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专题05 一元二次方程、不等式
1.（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2019·四川理）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
考点一　一元二次不等式的解法
1.（2022·吉林模拟）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【思维升华】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
考点二　一元二次不等式恒(能)成立问题
3.(2022·漳州模拟)对 x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．－2C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2
4.(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【思维升华】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
一、单选题
1.（2022·宁乡模拟）不等式 的解集是（　　）
A． 或 B．
C． D． 或
2.（2022·邵阳模拟）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高三上·南开期末）设，则“”是“”的（　　）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4.（2021高三上·洮南月考）若命题“ ， ”为假命题，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
5.（2021高三上·桂林月考）已知函数f(x)= 若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．8
6.（2021·安阳模拟）已知命题 “ ， ”，命题 “函数 的定义域为 ”，若 为真命题，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7.（2021·遂宁模拟）已知集合 ， ，则下列判断正确的是（　　）
A． B．
C． 且 D．
8．（2021高三上·南溪月考）已知 是等差数列， 为 的前 项和，若 ， ，则 最大值为（　　）
A． 16 B．25 C．27 D．32
.9.(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
10.已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1， x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．－2
填空题
11.（2022·怀化模拟）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是　 　.
12.（2021高三上·慈溪期末）已知平面向量，，，其中，是单位向量且满足，，若，则的最小值为　 　.
13.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
14．若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
三、解答题
15．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
16．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
专题05 一元二次方程、不等式
1.（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：对于A，令a=2,b=1,c=0,d=-3，则a+d=-1,b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b,c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2,b=1,c=0,d=-3，则ad=-3,bc=0，此时ad对于D，令a=-1,b=-2,c=-3,d=-4，则ac=3,bd=8，此时ac故答案为：B
2.（2019·四川理）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
【答案】D
【解析】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则 ， ，∴A、B不正确；
， =﹣ ，
∴C不正确，D正确．
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
考点一　一元二次不等式的解法
1.（2022·吉林模拟）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恒成立，即，解得：.
故答案为：A
2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
若，则
故答案为：A．
【思维升华】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
考点二　一元二次不等式恒(能)成立问题
3.(2022·漳州模拟)对 x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．－2C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2
答案　A
解析　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，
需即有
解得－2综上可得，a的取值范围为(－2,2]．
4.(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
∴x<－1或x>3.
【思维升华】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
一、单选题
1.（2022·宁乡模拟）不等式 的解集是（　　）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】B
【解析】不等式 得 。
故答案为：B.
2.（2022·邵阳模拟）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以 .
故答案为：C.
3．（2021高三上·南开期末）设，则“”是“”的（　　）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】解：不等式的解为或，
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故答案为：D.
4.（2021高三上·洮南月考）若命题“ ， ”为假命题，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】解：∵命题“ ， ”为假命题，
∴命题“ ， ”为真命题，
∴ =(2m)2-4·1·(m+2)≤0,
解得
故答案为：A
5.（2021高三上·桂林月考）已知函数f(x)= 若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】由题设，分段函数的图象如下：
若不等式有 且 ，要使 上 恰有1个整数解，
由图及函数性质知： 或 或 ，
∴对应解集端点的最值分别为 或 或 ，而 ，
∴ 或 或 ，A的最大值是8.
故答案为：D
6.（2021·安阳模拟）已知命题 “ ， ”，命题 “函数 的定义域为 ”，若 为真命题，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， 得 ，则 ，所以 或
由函数 的定义域为 ，则 ， ，
所以a=0或
因为 为真命题，所以 均真，则
故答案为：A
7.（2021·遂宁模拟）已知集合 ， ，则下列判断正确的是（　　）
A． B．
C． 且 D．
【答案】A
【解析】 ，解得： ，
即 ，
，解得： ，即 ，
满足 ， ， 且 ，
只有A符合题意.
故答案为：A
8．（2021高三上·南溪月考）已知 是等差数列， 为 的前 项和，若 ， ，则 最大值为（　　）
A． 16 B．25 C．27 D．32
【答案】D
【解析】解：由题意得S4=4×5+6d=8，解得d=-2
则
假设第n项时， 最大 ，
则，即
解得
∵n是正整数
∴n=4
即当n=4时， 最大，最大值为42(6-4)=32
故答案为：D
.9.(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.
当2a>1，即a>时，
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1则3<2a≤4，
解得当2a＝1，即a＝时，
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0无解，
所以a＝不符合题意；
当2a<1，即a<时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|2a则－2≤2a<－1，解得－1≤a<－.
综上，a的取值范围是.
10.已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1， x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．－2
答案　D
解析　因为f(x)＝4ax2＋4x－1，
所以f(0)＝－1<0成立．
当x∈(－1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，
所以4a当x∈(－1,0)∪(0,1)时，
∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
所以－＝2－4≥－4，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以4a<－4，解得a<－1.
二、填空题
11.（2022·怀化模拟）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是　 　.
【答案】[2，+∞)
【解析】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：[2，+∞)．
12.（2021高三上·慈溪期末）已知平面向量，，，其中，是单位向量且满足，，若，则的最小值为　 　.
【答案】
【解析】
又，是单位向量且
上式
令，代入上式整理得：
关于x的方程有实数解
整理得：，解得
故答案为：.
13.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
答案　[－4,3]
解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即114．若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
答案　
解析　对于方程x2＋ax－2＝0，
∵Δ＝a2＋8>0，
∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，
又∵两根之积为负，
∴必有一正根一负根，
设f(x)＝x2＋ax－2，
于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，
即5a＋23>0，
解得a>－.
故a的取值范围是.
三、解答题
15．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解　(1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0 x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，
原不等式的解集为 ；
当a＋1<－1，即a<－2时，
原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，
原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为 ；
当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．
16．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解　(1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，
使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，
故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2)．

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