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专题13 动量守恒定律（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
动量守恒定律的条件 重点
动量守恒定律的应用 重点
机械能守恒定律和能量守恒定律 重难点
二、知识点解析
1．利用牛顿运动定律推导动量守恒定律
如图所示在光滑水平面上，沿同一直线运动的质量分别为m1和m2的两物体的速度分别为v1和v2，发生碰撞之后它们的速度变为和．
设碰撞过程中两球受到的作用力恒定，分别为F1和F2，力的作用时间很短，用，由牛顿第二定律得：．根据加速度的定义得：，．
由牛顿第三定律得：，由以上几个公式可得：．
结论：两球碰撞之前的动量之和等于两球碰撞之后的动量之和，即碰撞过程中系统的动量守恒．
动量守恒定律的内容：如果一个系统不受外力作用或者所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律．
2．动量守恒定律的几种表达式
(1)(系统相互作用前的总动量p等于系统相互作用后的总动量)．
(2)(系统总动量的增量等于零)．
(3)(由两个物体组成的系统，它们各自动量的增量大小相等，方向相反)
(4)(由两个物体组成的系统，相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量)
3．动量守恒定律的几种常见情况
(1)系统不受外力或者所受合外力为零；
(2)系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒；
(3)系统总的来看不符合以上条件的任意一条，则系统的总动量不守恒．但是若系统在某一方向上符合以上条件的任意一条，则系统在该方向上动量守恒．
4．机械能守恒和动量守恒的比较
根据机械能守恒定律和动量守恒定律对物体初末运动状态进行分析时，不需要考虑复杂多变的运动过程，因此在动力学部分具有非常重要的地位，下面对二者进行对比分析．
定律名称 对象 条件 结论 实质
动量守恒 系统 合外力为零 系统总动量守恒 两物体动量变化等大反向
机械能守恒 物体 只有重力或弹力做功 物体机械能守恒 物体势能的减小等于动能的增加
系统 只有重力做功或系统内弹力做功 系统机械能守恒 甲物体机械能的减少等于乙物体机械能的增加
与此同时，还应该注意：动量守恒和机械能守恒所研究的对象都可以是相互作用的系统，而且针对的都是某一过程；二者守恒条件不同：动量守恒取决于系统所受合外力是否为零，而机械能是否守恒则取决于是否仅有重力、弹力做功．当系统中存在内力时，显然不影响动量的守恒，但是机械能守恒还要看这对内力做功是否为零．
5．运用动量守恒定律解题的基本步骤和方法
(1)选系统：即确定研究对象，恰当地选择系统，可使未知力转为内力，进而不在方程中出现．
(2)受力分析：对于多物体组成的系统，只分析系统所受的外力，而无须分析内力．
判断系统是否满足动量守恒的条件，如果满足则进行下一步分析，否则需要考虑修改系统的划定范围．
(3)选过程定方向：即确定初、末状态，规定正方向．
(4)列方程：根据题意，选取恰当的动量守恒定律的表达形式，列方程求解．
6．弹簧模型中的相互作用
位于光滑水平桌面上的小滑块A和B都可视作质点，质量相等．B与轻质弹簧相连．设B静止，A以某一初速度向B运动并与弹簧发生相互作用．将两个物体作用的过程细化．具体分析如图：
开始A物体向B运动，如图；接着，A与弹簧接触，稍有作用，弹簧即有形变，分别对A、B物体产生如中图的作用力，对A的作用力的效果就是产生一个使A减速的加速度，对B的作用力的效果则是产生一个使B加速的加速度．
如此，A在减速，B在加速，一起向右运动，但是在开始的时候，A的速度依然比B的大，所以相同时间内，A走的位移依然比B大，故两者之间的距离依然在减小，弹簧不断压缩，弹簧产生的作用力越来越大，对A的加速作用和对B的加速作用而逐渐变大，于是，A的速度不断减小，B的速度不断增大，直到某个瞬间两个物体的速度一样，如图．
过了这个瞬间，由于弹簧的压缩状态没有发生任何变化，所以对两个物体的作用力以及力的效果也没有变，所以A要继续减速，B要继续加速，于是A、B物体之间的距离开始变大．因此，两个物体之间的距离最小的时候，也就是弹簧压缩量最大的时候，也就是弹性势能最大的时候，也就是两个物体速度相同的时候．根据动量守恒有 ，根据能量守恒有
规律总结：处理带有弹簧的相互作用问题，认真分析运动的变化过程是关键，面对弹簧问题，一定要注重细节的分析，采取“慢镜头”的手段．
三、考查方向
题型1：动量守恒定律的条件
典例一：(多选)在光滑水平面上A、B两小车中间有一弹簧，如图所示．用手抓住小车并将弹簧压缩后使小车处于静止状态．将两小车及弹簧看做一个系统，下列说法中正确的是( )
A．两手同时放开后，系统总动量始终为零
B．先放开左手，再放开右手后，动量不守恒
C．先放开左手，再放开右手后，总动量向左
D．无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零
题型2：动量守恒定律的应用
典例二：如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上．c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上．小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同．他跳到a车上相对a车保持静止，此后( )
A．a、b两车运动速率相等
B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系vc＞va＞vb
D．a、c两车运动方向相同
题型3：机械能守恒定律和动量守恒定律的联立
典例三：如图所示，质量分别为1 kg、3 kg的滑块A、B位于光滑水平面上，现使滑块A以4 m/s的速度向右运动，与左侧连有轻弹簧的滑块B发生碰撞，求二者在发生碰撞过程中：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块A的最小速度．
四、模拟训练
一、基础练习
1.把一支枪水平地固定在小车上，小车放在光滑的水平地面上，枪发射出子弹时，关于枪、子弹和车的下列说法中正确的是( )
A．枪和子弹组成的系统动量守恒
B．枪和车组成的系统动量守恒
C．若忽略不计子弹和枪筒之间的摩擦，枪、车和子弹组成系统的动量才近似守恒
D．枪、子弹和车组成的系统动量守恒
2.如图所示，物体A的质量是物体B的质量的2倍，中间压缩一轻质弹簧，放在光滑的水平面上，由静止同时放开两手后一小段时间内( )
A．A的速率始终等于B的速率
B．A的动量大小大于B的动量大小
C．A受的合力大小大于B受的合力大小
D．A的动量不等于B的动量
3.如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB=3:2，它们原来静止在平板车C上，A、B间有一根被压缩了的轻质弹簧；A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，地面光滑，当弹簧突然释放后，则有( )
A．A、B与轻质弹簧构成的系统动量守恒
B．A、B与轻质弹簧构成的系统机械能守恒
C．平板车C将向左运动
D．平板车C将向右运动
4.下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是( )
A．只有①②正确 B．只有③④正确 C．只有①③正确 D．只有②④正确
5.如图，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为 (　　)
A．v0+v B．v0﹣v C．v0+(v0+v) D．v0+(v0﹣v)
6.一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为( )
A．v0-v2
B．v0+v2
C．v0-v2
D．v0+(v0－v2)
7.如图所示，质量m=10 kg的小车置于光滑水平面上，车上站着质量M=30 kg的小孩，开始人车以1 m/s的速度向右运动，后来小孩以相对车的水平速度向右跳下，求小孩跳下后车的速度(设向右的方向为正方向)( )
A．0.5 m/s B．2 m/s C．-0.5 m/s D．-2m/s
8.如图所示．质量均为M=0.4 kg的两长平板小车A和B开始时紧靠在一起都静止于光滑水平面上．小物块(可看成质点)m=0.2 kg以初速度v=9 m/s从最左端滑上A小车的上表面，最后停在B小车最右端时速度为v2=2 m/s，最后A的速度v1为( )
A．2 m/s
B．1.5 m/s
C．1 m/s
D．0.5 m/s
9.(多选)光滑水平地面上，A、B两物体质量都为m，A以速度v向右运动，B原来静止，且左端有一轻弹簧，如图所示．当A撞上弹簧，弹簧被压缩最短时( )
A．A、B系统总动量仍然为mv
B．A的动量变为零
C．B的动量达到最大值
D．A、B的速度相等
10.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，质量相等．Q与轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( )
A．P的初动能
B．P的初动能的
C．P的初动能的
D．P的初动能的
11.如图所示，P物体与一个连着弹簧的Q物体发生正碰，碰撞后P物体静止，Q物体以P物体碰撞前的速度v离开，已知P与Q质量相等，弹簧的质量可忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列结论中正确的是( )
A．P的速度恰好为零
B．P与Q具有相同的速度
C．Q刚开始运动
D．Q的速度等于v
12.(多选)如图，质量为m的小车静止在光滑的水平地面上，车上有半圆形光滑轨道，现将质量也为m的小球在轨道左侧边缘由静止释放，则( )
A．小球在下滑过程机械能守恒
B．小球可以到达右侧轨道的最高点
C．小球在右轨道上滑时，小车也向右运动
D．小球在轨道最低点时，小车与小球的速度大小相等，方向相反
13.甲、乙两人站在光滑的水平冰面上，他们的质量都是M，甲手持一个质量为m的球，现甲把球以对地为v的速度传给乙，乙接球后又以对地为2v的速度把球传回甲，甲接到球后，甲、乙两人的速度大小之比为( )
A． B． C． D．
14.(多选)如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处由静止开始自由下滑( )
A．在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽不做功
B．在下滑过程中，小球和槽组成的系统水平方向动量守恒
C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D．被弹簧反弹后，小球能回到槽高h处
二、提升练习
1.（2020 海淀区一模）研究小组的同学们用如图所示的装置探究物体的加速度与力、质量的关系之后，对此实验又做了进一步的分析：在实验前通过垫块已经平衡了阻力，且砂和砂桶的总质量远小于小车和车上砝码的总质量，若将小车（含车上砝码）和砂（含砂桶）当成一个系统（包括地球），由静止释放小车后，下列说法中正确的是　　
A．系统动量守恒，机械能守恒
B．系统动量不守恒，机械能守恒
C．系统动量守恒，机械能不守恒
D．系统动量不守恒，机械能不守恒
2.一炮艇在湖面上匀速行驶，突然从船头和船尾同时向前和向后各发射一发炮弹，设两炮弹的质量相同，相对于地的速率相同，牵引力、阻力均不变，则船的动量和速度的变化情况是(　　)
A．动量不变，速度增大 B．动量不变，速度不变
C．动量增大，速度增大 D．动量不变，速度减小
3.如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上．c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上．小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同．他跳到a车上相对a车保持静止，此后( )
A．a、b两车运动速率相等
B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系vc＞va＞vb
D．a、c两车运动方向相同
4.如图所示，小车由光滑的弧形段AB和粗糙的水平段BC组成，静止在光滑水平面上，当小车固定时，从A点由静止滑下的物体到C点恰好停止．如果小车不固定，物体仍从A点静止滑下，则( )
A．还是滑到C点停住
B．滑到BC间停住
C．会冲出C点落到车外
D．上述三种情况都有可能
5.如图所示，一弹簧竖直固定在地面上，质量m1=1 kg的物体A放在弹簧上处于静止状态，此时弹簧被压缩了0.15 m．质量也为1 kg的物体B从距物体A高h=0.3 m处的正上方自由下落，碰后A、B结合在一起向下运动(g取10 m/s2)．
(1)求碰撞结束瞬间，两物体的总动能；
(2)物体A，B从碰后到动能最大的过程中，弹簧弹性做功W=﹣2.25 J，求碰后物体A，B的最大动能．
典例一
【答案】ACD
【解析】在两手同时放开后，水平方向无外力作用，只有弹簧的弹力(内力)，故动量守恒，即系统的总动量始终为零，无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零，故AD正确；先放开左手，再放开右手后，系统受到右手向左的力，故总动量向左，之后水平方向上无外力作用，所以动量守恒，C正确B错误；故选ACD．
典例二：
【答案】C
【解析】若人跳离b、c车时速度为v，由动量守恒定律：0=﹣M车vc+m人v，m人v=﹣M车vb+m人v，m人v=(M车+m人) va，所以：vc=，vb=0，va=．
典例三
【答案】6 J；0
【解析】(1)在整个过程中，弹簧具有最大弹性势能时，A和B的速度相同．选取向右为正方向，根据动量守恒定律：mv0=(M+m)v．根据机械能守恒定律有：，解得EP=6J．
(2)当A、B分离时，B的速度最大，则：mAv0=mAvA+mBvB
由以上两式得，vA=﹣2 m/s，负号表示A运动的方向与开始时相反．所以A运动过程中速度大小的最小值为0．
五、模拟训练
一、基础练习
1.【答案】D
【解析】A．枪和子弹组成的系统，由于小车对枪有外力，枪和弹组成的系统外力之和不为零，所以动量不守恒，故A错误；
B．枪和小车组成的系统，由于子弹对枪有作用力，导致枪和车组成的系统外力之和不为零，所以动量不守恒，故B错误；
C．小车、枪和子弹组成的系统，在整个过程中所受合外力为零，系统动量守恒，故C错误，D正确．
2.【答案】D
【解析】A．两物体在弹开的过程中总动量守恒，故动量的大小一直相等；因两物体的质量不相等，故两物体的速率不相等，故AB错误；
C．两物体均受弹簧的弹力，故弹簧的弹力对两物体大小相等，故C错误；
D．两球动量守恒，故总动量为零，则两动量方向相反，大小相等；故动量不相等，故D正确．
3.【答案】C
【解析】A．由于mA:mB=3:2，A、B所受的摩擦力大小不等，所以A、B与轻质弹簧构成的合外力不为零，系统的动量不守恒，故A错误；
B．A、B与轻质弹簧构成的系统要克服摩擦力做功，系统的机械能要减少，故B错误；
CD．由于A、B两木块的质量之比为mA:mB=3:2，由摩擦力公式f=μN=μmg知，A对小车向左的滑动摩擦力大于B对小车向右的滑动摩擦力，在A、B相对小车停止运动之前，小车C所受的合外力向左，会向左运动，故C正确，D错误．
4.【答案】C
【解析】①．在光滑水平面上，子弹射入木块的过程中，系统所受外力之和为零，系统动量守恒．故①正确；
②．剪断细线，弹簧恢复原长的过程，墙壁对滑块有作用力，系统所受外力之和不为零，系统动量不守恒．故②错误；
③．木球与铁球的系统所受合力为零，系统动量守恒，故③正确；
④．木块下滑过程中，斜面始终受挡板作用力，系统动量不守恒，故④错误．
综上所述，故选C．
5.【答案】C
【解析】人在跃出的过程中船人组成的系统水平方向动量守恒，规定向右为正方向，则有(M+m)v0=Mv′﹣mv，可以解得v′=v0+(v0+v)．
6.【答案】D
【解析】火箭和卫星组成的系统在分离时水平方向上动量守恒，规定初速度的方向为正方向，有：
(m1+m2)v0=m2v2+m1v1，解得：．故D正确，A、B、C错误．
7.【答案】C
【解析】设小孩跳车后车的速度为v′且向右，则小孩对地的速度为。
由动量守恒定律得，解得
说明小孩跳车后车的速度大小为，方向向左。
选项C正确。
8.【答案】B
【解析】以两木板与物块组成的系统为研究对象，以物块的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv=Mv1+(m+M)v2，
代入数据得：v1=1.5 m/s．
9.【答案】AD
【解析】系统水平方向动量守恒，A正确；弹簧被压缩到最短时A、B两物体具有相同的速度，但此时B的速度并不是最大的，因为弹簧还会弹开，故B物体会进一步加速，A物体会进一步减速，B、C错误，D正确．
10.【答案】B
【解析】以P、Q组成的系统为研究对象，以P的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：mv0=（m+m）v，
由机械能守恒定律得：mv02= 2mv2+EP，
解得：EP=mv02，即：弹簧具有的最大弹性势能等于P的初动能的．
11.【答案】B
【解析】P物体接触弹簧后，在弹簧弹力的作用下，P做减速运动，Q做加速运动，当P、Q两物体的速度相等时，弹簧被压缩至最短，A、C错误、B正确；弹簧被压缩至最短时由动量守恒由，mv=(m+m)v'，，D错误．
12.【答案】BD
【解析】A．小球在下滑过程，水平方向具有向右的分速度，而小球与小车组成的系统水平方向总动量为0，故小车会向左运动，小车的动能增加，而系统机械能守恒，故小球的机械能减少，不守恒，A错误；
B．小球到达右侧轨道最高点时，速度为零，小球与小车组成的系统水平方向总动量为0，则小车的速度也为零，即小车动能为零，而系统机械能守恒，故小球此时的重力势能和开始时一样，仍能回到最高点，B正确；
C．小球在右轨道上滑时，水平方向有向右的分速度，而小球与小车组成的系统水平方向总动量为0，故小车会向左运动，C错误；
D．小球在轨道最低点时，二者总动量为零，规定向右为正方向：mv+mv′=0，得：v=﹣v′，二者速度等大反向，故D正确；故选：BD．
13.【答案】D
【解析】以甲抛球时球的速度方向为正方向，以甲与球组成的系统为研究对象，抛球过程动量守恒，由动量守恒定律得：mv﹣M1v1=0，以乙与球组成的系统为研究对象，乙接球过程系统动量守恒，由动量守恒定律得：mv=(m+M2)v2，乙抛球过程，动量守恒，由动量守恒定律得：，甲接球过程动量守恒，由动量守恒定律得：，解得：，，故速度之比为：．
14.【答案】BC
【解析】A．在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽做功，故A错误；
B．在下滑过程中，小球和槽组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，故B正确；
C．因两物体之后不受外力，故小球脱离弧形槽后，槽向后做匀速运动，而小球反弹后也会做匀速运动，故C正确；
D．小球与槽组成的系统动量守恒，球与槽的质量相等，小球沿槽下滑，球与槽分离后，小球与槽的速度大小相等，小球被反弹后球与槽的速度相等，小球不能滑到槽上，不能达到高度h，故D错误．
二、提升练习
1.【答案】D
【解析】释放小车，小车运动过程，系统所受合力等于砂（含砂桶）的重力，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒；
小车运动过程木板对小车的摩擦力要做负功，即小车运动过程除重力外还有克服摩擦力做功，系统机械能不守恒，故错误，正确。
故选：。
2.【答案】A
【解析】因船受到的牵引力及阻力不变，且开始时船匀速运动，故整个系统所受的合外力为零，动量守恒．
设炮弹质量为m，船(不包括两炮弹)的质量为M，炮艇原来的速度为v0，发射炮弹的瞬间船的速度为v．设向右为正方向，则由动量守恒可得：(M+2m)v0=Mv+mv1﹣mv1，可得，v＞v0
得发射炮弹后瞬间船的动量不变，速度增大．
3.【答案】C
【解析】若人跳离b、c车时速度为v，由动量守恒定律
0=﹣M车vc+m人v，m人v=﹣M车vb+m人v，m人v=(M车+m人) va，
所以：vc=，vb=0，va=．
4.【答案】A
【解析】设BC长度为L．依照题意，小车固定时，根据能量守恒可知，物体的重力势能全部转化为因摩擦产生的内能，即有：Q1=fL，其中f为物体与小车之间的摩擦力．若小车不固定，设物体相对小车滑行的距离为S．对小车和物体系统，根据水平方向的动量守恒定律可知，最终两者必定均静止，根据能量守恒可知物体的重力势能全部转化为因摩擦产生的内能，则有：Q2=Q1，而Q2=fS，得到物体在小车BC部分滑行的距离S=L，故物体仍滑到C点停住．故A正确．
5.【答案】(1)碰后瞬间两物体的总动能是1.5 J；(2) 2.25 J
【解析】(1)A、B的质量相等，设为m，则m1=m．物体B自由下落时，由机械能守恒定律得：mgh=mv02，解得：v0===m/s；
碰撞过程A、B的动量守恒，以向下为正方向，由动量守恒定律得：mv0=(m+m)v
代入数据解得：v=m/s；
碰后A、B的总动能：Ek=(m+m)v2,代入数据解得：Ek=1.5 J；
(2)A处于静止状态时，由胡克定律得 mg=kx1，得 k===N/m
碰后A、B一起向下运动，弹簧的弹力不断增大，当弹力与AB的总重力大小相等时，动能最大．设此时弹簧的压缩量为x2．则有2mg=kx2；可得x2=2x1=0.3 m
从碰后到动能最大的过程中A、B下降的高度为h′=x2﹣x1=0.15 m
根据系统的机械能守恒得：2mgh′+W=Ekm-
解得碰后A、B的最大动能 Ekm=2.25 J．专题13 动量守恒定律（学生版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
动量守恒定律的条件 重点
动量守恒定律的应用 重点
机械能守恒定律和能量守恒定律 重难点
二、知识点解析
1．利用牛顿运动定律推导动量守恒定律
如图所示在光滑水平面上，沿同一直线运动的质量分别为m1和m2的两物体的速度分别为v1和v2，发生碰撞之后它们的速度变为和．
设碰撞过程中两球受到的作用力恒定，分别为F1和F2，力的作用时间很短，用，由牛顿第二定律得：．根据加速度的定义得：，．
由牛顿第三定律得：，由以上几个公式可得：．
结论：两球碰撞之前的动量之和等于两球碰撞之后的动量之和，即碰撞过程中系统的动量守恒．
动量守恒定律的内容：如果一个系统不受外力作用或者所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律．
2．动量守恒定律的几种表达式
(1)(系统相互作用前的总动量p等于系统相互作用后的总动量)．
(2)(系统总动量的增量等于零)．
(3)(由两个物体组成的系统，它们各自动量的增量大小相等，方向相反)
(4)(由两个物体组成的系统，相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量)
3．动量守恒定律的几种常见情况
(1)系统不受外力或者所受合外力为零；
(2)系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒；
(3)系统总的来看不符合以上条件的任意一条，则系统的总动量不守恒．但是若系统在某一方向上符合以上条件的任意一条，则系统在该方向上动量守恒．
4．机械能守恒和动量守恒的比较
根据机械能守恒定律和动量守恒定律对物体初末运动状态进行分析时，不需要考虑复杂多变的运动过程，因此在动力学部分具有非常重要的地位，下面对二者进行对比分析．
定律名称 对象 条件 结论 实质
动量守恒 系统 合外力为零 系统总动量守恒 两物体动量变化等大反向
机械能守恒 物体 只有重力或弹力做功 物体机械能守恒 物体势能的减小等于动能的增加
系统 只有重力做功或系统内弹力做功 系统机械能守恒 甲物体机械能的减少等于乙物体机械能的增加
与此同时，还应该注意：动量守恒和机械能守恒所研究的对象都可以是相互作用的系统，而且针对的都是某一过程；二者守恒条件不同：动量守恒取决于系统所受合外力是否为零，而机械能是否守恒则取决于是否仅有重力、弹力做功．当系统中存在内力时，显然不影响动量的守恒，但是机械能守恒还要看这对内力做功是否为零．
5．运用动量守恒定律解题的基本步骤和方法
(1)选系统：即确定研究对象，恰当地选择系统，可使未知力转为内力，进而不在方程中出现．
(2)受力分析：对于多物体组成的系统，只分析系统所受的外力，而无须分析内力．
判断系统是否满足动量守恒的条件，如果满足则进行下一步分析，否则需要考虑修改系统的划定范围．
(3)选过程定方向：即确定初、末状态，规定正方向．
(4)列方程：根据题意，选取恰当的动量守恒定律的表达形式，列方程求解．
6．弹簧模型中的相互作用
位于光滑水平桌面上的小滑块A和B都可视作质点，质量相等．B与轻质弹簧相连．设B静止，A以某一初速度向B运动并与弹簧发生相互作用．将两个物体作用的过程细化．具体分析如图：
开始A物体向B运动，如图；接着，A与弹簧接触，稍有作用，弹簧即有形变，分别对A、B物体产生如中图的作用力，对A的作用力的效果就是产生一个使A减速的加速度，对B的作用力的效果则是产生一个使B加速的加速度．
如此，A在减速，B在加速，一起向右运动，但是在开始的时候，A的速度依然比B的大，所以相同时间内，A走的位移依然比B大，故两者之间的距离依然在减小，弹簧不断压缩，弹簧产生的作用力越来越大，对A的加速作用和对B的加速作用而逐渐变大，于是，A的速度不断减小，B的速度不断增大，直到某个瞬间两个物体的速度一样，如图．
过了这个瞬间，由于弹簧的压缩状态没有发生任何变化，所以对两个物体的作用力以及力的效果也没有变，所以A要继续减速，B要继续加速，于是A、B物体之间的距离开始变大．因此，两个物体之间的距离最小的时候，也就是弹簧压缩量最大的时候，也就是弹性势能最大的时候，也就是两个物体速度相同的时候．根据动量守恒有 ，根据能量守恒有
规律总结：处理带有弹簧的相互作用问题，认真分析运动的变化过程是关键，面对弹簧问题，一定要注重细节的分析，采取“慢镜头”的手段．
三、考查方向
题型1：动量守恒定律的条件
典例一：(多选)在光滑水平面上A、B两小车中间有一弹簧，如图所示．用手抓住小车并将弹簧压缩后使小车处于静止状态．将两小车及弹簧看做一个系统，下列说法中正确的是( )
A．两手同时放开后，系统总动量始终为零
B．先放开左手，再放开右手后，动量不守恒
C．先放开左手，再放开右手后，总动量向左
D．无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零
题型2：动量守恒定律的应用
典例二：如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上．c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上．小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同．他跳到a车上相对a车保持静止，此后( )
A．a、b两车运动速率相等
B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系vc＞va＞vb
D．a、c两车运动方向相同
题型3：机械能守恒定律和动量守恒定律的联立
典例三：如图所示，质量分别为1 kg、3 kg的滑块A、B位于光滑水平面上，现使滑块A以4 m/s的速度向右运动，与左侧连有轻弹簧的滑块B发生碰撞，求二者在发生碰撞过程中：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块A的最小速度．
四、模拟训练
一、基础练习
1.把一支枪水平地固定在小车上，小车放在光滑的水平地面上，枪发射出子弹时，关于枪、子弹和车的下列说法中正确的是( )
A．枪和子弹组成的系统动量守恒
B．枪和车组成的系统动量守恒
C．若忽略不计子弹和枪筒之间的摩擦，枪、车和子弹组成系统的动量才近似守恒
D．枪、子弹和车组成的系统动量守恒
2.如图所示，物体A的质量是物体B的质量的2倍，中间压缩一轻质弹簧，放在光滑的水平面上，由静止同时放开两手后一小段时间内( )
A．A的速率始终等于B的速率
B．A的动量大小大于B的动量大小
C．A受的合力大小大于B受的合力大小
D．A的动量不等于B的动量
3.如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB=3:2，它们原来静止在平板车C上，A、B间有一根被压缩了的轻质弹簧；A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，地面光滑，当弹簧突然释放后，则有( )
A．A、B与轻质弹簧构成的系统动量守恒
B．A、B与轻质弹簧构成的系统机械能守恒
C．平板车C将向左运动
D．平板车C将向右运动
4.下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是( )
A．只有①②正确 B．只有③④正确 C．只有①③正确 D．只有②④正确
5.如图，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为 (　　)
A．v0+v B．v0﹣v C．v0+(v0+v) D．v0+(v0﹣v)
6.一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为( )
A．v0-v2
B．v0+v2
C．v0-v2
D．v0+(v0－v2)
7.如图所示，质量m=10 kg的小车置于光滑水平面上，车上站着质量M=30 kg的小孩，开始人车以1 m/s的速度向右运动，后来小孩以相对车的水平速度向右跳下，求小孩跳下后车的速度(设向右的方向为正方向)( )
A．0.5 m/s B．2 m/s C．-0.5 m/s D．-2m/s
8.如图所示．质量均为M=0.4 kg的两长平板小车A和B开始时紧靠在一起都静止于光滑水平面上．小物块(可看成质点)m=0.2 kg以初速度v=9 m/s从最左端滑上A小车的上表面，最后停在B小车最右端时速度为v2=2 m/s，最后A的速度v1为( )
A．2 m/s
B．1.5 m/s
C．1 m/s
D．0.5 m/s
9.(多选)光滑水平地面上，A、B两物体质量都为m，A以速度v向右运动，B原来静止，且左端有一轻弹簧，如图所示．当A撞上弹簧，弹簧被压缩最短时( )
A．A、B系统总动量仍然为mv
B．A的动量变为零
C．B的动量达到最大值
D．A、B的速度相等
10.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，质量相等．Q与轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( )
A．P的初动能
B．P的初动能的
C．P的初动能的
D．P的初动能的
11.如图所示，P物体与一个连着弹簧的Q物体发生正碰，碰撞后P物体静止，Q物体以P物体碰撞前的速度v离开，已知P与Q质量相等，弹簧的质量可忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列结论中正确的是( )
A．P的速度恰好为零
B．P与Q具有相同的速度
C．Q刚开始运动
D．Q的速度等于v
12.(多选)如图，质量为m的小车静止在光滑的水平地面上，车上有半圆形光滑轨道，现将质量也为m的小球在轨道左侧边缘由静止释放，则( )
A．小球在下滑过程机械能守恒
B．小球可以到达右侧轨道的最高点
C．小球在右轨道上滑时，小车也向右运动
D．小球在轨道最低点时，小车与小球的速度大小相等，方向相反
13.甲、乙两人站在光滑的水平冰面上，他们的质量都是M，甲手持一个质量为m的球，现甲把球以对地为v的速度传给乙，乙接球后又以对地为2v的速度把球传回甲，甲接到球后，甲、乙两人的速度大小之比为( )
A． B． C． D．
14.(多选)如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处由静止开始自由下滑( )
A．在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽不做功
B．在下滑过程中，小球和槽组成的系统水平方向动量守恒
C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D．被弹簧反弹后，小球能回到槽高h处
二、提升练习
1.（2020 海淀区一模）研究小组的同学们用如图所示的装置探究物体的加速度与力、质量的关系之后，对此实验又做了进一步的分析：在实验前通过垫块已经平衡了阻力，且砂和砂桶的总质量远小于小车和车上砝码的总质量，若将小车（含车上砝码）和砂（含砂桶）当成一个系统（包括地球），由静止释放小车后，下列说法中正确的是　　
A．系统动量守恒，机械能守恒
B．系统动量不守恒，机械能守恒
C．系统动量守恒，机械能不守恒
D．系统动量不守恒，机械能不守恒
2.一炮艇在湖面上匀速行驶，突然从船头和船尾同时向前和向后各发射一发炮弹，设两炮弹的质量相同，相对于地的速率相同，牵引力、阻力均不变，则船的动量和速度的变化情况是(　　)
A．动量不变，速度增大 B．动量不变，速度不变
C．动量增大，速度增大 D．动量不变，速度减小
3.如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上．c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上．小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同．他跳到a车上相对a车保持静止，此后( )
A．a、b两车运动速率相等
B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系vc＞va＞vb
D．a、c两车运动方向相同
4.如图所示，小车由光滑的弧形段AB和粗糙的水平段BC组成，静止在光滑水平面上，当小车固定时，从A点由静止滑下的物体到C点恰好停止．如果小车不固定，物体仍从A点静止滑下，则( )
A．还是滑到C点停住
B．滑到BC间停住
C．会冲出C点落到车外
D．上述三种情况都有可能
5.如图所示，一弹簧竖直固定在地面上，质量m1=1 kg的物体A放在弹簧上处于静止状态，此时弹簧被压缩了0.15 m．质量也为1 kg的物体B从距物体A高h=0.3 m处的正上方自由下落，碰后A、B结合在一起向下运动(g取10 m/s2)．
(1)求碰撞结束瞬间，两物体的总动能；
(2)物体A，B从碰后到动能最大的过程中，弹簧弹性做功W=﹣2.25 J，求碰后物体A，B的最大动能．

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