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专题01 集合
1．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
　 表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
【常用结论】
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
考点一　集合的含义与表示
1．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·浙江宁波·高三期中）已知集合，，则______.（用集合的描述法表示）
【方法总结】解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
考点二　集合间的基本关系
3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若全集，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足的集合M的个数为________；
【方法总结】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
考点三　集合的运算
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.
考点四　利用集合的运算求参数的值或范围
7．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知集合或，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·上海长宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围为___________.
【方法总结】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
考点五　集合的新定义问题
9．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·全国·模拟预测）设是一个非空集合，集合是集合的若干个子集所组成的新集合，即且，其中表示集合中元素的个数，若满足：
（1），；
（2）对于中的任意两个元素，，其交集；
（3）对于中的任意两个元素，，其并集；
则称是集合上的一个拓扑结构．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①集合是集合上的一个拓扑结构；
②集合是集合上的一个拓扑结构；
③集合是集合上的一个拓扑结构；
④集合上仅有3个拓扑结构且分别为，，．
【方法总结】解决集合新定义问题的关键：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
一、单选题
1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）若，，定义且,则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习（文））设集合，，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知集合，，，则实数________．
12．（2022·上海·模拟预测）集合，则_________．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．
14．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.
三、解答题
15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求图中阴影部分；
(2)若，求实数的取值范围.
16．（2020·天津市红桥区教师发展中心高三期中（文））已知全集为，函数 的定义域为集合，集合．
(1)求，；
(2)若，，求实数的取值范围．
专题01 集合
1．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故，
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
　 表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
【常用结论】
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
考点一　集合的含义与表示
1．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
2．（2020·浙江宁波·高三期中）已知集合，，则______.（用集合的描述法表示）
【答案】
【解析】时，，；
时，，，
，．
故答案为：，．
【方法总结】解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
考点二　集合间的基本关系
3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵全集，故A错误；
∴，故，
故选：B.
4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足的集合M的个数为________；
【答案】7
【解析】满足的集合有，共7个.
故答案为：7
【方法总结】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
考点三　集合的运算
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
∵，即，
所以，解得．
故选：C．
6．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】由题意，，又
又
由于，又
故
故答案为：
考点四　利用集合的运算求参数的值或范围
7．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知集合或，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合或，，
要使，如图示， 需有 ，
故选：D.
8．（2020·上海长宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】，
由，可得，
所以，
故答案为：
【方法总结】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
考点五　集合的新定义问题
9．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
10．（2020·全国·模拟预测）设是一个非空集合，集合是集合的若干个子集所组成的新集合，即且，其中表示集合中元素的个数，若满足：
（1），；
（2）对于中的任意两个元素，，其交集；
（3）对于中的任意两个元素，，其并集；
则称是集合上的一个拓扑结构．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①集合是集合上的一个拓扑结构；
②集合是集合上的一个拓扑结构；
③集合是集合上的一个拓扑结构；
④集合上仅有3个拓扑结构且分别为，，．
【答案】①③
【解析】对于②，因为，因此②错误；对于④，易知集合，，均是集合上的拓扑结构，但是集合也是集合上的一个拓扑结构，因此④错误；对于①③，通过逐项验证，易发现是正确的，故答案是①③．
一、单选题
1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式得：，即，而，
所以.
故选：B
2．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：因为，则，
故.
故选：D.
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又，全集，
所以图中阴影部分表示的集合为．
故选：C.
4．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】解：由，解得，
所以．
所以，共有7个元素，
故选：B．
5．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的值域为，
所以，
函数在上的值域为，
所以，
所以，
故选：D.
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，
故，
故选：B
7．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由题意得，
当时， 联立，解得 ；当时， 联立，解得 ；
故抛物线与曲线有两个公共点，分别为，，
则集合有两个元素，所以的子集个数为，
故选:B．
8．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，所以.
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习）若，，定义且,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
或
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习（文））设集合，，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于集合，因为与互为反函数，所以，互相关于对称，而，所以，只需要即可，因为，所以，
，得，设，得，所以，
，，单调递增；，，单调递减，所以，
，得到，所以，；
对于集合，化简得，设，，因为，
可设，，
单调递减，又，所以，当时，，，，单调递减，利用洛必达法则，
时，，
所以，，所以，；
由于，，所以，D正确
故选：D
二、填空题
11．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知集合，，，则实数________．
【答案】
【解析】由题意得或，解得，经检验，当时，
故答案为：
12．（2022·上海·模拟预测）集合，则_________．
【答案】
【解析】由题意，.
故答案为：.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．
【答案】a<－4或a>2
【解析】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.
②当a3即2aa＋3时，若，
则有，解得a<－4或2综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.
故答案为：a<－4或a>2
14．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.
【答案】
【解析】解：由题可知，，有4个元素，
若取，则，此时，包含7个元素，
具体如下：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，
若，则，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍去；
若，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，
若，则，故，故，
即，故，
此时，即中有7个元素.
故答案为：7.
三、解答题
15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求图中阴影部分；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】(1)时，有，由韦恩图知，，又，
∴或，
∴.
(2)当时，，解得，此时成立；
当时，由，有，解得；
综上，实数的取值范围是.
16．（2020·天津市红桥区教师发展中心高三期中（文））已知全集为，函数 的定义域为集合，集合．
(1)求，；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)
【解析】(1)由 得，函数 的定义域 ．
，，得 或，
或，.，..
(2)，，则
（i）当 时，满足需求，此时 ，得 .
（ii）当时，要 ，则 解得 ．.
由（i）（ii）得，．

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