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专题06 函数的概念及其表达
1．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（　　）
A． B． C．R D．
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【常用结论】
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点一　函数的定义域
1．（2022·宁乡模拟）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
2.（2022·东城模拟）下列函数中，定义域与值域均为R的是（　　）
A． B． C． D．
【思维升华】
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
考点二　函数的解析式
3.（2022·九江模拟）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
4.下图中的函数图象所对应的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
【思维升华】
函数解析式的求法
（1）配凑法；
（2）待定系数法；
（3）换元法；
（4）解方程组法．
考点三　分段函数
5.已知f(x)＝则f ＋f 的值为(　　)
A. B．－ C．－1 D．1
6.已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
【思维升华】
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
一、单选题
1.（2022·保定模拟）若函数，则函数的最小值为（　　）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
2．（2022·全国甲卷）函数 在区间 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江模拟）已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（2022·浙江模拟）现有函数图象如下，其函数表达式可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·南充模拟）函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022·浙江模拟）已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
7.（2022·河北模拟）设函数则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·广东模拟）信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中， 声 压的衰减过程可以用指数模型：描述声压（单位：帕斯卡）随传播距离（单位：米）的变化规律，其中为声压的初始值，常数为试验参数.若试验中声压初始值为帕斯卡，传播米声压降低为帕斯卡，据此可得试验参数的估计值约为（　　）（参考数据：，）
A．0.162 B．0.164 C．0.166 D．0.168
9．（2022·漳州模拟）已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高三上·拉孜月考）设函数 ，若对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则正实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11.（2022·武昌模拟）函数的定义域为　 　.
12．已知函数的定义域为R，且满足，当时，若，则实数　 　，　 　.
13．（2022·达州模拟）函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数，　 　.
14．（2022·桂林模拟）函数的值域为　 　.
三、解答题
15.已知函数．
（1）当时，求满足的的取值范围；
（2）若的定义域为，又是奇函数，求的解析式，判断其在上的单调性并加以证明．
16．（2022·上海模拟）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
（2）设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
专题06 函数的概念及其表达
1．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，故排除B；
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C；
设 ，则 ，故排除D.
故选：A
2．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（　　）
A． B． C．R D．
【答案】D
【解析】 ，
，
即函数 的定义域为 。
故答案为：D
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【常用结论】
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点一　函数的定义域
1．（2022·宁乡模拟）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 。
故答案为：C
2.（2022·东城模拟）下列函数中，定义域与值域均为R的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. 函数的定义域为，值域为R；
B. 函数的定义域为R，值域为；
C. 函数的定义域为R，值域为R；
D. 函数的定义域为，值域为，
故答案为：C
【思维升华】
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
考点二　函数的解析式
3.（2022·九江模拟）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在处无定义，排除A
函数的图像关于原点对称，故为奇函数，排除B
当时，，，故，排除C
故答案为：D.
4.下图中的函数图象所对应的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；
当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.
故答案为：A.
【思维升华】
函数解析式的求法
（1）配凑法；
（2）待定系数法；
（3）换元法；
（4）解方程组法．
考点三　分段函数
5.已知f(x)＝则f ＋f 的值为(　　)
A. B．－ C．－1 D．1
答案　D
解析　f ＝f ＋1＝f ＋1
＝cos ＋1＝，
f ＝cos
＝cos ＝－，
∴f ＋f ＝－＝1.
6.已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案　1或－3　[－，－1]
解析　①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，
解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
【思维升华】
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
一、单选题
1.（2022·保定模拟）若函数，则函数的最小值为（　　）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】D
【解析】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为-4.
故答案为：D
2．（2022·全国甲卷）函数 在区间 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
3．（2022·浙江模拟）已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，得，.
故答案为：B．
4.（2022·浙江模拟）现有函数图象如下，其函数表达式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】观察图中函数，为奇函数，排除A，其次定义域为，C中的函数定义域为R，B中的函数定义域为，从而排除B、C．
故答案为：D．
5．（2022·南充模拟）函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令则，
即g(x)的图象就是将h(x)的图象向上平移一个单位即可.
因为h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)，即函数h(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于(0，1)对称.
故答案为：C
6．（2022·浙江模拟）已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，由图象可得，
对于函数，
因为，
所以函数为偶函数，A不符合题意，
对于函数，，
所以函数为奇函数，又，与图象不符，C不符合题意，
对于函数，，
所以函数为奇函数，又，与图象不符，D不符合题意，
对于函数，因为，
所以函数为奇函数，且，与图象基本相符，B符合题意，
故答案为：B.
7.（2022·河北模拟）设函数则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：因为，所以，，
则，即，
的函数图象如下所示：
由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；
故答案为：A
8．（2022·广东模拟）信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中， 声 压的衰减过程可以用指数模型：描述声压（单位：帕斯卡）随传播距离（单位：米）的变化规律，其中为声压的初始值，常数为试验参数.若试验中声压初始值为帕斯卡，传播米声压降低为帕斯卡，据此可得试验参数的估计值约为（　　）（参考数据：，）
A．0.162 B．0.164 C．0.166 D．0.168
【答案】B
【解析】由题意知，,
两边取自然对数，则 ,
所以 ，
故答案为：B
9．（2022·漳州模拟）已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为的值域为，所以的值域为.
当 时， .
当 时，①若 ，即 ， ，此时不满足条件.
②若 ，即 ， ，此时 的值域不可能为 .
③若 ，即 ， ，要使 的值域为 ，则 ，即
解得： 或 ，又因为 ，所以 .
故答案为：B.
10．（2020高三上·拉孜月考）设函数 ，若对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则正实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，
当 时，
当 时，
可得 ，作出其简图，如图所示，
当 时，等式有两个解，因为 有唯一解，
即 对一切 恒成立，
而 ．
又 ， ，所以 ，
即 对一切 恒成立，而 ，所以 ，
故答案为：A．
二、填空题
11.（2022·武昌模拟）函数的定义域为　 　.
【答案】
【解析】由题知，，所以的定义域为，
故答案为：.
12．已知函数的定义域为R，且满足，当时，若，则实数　 　，　 　.
【答案】-1；
【解析】①由可知，又故，
又，故，；
②.
故答案为：-1；.
13．（2022·达州模拟）函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数，　 　.
【答案】x（答案不唯一）
【解析】∵函数定义域为R，关于原点对称，又，即，
∴函数为奇函数，又，
∴函数为增函数，又函数是定义在R上的奇函数，且为增函数，
故函数可为.
故答案为：x（答案不唯一）.
14．（2022·桂林模拟）函数的值域为　 　.
【答案】
【解析】当时，.
当时，.
故答案为：.
三、解答题
15.已知函数．
（1）当时，求满足的的取值范围；
（2）若的定义域为，又是奇函数，求的解析式，判断其在上的单调性并加以证明．
【答案】（1）解：由题意，，化简得，
解得
所以x≤-1
（2）解：已知定义域为R，所以
又
所以
对任意
可知
因为，所以，所以
因此在R上递减．
16．（2022·上海模拟）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
（2）设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，
可得，即，
化简整理，得，解得，
所以存在满足
所以函数是“M类函数”；
（2）解：当时，
可化为，
令，则，
所以方程在有解可保证是“类函数”，
即在)有解可保证是“类函数”，
设在为单调递增函数，
所以当时，取得最小值为
即，解得.
所以实数的取值范围为；
（3）解：由在上恒成立，
转化为在上恒成立，即
所以.
因为为其定义域上的“类函数”，
所以存在实数使得，
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证是“类函数”
设在为单调递增函数，
，即，解得；
当时，，此时，不成立；
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证是“类函数”
设在为单调递减函数，
，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为.

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