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专题3 圆周运动的描述（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
描述圆周运动的相关物理量 重点
向心加速度 重难点
三种传动方式 难点
二、知识点解析
1．圆周运动和匀速圆周运动
(1)圆周运动：如果物体运动的轨迹是圆，物体做的就是圆周运动．
(2)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做“匀速圆周运动”，亦称“匀速率圆周运动”．
说明：物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动．
2．线速度和角速度
(1)线速度：
①线速度就是速度．
注：线速度的大小用物体通过的弧长与所用时间的比值来度量:，当所取的时间间隔很小时，这样得到的就是瞬时速度．
②大小： 单位为：m/s．
③方向：某点线速度的方向即为该点的切线方向．(与半径垂直)
④物理意义：从长度方面描述圆周运动的快慢．
注：对于匀速圆周运动，在任意相等时间内通过的弧长都相等，即线速度大小不变，但方向时刻改变．
(2)角速度：
①定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间t的比值，就是质点运动的角速度．
②大小： 单位：rad/s．
③物理意义：从角度方面描述圆周运动的快慢．
注：对于匀速圆周运动，角速度大小不变．
3．周期、频率、转速
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期．用T表示，单位s．
⑵频率：做匀速圆周运动的物体在1 s内转的圈数叫做频率．用f表示，其单位为：转/秒(或赫兹)，符号为r/s(或Hz)．
⑶转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢．转速是指物体单位时间所转过的圈数，常用符号n表示，转速的单位为转/秒，符号是r/s，或转/分(r/min)．
4．匀速圆周运动中线速度、角速度、周期、频率的关系
项目内容 大小 国际单位(符号) 各物理量在图中示意 关系
线速度 米每秒(m/s) 都是描述匀速圆周运动快慢的量
角速度 弧度每秒(rad/s)
周期 秒(s)
频率 赫兹(Hz)
转速 转每秒(r/s)
5．三种传动方式
(1)同轴传动：
如图所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB．
(2)皮带传动：
如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB．
(3)齿轮传动：
如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即：vA＝vB．
6．匀速圆周运动中的加速度
匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动，必定有加速度；匀速圆周运动的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化．
(1)匀速圆周运动的向心加速度及推导
如图所示，设质点沿半径为的圆周做匀速圆周运动，在某时刻位于A点，速度为vA，经过很短的时间，运动到B点，速度为vB，把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量，如乙图所示．
①向心加速度的方向：比值是质点在时间内的平均加速度，方向与的方向相同，当足够短，或者说趋近于零时，就表示质点在点的瞬时加速度，在图乙所示的矢量三角形中，vA和vB的大小相等，当趋近于零时，也趋近于零，的方向趋近于跟vA垂直而指向圆心．
②向心加速度的大小：做匀速圆周运动的质点在任一点的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心．甲图中三角形ABO与乙图中的矢量三角形是相似三角形，用表示和的大小，用表示弦AB的长度，则有：或，用上式除以得．当趋近于零时，表示向心加速度a的大小，表示线速度的大小，于是得到．
综上所述，对向心加速度做个总结：
定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度．
大小：．
方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心．(即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变，所以圆周运动一定是变加速曲线运动．)
物理意义：描述线速度方向改变的快慢．
一般用符号an表示向心加速度．
(2)对向心加速度的理解
①根据题目中所给的条件，应灵活选取an的表达式．例：若已知或要求量为v，则选an＝，若已知或要求量为ω，则选an＝ω2r.
②向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系，所以必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．在v一定的情况下，可认为物体的向心加速度an与r成反比；而在ω一定的情况下，可认为物体的向心加速度an与r成正比．
③向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动．当物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是总加速度．当物体做非匀速圆周运动时，物体在向心加速度之外还有一个切向加速度，所以总加速度不指向圆心．
三、考查方向
题型1：圆周运动各物理量的关系
典例一：(多选)质点做匀速圆周运动时(　　)
A．线速度越大，其转速一定越大
B．角速度大时，其转速一定大
C．线速度一定时，半径越大，则周期越长
D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点运动的周期一定越长
题型2：共轴传动
典例二：如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点(　　)
A．角速度大小之比ωA∶ωB＝∶1
B．角速度大小之比ωA∶ωB＝1∶
C．线速度大小之比vA∶vB＝∶1
D．线速度大小之比vA∶vB＝1∶
题型3：皮带传动
典例三：如图为自行车传动机构的示意图，经过测量A、B轮的半径比为2∶1，C轮的半径为32 cm．假设脚踏板每2 s转1圈，则自行车前进的速度约为(　　)
A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D．5 m/s
题型4：向心加速度的计算
典例四：某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为(　　)
A． B． C． D．
四、模拟训练
一、基础练习
1.下列关于匀速圆周运动的说法中正确的是( )
A．是速度不变的运动
B．是角速度不变的运动
C．是角速度不断变化的运动
D．是相对圆心位移不变的运动
2.(多选)质点做匀速圆周运动时(　　)
A．线速度越大，其转速一定很大
B．角速度大时，其转速一定大
C．线速度一定时，半径越大则周期越大
D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点的速度方向变化得越快
3.(多选)关于线速度和角速度，下列说法正确的是(　　)
A．半径一定，线速度大小与角速度大小成正比
B．半径一定，线速度大小与角速度大小成反比
C．线速度大小一定，角速度大小与半径成反比
D．角速度大小一定，线速度大小与半径成反比
4.(多选)A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长比sA∶sB=2∶3，转过的圆心角比θA∶θB=3∶2．则下列说法中正确的是(　　)
A．它们的线速度比vA∶vB=2∶3 B．它们的角速度比ωA∶ωB=2∶3
C．它们的周期比TA∶TB=2∶3 D．它们的周期比TA∶TB=3∶2
5.一物体以一定的半径做匀速圆周运动，它的线速度为v，角速度为ω，经过一段短暂的时间后，物体通过的弧长为S，半径转过的角度为 ，则下列关于S的表达式中正确的是( )
A． B． C． D．
6.走时准确的机械表，分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是1.3∶1，则下列判断正确的是(　　)
A．分针与时针的周期之比是1∶24
B．分针与时针的角速度之比是60∶1
C．分针针尖与时针针尖的线速度之比是600∶13
D．分针和时针从重合至第二次重合所经历的时间是h
7.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同 B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心 D．始终保持不变
8.(多选)关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是(　　)
A．由a=可知，a与r成反比 B．由a=ω2r可知，a与r成正比
C．当v一定时，a与r成反比 D．由ω=2πn可知，角速度ω与转速n成正比
9.关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量
C．向心加速度时刻指向圆心，方向不变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用来计算
10.关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．由于，所以线速度大的物体向心加速度大
B．由于，所以半径大的物体向心加速度小
C．由于a=rω2，所以角速度大的物体向心加速度大
D．由于a=rω2，所以角速度大的物体向心加速度可能大
11.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是(　　)
A．线速度vA=vB
B．线速度vA＞vB
C．周期TA＜TB
D．周期TA＞TB
12.(多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( )
A．a、b两点线速度相同
B．a、b两点角速度相同
C．若θ=30°，则a、b两点的线速度之比va：vb=：2
D．若θ=30°，则a、b两点的向心加速度之比aa：ab=：2
13.如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是(　　)
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度相同
14.在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶3∶5，当齿轮转动的时候，比较小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点有(　　)
A．A点和B点的角速度之比为5∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的向心加速度之比为1∶5
D．A点和B点的线速度大小之比为1∶5
15.如图，靠轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴为r；左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点；小轮半径为r，c为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则下列说法错误的是(　　)
A．b点与d点的周期之比为2∶1
B．a点与c点的线速度之比为1∶1
C．c点与b点的角速度之比为2∶1
D．a点与d点的向心加速度大小之比为1∶4
16.(多选)如图为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r．c点和d点分别位于左侧小轮和大轮的边缘上．若传动过程中皮带不打滑，则( )
A．a点和b点的线速度大小相等
B．a点和b点的角速度大小相等
C．a点和c点的线速度大小相等
D．a点和d点的向心加速度大小相等
17.如图是自行车传动机的示意图，其中Ⅰ是大齿轮，Ⅱ是小齿轮，Ⅲ是后轮．
(1)假设脚踏板的转速为n r/s，则大齿轮的角速度是___________rad/s；
(2)要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，除需要测量大齿轮Ⅰ的半径r1，小齿轮Ⅱ的半径r2外，还需要测量的物理量是_________________；
(3)用上述量推导出自行车前进速度的表达式．
二、提升练习
1.、两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同的时间内，它们通过的路程之比是，运动方向改变的角度之比是，则它们　　
A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为
C．圆周运动的半径之比为 D．向心加速度大小之比为
2.火车以的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在内匀速转过了约．在此时间内，火车　　
A．运动路程为 B．加速度为零
C．角速度约为 D．转弯半径约为
3.如图，带有一白点的黑色圆盘，可绕过其中心，垂直于盘面的轴匀速转动，每秒沿顺时针方向旋转30圈．在暗室中用每秒闪光31次的频闪光源照射圆盘，观察到白点每秒沿　　
A．顺时针旋转31圈 B．逆时针旋转31圈
C．顺时针旋转1圈 D．逆时针旋转1圈
4.图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为，从动轮的半径为．已知主动轮做顺时针转动，转速为，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是　　
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为 D．从动轮的转速为
5.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是　　
A．与线速度的方向始终相同 B．与线速度的方向始终相反
C．始终指向圆心 D．始终保持不变专题3 圆周运动的描述（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
描述圆周运动的相关物理量 重点
向心加速度 重难点
三种传动方式 难点
二、知识点解析
1．圆周运动和匀速圆周运动
(1)圆周运动：如果物体运动的轨迹是圆，物体做的就是圆周运动．
(2)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做“匀速圆周运动”，亦称“匀速率圆周运动”．
说明：物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动．
2．线速度和角速度
(1)线速度：
①线速度就是速度．
注：线速度的大小用物体通过的弧长与所用时间的比值来度量:，当所取的时间间隔很小时，这样得到的就是瞬时速度．
②大小： 单位为：m/s．
③方向：某点线速度的方向即为该点的切线方向．(与半径垂直)
④物理意义：从长度方面描述圆周运动的快慢．
注：对于匀速圆周运动，在任意相等时间内通过的弧长都相等，即线速度大小不变，但方向时刻改变．
(2)角速度：
①定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间t的比值，就是质点运动的角速度．
②大小： 单位：rad/s．
③物理意义：从角度方面描述圆周运动的快慢．
注：对于匀速圆周运动，角速度大小不变．
3．周期、频率、转速
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期．用T表示，单位s．
⑵频率：做匀速圆周运动的物体在1 s内转的圈数叫做频率．用f表示，其单位为：转/秒(或赫兹)，符号为r/s(或Hz)．
⑶转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢．转速是指物体单位时间所转过的圈数，常用符号n表示，转速的单位为转/秒，符号是r/s，或转/分(r/min)．
4．匀速圆周运动中线速度、角速度、周期、频率的关系
项目内容 大小 国际单位(符号) 各物理量在图中示意 关系
线速度 米每秒(m/s) 都是描述匀速圆周运动快慢的量
角速度 弧度每秒(rad/s)
周期 秒(s)
频率 赫兹(Hz)
转速 转每秒(r/s)
5．三种传动方式
(1)同轴传动：
如图所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB．
(2)皮带传动：
如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB．
(3)齿轮传动：
如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即：vA＝vB．
6．匀速圆周运动中的加速度
匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动，必定有加速度；匀速圆周运动的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化．
(1)匀速圆周运动的向心加速度及推导
如图所示，设质点沿半径为的圆周做匀速圆周运动，在某时刻位于A点，速度为vA，经过很短的时间，运动到B点，速度为vB，把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量，如乙图所示．
①向心加速度的方向：比值是质点在时间内的平均加速度，方向与的方向相同，当足够短，或者说趋近于零时，就表示质点在点的瞬时加速度，在图乙所示的矢量三角形中，vA和vB的大小相等，当趋近于零时，也趋近于零，的方向趋近于跟vA垂直而指向圆心．
②向心加速度的大小：做匀速圆周运动的质点在任一点的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心．甲图中三角形ABO与乙图中的矢量三角形是相似三角形，用表示和的大小，用表示弦AB的长度，则有：或，用上式除以得．当趋近于零时，表示向心加速度a的大小，表示线速度的大小，于是得到．
综上所述，对向心加速度做个总结：
定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度．
大小：．
方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心．(即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变，所以圆周运动一定是变加速曲线运动．)
物理意义：描述线速度方向改变的快慢．
一般用符号an表示向心加速度．
(2)对向心加速度的理解
①根据题目中所给的条件，应灵活选取an的表达式．例：若已知或要求量为v，则选an＝，若已知或要求量为ω，则选an＝ω2r.
②向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系，所以必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．在v一定的情况下，可认为物体的向心加速度an与r成反比；而在ω一定的情况下，可认为物体的向心加速度an与r成正比．
③向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动．当物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是总加速度．当物体做非匀速圆周运动时，物体在向心加速度之外还有一个切向加速度，所以总加速度不指向圆心．
三、考查方向
题型1：圆周运动各物理量的关系
典例一：(多选)质点做匀速圆周运动时(　　)
A．线速度越大，其转速一定越大
B．角速度大时，其转速一定大
C．线速度一定时，半径越大，则周期越长
D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点运动的周期一定越长
题型2：共轴传动
典例二：如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点(　　)
A．角速度大小之比ωA∶ωB＝∶1
B．角速度大小之比ωA∶ωB＝1∶
C．线速度大小之比vA∶vB＝∶1
D．线速度大小之比vA∶vB＝1∶
题型3：皮带传动
典例三：如图为自行车传动机构的示意图，经过测量A、B轮的半径比为2∶1，C轮的半径为32 cm．假设脚踏板每2 s转1圈，则自行车前进的速度约为(　　)
A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D．5 m/s
题型4：向心加速度的计算
典例四：某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为(　　)
A． B． C． D．
四、模拟训练
一、基础练习
1.下列关于匀速圆周运动的说法中正确的是( )
A．是速度不变的运动
B．是角速度不变的运动
C．是角速度不断变化的运动
D．是相对圆心位移不变的运动
2.(多选)质点做匀速圆周运动时(　　)
A．线速度越大，其转速一定很大
B．角速度大时，其转速一定大
C．线速度一定时，半径越大则周期越大
D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点的速度方向变化得越快
3.(多选)关于线速度和角速度，下列说法正确的是(　　)
A．半径一定，线速度大小与角速度大小成正比
B．半径一定，线速度大小与角速度大小成反比
C．线速度大小一定，角速度大小与半径成反比
D．角速度大小一定，线速度大小与半径成反比
4.(多选)A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长比sA∶sB=2∶3，转过的圆心角比θA∶θB=3∶2．则下列说法中正确的是(　　)
A．它们的线速度比vA∶vB=2∶3 B．它们的角速度比ωA∶ωB=2∶3
C．它们的周期比TA∶TB=2∶3 D．它们的周期比TA∶TB=3∶2
5.一物体以一定的半径做匀速圆周运动，它的线速度为v，角速度为ω，经过一段短暂的时间后，物体通过的弧长为S，半径转过的角度为 ，则下列关于S的表达式中正确的是( )
A． B． C． D．
6.走时准确的机械表，分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是1.3∶1，则下列判断正确的是(　　)
A．分针与时针的周期之比是1∶24
B．分针与时针的角速度之比是60∶1
C．分针针尖与时针针尖的线速度之比是600∶13
D．分针和时针从重合至第二次重合所经历的时间是h
7.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同 B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心 D．始终保持不变
8.(多选)关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是(　　)
A．由a=可知，a与r成反比 B．由a=ω2r可知，a与r成正比
C．当v一定时，a与r成反比 D．由ω=2πn可知，角速度ω与转速n成正比
9.关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量
C．向心加速度时刻指向圆心，方向不变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用来计算
10.关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．由于，所以线速度大的物体向心加速度大
B．由于，所以半径大的物体向心加速度小
C．由于a=rω2，所以角速度大的物体向心加速度大
D．由于a=rω2，所以角速度大的物体向心加速度可能大
11.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是(　　)
A．线速度vA=vB
B．线速度vA＞vB
C．周期TA＜TB
D．周期TA＞TB
12.(多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( )
A．a、b两点线速度相同
B．a、b两点角速度相同
C．若θ=30°，则a、b两点的线速度之比va：vb=：2
D．若θ=30°，则a、b两点的向心加速度之比aa：ab=：2
13.如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是(　　)
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度相同
14.在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶3∶5，当齿轮转动的时候，比较小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点有(　　)
A．A点和B点的角速度之比为5∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的向心加速度之比为1∶5
D．A点和B点的线速度大小之比为1∶5
15.如图，靠轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴为r；左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点；小轮半径为r，c为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则下列说法错误的是(　　)
A．b点与d点的周期之比为2∶1
B．a点与c点的线速度之比为1∶1
C．c点与b点的角速度之比为2∶1
D．a点与d点的向心加速度大小之比为1∶4
16.(多选)如图为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r．c点和d点分别位于左侧小轮和大轮的边缘上．若传动过程中皮带不打滑，则( )
A．a点和b点的线速度大小相等
B．a点和b点的角速度大小相等
C．a点和c点的线速度大小相等
D．a点和d点的向心加速度大小相等
17.如图是自行车传动机的示意图，其中Ⅰ是大齿轮，Ⅱ是小齿轮，Ⅲ是后轮．
(1)假设脚踏板的转速为n r/s，则大齿轮的角速度是___________rad/s；
(2)要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，除需要测量大齿轮Ⅰ的半径r1，小齿轮Ⅱ的半径r2外，还需要测量的物理量是_________________；
(3)用上述量推导出自行车前进速度的表达式．
二、提升练习
1.、两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同的时间内，它们通过的路程之比是，运动方向改变的角度之比是，则它们　　
A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为
C．圆周运动的半径之比为 D．向心加速度大小之比为
2.火车以的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在内匀速转过了约．在此时间内，火车　　
A．运动路程为 B．加速度为零
C．角速度约为 D．转弯半径约为
3.如图，带有一白点的黑色圆盘，可绕过其中心，垂直于盘面的轴匀速转动，每秒沿顺时针方向旋转30圈．在暗室中用每秒闪光31次的频闪光源照射圆盘，观察到白点每秒沿　　
A．顺时针旋转31圈 B．逆时针旋转31圈
C．顺时针旋转1圈 D．逆时针旋转1圈
4.图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为，从动轮的半径为．已知主动轮做顺时针转动，转速为，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是　　
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为 D．从动轮的转速为
5.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是　　
A．与线速度的方向始终相同 B．与线速度的方向始终相反
C．始终指向圆心 D．始终保持不变
典例一
【答案】BC
【解析】A．匀速圆周运动的线速度，则，故线速度越大，其转速不一定越大，因为还与r有关，A错误；
B．匀速圆周运动的角速度，则，所以角速度大时，其转速一定大，B正确；
C．匀速圆周运动的周期，则线速度一定时，半径越大，则周期越长，C正确；
D．匀速圆周运动的周期，与半径无关，且角速度越大，则质点的周期一定越短，D错误．
典例二
【答案】D
【解析】板上A、B两点的角速度相等，角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，选项A、B错误；线速度v＝ωr，线速度之比vA∶vB＝1∶，选项C错误，D正确．
典例三
【答案】A
【解析】脚踏板每2 s转1圈，则A的周期为TA=2 s，那么=π rad/s；
根据A轮和B轮靠链条传动，线速度大小相等，据v=Rω可知：RAωA=RBωB，
所以=，解得：ωB=2π rad/s；
因为B轮和C轮共轴，所以转动的ω相等，即ωB=ωC，根据v=Rω可知，
v=RCωC=0.32×2π≈2 m/s，故A正确，BCD错误．
典例四
【答案】A
【解析】甲丙的线速度大小相等，根据a=知甲丙的向心加速度之比为r3∶r1，甲的向心加速度，则 ．故A正确，B、C、D错误．
四、模拟训练
一、基础练习
1.【答案】：B
【解析】：匀速圆周运动是速度大小不变但是方向却时刻在发生变化的一种运动，所以A错误；匀速圆周运动的角速度不变，所以B正确、C错误；相对圆心的位移大小不变但是方向一直发生变化．
2.【答案】：BCD
【解析】：A．由公式v=ωr=2πrn，v大，n不一定大，还取决于r，故A错误；
B．由公式ω=2πn，知ω与n成正比，故B正确；
C．由T=，线速度一定时，T与r成正比，故C正确；
D．由角速度物理意义可知：角速度就是描述速度方向变化快慢的物理量，故D正确．
3.【答案】：AC
【解析】：A．半径一定时，由v=Rω知，线速度的大小与角速度成正比，故A正确；
B．半径一定时，由v=Rω知，线速度的大小与角速度成正比，故B错误；
C．因为v=Rω，所以线速度大小一定时，角速度与半径成反比，故C正确；
D．线速度一定，由v=Rω知，角速度一定，线速度与半径成正比，故D错误．
4.【答案】：AC
【解析】：A、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等时间内它们通过的弧长之比为SA∶SB=2∶3，根据公式v=，线速度之比为vA∶vB=2∶3，故A正确；通过的圆心角之比，根据公式ω=，角速度之比为3∶2，故B错误；根据公式T=，周期之比为TA∶TB=2∶3，故C正确，D错误．
5.【答案】：A
【解析】：由弧长S= 即可得，选A．
6.【答案】：D
【解析】：A．时针的周期为：T时=12h，分针的周期为：T分=1 h，所以：．故A错误；
B．根据得角速度之比为：．故B错误；
C．根据v=ωr得：分针针尖与时针针尖的线速度之比为：．故C错误；D．分针和时针从重合至第二次重合所经历时，分针比时针多转1圈，多走的角度为2π，则：，代入数据可得：t=h．故D正确．
7.【答案】：C
【解析】：做匀速圆周运动物体的向心加速度方向与线速度方向时刻垂直，并且时刻变化、始终指向圆心．
8.【答案】：CD
【解析】：ABC．由牛顿第二定律可知，向心加速度是由向心力的大小和物体的质量决定的，与速度和半径无关，同时要注意公式使用的条件，如：公式a=要说明是在线速度相等的条件下，a与r成反比．所以AB错误，C正确；
D．因为2π是恒量，所以可以由ω=2πn知，角速度与转速成正比，故D正确．
9.【答案】：B
【解析】：AB．圆周运动的向心加速度只改变速度的方向，不改变速度大小，向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢的物理量．对于匀速圆周运动，角速度不变，可知向心加速度不是描述角速度变化快慢的物理量，故A错误，B正确；
C．向心加速度的方向始终指向圆心，时刻在改变，故C错误；
D．向心加速度 ，速度的变化量根据矢量三角形求解．故D错误．
10.【答案】：D
【解析】：A．由于，半径r不确定，所以线速度大的物体向心加速度不一定大，故A错误；
B．由于，线速度v不确定，所以半径大的物体向心加速度不一定小，故B错误；
C．由于a=rω2，半径r不确定，所以角速度大的物体向心加速度不一定大，故C错误；
D．由于a=rω2，半径r不确定，当r一定时，角速度大的物体向心加速度大，所以角速度大的物体向心加速度可能大，故D正确．
11.【答案】：B
【解析】：AB．由题分析可知，A、B两物体的角速度相同，由v=ωr知，ω相同，则线速度与半径成正比，A的半径大，则其线速度大，故A错误，B正确；
CD．由图可知，A、B两物体的角速度相同，周期相同．故C错误，D错误．
12.【答案】：BCD
【解析】：AB．共轴转动的各点角速度相等，故a、b两点的角速度相等，但运动半径不等，所以线速度不等，故A错误，B正确；
C．设球的半径为R，当θ=30°时，a的转动半径r=Rcos30°=，b的半径为R，根据v=rω可知，，故C正确；
D．设球的半径为R，当θ=30°时，a的转动半径r=Rcos30°=，b的半径为R，根据a=rω2可知，，故D正确．
13.【答案】：A
【解析】：A．A、B两点共轴转动，角速度相等．故A正确；
B．因为A、B两点绕地轴转动，A的转动半径大于B点的转动半径，根据v=rω知，A的线速度大于B的线速度大小．故B错误；
C．A、B两点的向心加速度方向垂直指向地轴．故C错误；
D．根据a=rω2知，角速度相等，A的转动半径大，则A点的向心加速度大于B点的向心加速度．故D错误．
14.【答案】：A
【解析】：ABD．大齿轮和小齿轮是同缘传动，边缘点的线速度大小相等，故A点和B点的线速度大小之比为1∶1，A点和B点的半径之比为1∶5，线速度相等，根据v=ωr，角速度之比为5∶1，故A正确，BD错误；
C．根据a=ωv得A点和B点的向心加速度速度大小之比为5∶1，故C错误．
15.【答案】：D
【解析】：AB．c、d轮共轴转动，角速度相等，d点的周期等于c点的周期，而a、b的角速度相等，则a的周期等于b的周期，因a、c的线速度大小相等，a半径是c的2倍，则a点与c点的周期之比为2∶1，所以b点与d点的周期之比为2∶1．故A、B正确；
C．a、c的线速度相等，半径比为2∶1，根据ω=，知a、c的角速度之比1∶2，a、b的角速度相等，所以c点与b点的角速度之比为2∶1．故C正确；
D．a、c的线速度相等，半径比为2∶1，根据a=，知向心加速度之比为1∶2．c、d的角速度相等，由a=rω2，知c、d的向心加速度之比为1∶4，所以a、d两点的向心加速度之比为1∶8．故D错误．
16.【答案】：CD
【解析】：直接条件为：ac线速度相等，bcd角速度相等．a的线速度是b的2倍，A错；a的角速度是b的2倍，B错；C即为直接条件之一，C对；a的角速度是d的2倍，a的半径是d的 ，所以ad的向心加速度大小相等，D对．
17.【答案】：(1)2πn；(2)后轮的半径R；(3)
【解析】：(1)脚踏板的角速度ω=2πn．则大齿轮的角速度为2πn；
(2、3)设后轮的半径为R，因为大小齿轮的线速度相等，ω1r1=ω2r2，所以ω2=，小齿轮和后轮的角速度相等，则线速度v=，所以还需要测量后轮的半径R．
二、提升练习
1.【答案】A
【解析】、线速度，、通过的路程之比为，时间相等，则线速度之比为，故正确。
、角速度，运动方向改变的角度等于圆周运动转过的角度，、转过的角度之比为，时间相等，则角速度大小之比为，故错误。
、根据得，圆周运动的半径，线速度之比为，角速度之比为，则圆周运动的半径之比为，故错误。
、根据得，线速度之比为，角速度之比为，则向心加速度之比为，故错误。
故选：。
2.【答案】AD
【解析】、由于火车的运动可看做匀速圆周运动，则可求得火车在此时间内的路程为。故正确；
、因为火车的运动可看做匀速圆周运动，其所受到的合外力提供向心力，根据牛顿第二定律可知加速度不等于零。故错误；
、利用指南针在内匀速转过了约，可推广出在内匀速转过了约，再根据角速度的定义式，解得角速度的大小为．故错误；
、已知火车在此时间内通过的路程为，由数学知识可知，火车转过的弧长为，可解得：．故正确。
故选：。
3.【答案】D
【解析】带有一白点的黑色圆盘，可绕过其中心，垂直于盘面的轴匀速转动，每秒沿顺时针方向旋转30圈，即，在暗室中用每秒闪光31次的频闪光源照射圆盘，即，，
所以观察到白点逆时针旋转，，
所以观察到白点每秒逆时针旋转1圈。
故选：。
4.【答案】BC
【解析】因为主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，错误，正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，根据得：
所以，故正确，错误。
故选：。
5.【答案】C
【解析】向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小只是改变线速度的方向，由于加速度是矢量，因此向心加速度是时刻变化的，故错误，正确。
故选：。

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