取得最小值．
故答案为：A．
6.（2022·湛江模拟）若，且，则的最小值为（　　）
A．9 B．3 C．1 D．
【答案】C
【解析】解：因为，所以，
因为
所以，即，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最小值为1.
故答案为：C
7.（2022·邵阳模拟）函数的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当 即 时等号成立.
故答案为：D.
8.（2022·浙江模拟）已知互不相等的三个正数a，b，c，则在三个值中，大于2的个数的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为，等号成立条件，与已知条件矛盾，∴，
若都不大于2，则与矛盾，中至少有一个大于2．
另一方面，若时，，只有一个大于2，满足，所以成立，故在三个值中，大于2的个数最小值为1．
故答案为：A．
9．已知等腰直角三角形的斜边长为4，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令
设中点为，建系，，令
到距离到距离，
①设，
，当且仅当时取等号；
②设，
，当且仅当时取等号．
．
故答案为：A.
10.（2022·湖州模拟）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的个数是（　　）
① 的最小值是4；② 恒成立；③ 恒成立；④ 的最大值是 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①，当且仅当2m=2n+1，即m=n+1，即n=0，m=1等号成立，而n>0，故错误；
②令y=n+sinm-1，因为m>0，n>0，且m+n=1，所以f(m)=sinm-m，m∈(0，1)，
则f'(m)=cosm-1≤0，所以 f(m)在(0，1)上递减，则f(m)③因为m>0，n>0，且m+n=1，所以，当且仅当m=n=时，等号成立，则
log2m + log2n = log2mn ≤ log2=-2，故正确；
④因为
令，n∈(0.1)，则，n∈(0.1)，
令f(n)=0，解得n=2-∈(0，1)，n=2+ (0，1)，
当00，当2-所以当n=2-时， 取得最大值故正确.
故答案为：C
二、填空题
11.（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
【答案】 或
【解析】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
【答案】2
【解析】根据题意有，令，则，
令，则，
所以函数在R上单调递减，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为2。
故答案为：2。
13．（2022·郑州模拟）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，，则△面积的最小值是　 　．
【答案】
【解析】由正弦定理得
∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
又∵，∴，
由可知，，
，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，即，
，则，即，当且仅当时取等号，
则。
故答案为：。
14.(2022·百师联盟联考)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋b的最小值为________．
答案　2　
解析　∵a＋2b＝2ab，
∴2ab≥2，即ab≥2，
当且仅当a＝2b，即b＝1，a＝2时等号成立，
故ab的最小值为2.
∵a＋2b＝2ab，
∴＋＝2，
∵2a＋b＝(2a＋b)··
＝
≥(5＋2)＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
∴2a＋b的最小值为.
三、解答题
15.(2022·重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为多少？
答案　3＋2
解析　因为x>0，y>0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得＋＝1＋＋2＋
＝3＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，
即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，
所以＋的最小值为3＋2.
16．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是多少？
答案　4
解析　∵a>b>0，∴a－b>0，
∴a(a－b)>0，a2＋＋
＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.

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