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专题5 竖直面内的圆周运动（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
向心力的来源分析 重难点
水平面内的圆周运动 重难点
火车转弯模型 难点
二、知识点解析
1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)
汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．
(1)拱形桥(失重)
汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到vmax＝，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．
(2)凹形路(超重)
汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．
说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．
2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)
(1)受力条件：
轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．
(2)临界问题：
①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则： ，解得：
说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：，解得:
②能过最高点的条件：≥．
③不能过最高点的条件：＜，实际上小球在到达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．
3．杆模型(双管，有支撑)
(1)受力条件：
轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．
(2)临界问题：
①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：．
②当0＜＜时，重力提供向心力过量，轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力．由得：．支持力随的增大而减小，其取值范围是 0＜＜．
③当时，重力刚好提供向心力，即，轻杆或轨道对小球无作用力．
④当＞时，重力提供向心力不够，轻杆对小球施加向下的拉力或轨道外侧对小球施加向下的弹力弥补不足，由得：，且越大(或)越大．
说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg都要改成．
4．离心运动
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
(1)离心运动的成因
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当时，物体做匀速圆周运动；当时，物体沿切线方向飞出；当时，物体逐渐远离圆心．为实际提供的向心力．如图所示．
(2)离心运动的应用
离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．
离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．
(3)离心运动的防止
有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．
(4)几种常见的离心运动
物理情景 实物图 原理图 现象及结论
洗衣机脱水筒 当水滴跟物体之间的附着力不能提供足够的向心力(即)时，水滴做离心运动
汽车在水平 路面上转弯 当最大静摩擦力不足以提供向心力(即)时，汽车做离心运动
三、考查方向
题型1：汽车过桥模型
典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )
A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmg
C．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值
题型2：绳模型
典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度至少为(　　)
A． B．
C． D．
题型3：杆模型
典例三：一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
题型4：离心运动
典例四：如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
四、模拟训练
一、基础练习
1.（多选）下列物体处于超重状态的是（　　）
A．汽车以恒定速率驶过凹形桥的最低点时
B．汽车以恒定速率驶过凸形桥的最高点时
C．荡秋千的小孩经过最低点时
D．汽车以恒定速率在水平面内转弯时
2.一汽车通过拱形桥顶点时的速度为10m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
3.同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有(　　)
A．车对两种桥面的压力一样大 B．车对平直桥面的压力大
C．车对凸形桥面的压力大 D．无法判断
4.公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”．如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　)
A．车对桥的压力等于汽车的重力
B．车对桥的压力小于汽车的重力
C．车的速度越大，车对桥面的压力越小
D．车的速度越大，车对桥面的压力越大
5.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度，物体甲将(　　)
A．沿球面下滑至M点
B．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
C．立即离开半圆球做平抛运动
D．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动
6.(多选)用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是(　　)．
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零
D．小球经过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
7.飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直平面内以速度v做半径为r的匀速圆周运动，在其运动圆周的最高点和最低点，飞行员对座椅产生的压力是(　　)
A．在最低点比最高点大 B．相等
C．在最低点比最高点大2mg D．在最高点的压力大些
8.由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度均不变，则以下说法正确的是(　　)
A．飞机做的是匀速直线运动
B．飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力
C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力
D．飞机上的乘客对座椅的压力为零
9.(多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法中正确的是(　　)
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
D．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
10.(多选)如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F(　　)
A．可能是拉力 B．可能是推力
C．可能等于0 D．以上说法均不正确
11.长度为0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将(　　)
A．受到6.0N的拉力 B．受到6.0N的压力
C．受到24N的拉力 D．受到24N的压力
12.(多选)如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是(　　)
A．小球能够到达最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg
13.下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做曲线运动
14.下列现象中，与离心运动无关的是(　　)
A．汽车转弯时速度过大，乘客感觉往外甩
B．汽车急刹车时，乘客身体向前倾
C．洗衣机脱水桶旋转，将衣服上的水甩掉
D．运动员投掷链球时，在高速旋转的时候释放链球
15.(多选)洗衣机的甩干筒在旋转时有衣服附在筒壁上，则此时(　　)
A．衣服受重力，筒壁的弹力和摩擦力，及离心力作用
B．衣服随筒壁做圆周运动的向心力由筒壁的弹力提供
C．筒壁对衣服的摩擦力随转速的增大而增大
D．如转速不变，筒壁对衣服的弹力随着衣服含水量的减少而减少
16.如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为，图象如乙图所示下列说法正确的是(　　)
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．时，杆对小球弹力方向向上
D．若．则杆对小球弹力大小为2a
17.如图所示，质量为m的A，B两球分别固定在长为L的轻杆的一端和中点，转至最高点A球速度v时，轻杆对A球作用力刚好为零，在最高点，若A球速度为4v时，轻杆OB对B球的作用力为(　　)
A．16mg B．22mg
C．28mg D．0
18.一根长l＝0.625m的细绳，一端拴一质量m=0.4kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v=3.0m/s通过圆周最高点时，绳对小球的作用力拉力多大 方向如何
19.有一辆质量为1200kg的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥，如图所示．求
(1)汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力有多大？
(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？
20.用长L=0.6m的绳系着装有m=0.5kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”．g=10m/s2．求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？
(2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
二、提升练习
1.（2020全国一）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A．200 N
B．400 N
C．600 N
D．800 N
2.（2019江苏·多选）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（ ）
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
3.图中左侧为一轻软线下挂一质点，图中右侧为一轻细杆下连一质点，线和杆的长度相等，两者都可绕各自的固定轴在竖直面内运动。开始时，都静止。现分别给和一沿水平方向最小的初速度和，使它们刚能绕各自的固定轴做圆周运动，则　　
A．
B．
C．
D．因为，的质量未知，故不能判断和的大小关系
4.秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千　　
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中 C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
5.如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴，现给球一初速度，使杆和球一起绕轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用表示球到达最高点时杆对球的作用力，则　　
A．一定是拉力
B．一定是支持力
C．一定等于0
D．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零专题5 竖直面内的圆周运动（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
向心力的来源分析 重难点
水平面内的圆周运动 重难点
火车转弯模型 难点
二、知识点解析
1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)
汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．
(1)拱形桥(失重)
汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到vmax＝，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．
(2)凹形路(超重)
汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．
说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．
2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)
(1)受力条件：
轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．
(2)临界问题：
①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则： ，解得：
说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：，解得:
②能过最高点的条件：≥．
③不能过最高点的条件：＜，实际上小球在到达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．
3．杆模型(双管，有支撑)
(1)受力条件：
轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．
(2)临界问题：
①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：．
②当0＜＜时，重力提供向心力过量，轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力．由得：．支持力随的增大而减小，其取值范围是 0＜＜．
③当时，重力刚好提供向心力，即，轻杆或轨道对小球无作用力．
④当＞时，重力提供向心力不够，轻杆对小球施加向下的拉力或轨道外侧对小球施加向下的弹力弥补不足，由得：，且越大(或)越大．
说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg都要改成．
4．离心运动
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
(1)离心运动的成因
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当时，物体做匀速圆周运动；当时，物体沿切线方向飞出；当时，物体逐渐远离圆心．为实际提供的向心力．如图所示．
(2)离心运动的应用
离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．
离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．
(3)离心运动的防止
有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．
(4)几种常见的离心运动
物理情景 实物图 原理图 现象及结论
洗衣机脱水筒 当水滴跟物体之间的附着力不能提供足够的向心力(即)时，水滴做离心运动
汽车在水平 路面上转弯 当最大静摩擦力不足以提供向心力(即)时，汽车做离心运动
三、考查方向
题型1：汽车过桥模型
典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )
A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmg
C．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值
题型2：绳模型
典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度至少为(　　)
A． B．
C． D．
题型3：杆模型
典例三：一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
题型4：离心运动
典例四：如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
四、模拟训练
一、基础练习
1.（多选）下列物体处于超重状态的是（　　）
A．汽车以恒定速率驶过凹形桥的最低点时
B．汽车以恒定速率驶过凸形桥的最高点时
C．荡秋千的小孩经过最低点时
D．汽车以恒定速率在水平面内转弯时
2.一汽车通过拱形桥顶点时的速度为10m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
3.同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有(　　)
A．车对两种桥面的压力一样大 B．车对平直桥面的压力大
C．车对凸形桥面的压力大 D．无法判断
4.公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”．如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　)
A．车对桥的压力等于汽车的重力
B．车对桥的压力小于汽车的重力
C．车的速度越大，车对桥面的压力越小
D．车的速度越大，车对桥面的压力越大
5.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度，物体甲将(　　)
A．沿球面下滑至M点
B．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
C．立即离开半圆球做平抛运动
D．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动
6.(多选)用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是(　　)．
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零
D．小球经过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
7.飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直平面内以速度v做半径为r的匀速圆周运动，在其运动圆周的最高点和最低点，飞行员对座椅产生的压力是(　　)
A．在最低点比最高点大 B．相等
C．在最低点比最高点大2mg D．在最高点的压力大些
8.由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度均不变，则以下说法正确的是(　　)
A．飞机做的是匀速直线运动
B．飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力
C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力
D．飞机上的乘客对座椅的压力为零
9.(多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法中正确的是(　　)
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
D．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
10.(多选)如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F(　　)
A．可能是拉力 B．可能是推力
C．可能等于0 D．以上说法均不正确
11.长度为0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将(　　)
A．受到6.0N的拉力 B．受到6.0N的压力
C．受到24N的拉力 D．受到24N的压力
12.(多选)如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是(　　)
A．小球能够到达最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg
13.下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做曲线运动
14.下列现象中，与离心运动无关的是(　　)
A．汽车转弯时速度过大，乘客感觉往外甩
B．汽车急刹车时，乘客身体向前倾
C．洗衣机脱水桶旋转，将衣服上的水甩掉
D．运动员投掷链球时，在高速旋转的时候释放链球
15.(多选)洗衣机的甩干筒在旋转时有衣服附在筒壁上，则此时(　　)
A．衣服受重力，筒壁的弹力和摩擦力，及离心力作用
B．衣服随筒壁做圆周运动的向心力由筒壁的弹力提供
C．筒壁对衣服的摩擦力随转速的增大而增大
D．如转速不变，筒壁对衣服的弹力随着衣服含水量的减少而减少
16.如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为，图象如乙图所示下列说法正确的是(　　)
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．时，杆对小球弹力方向向上
D．若．则杆对小球弹力大小为2a
17.如图所示，质量为m的A，B两球分别固定在长为L的轻杆的一端和中点，转至最高点A球速度v时，轻杆对A球作用力刚好为零，在最高点，若A球速度为4v时，轻杆OB对B球的作用力为(　　)
A．16mg B．22mg
C．28mg D．0
18.一根长l＝0.625m的细绳，一端拴一质量m=0.4kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v=3.0m/s通过圆周最高点时，绳对小球的作用力拉力多大 方向如何
19.有一辆质量为1200kg的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥，如图所示．求
(1)汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力有多大？
(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？
20.用长L=0.6m的绳系着装有m=0.5kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”．g=10m/s2．求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？
(2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
二、提升练习
1.（2020全国一）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A．200 N
B．400 N
C．600 N
D．800 N
2.（2019江苏·多选）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（ ）
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
3.图中左侧为一轻软线下挂一质点，图中右侧为一轻细杆下连一质点，线和杆的长度相等，两者都可绕各自的固定轴在竖直面内运动。开始时，都静止。现分别给和一沿水平方向最小的初速度和，使它们刚能绕各自的固定轴做圆周运动，则　　
A．
B．
C．
D．因为，的质量未知，故不能判断和的大小关系
4.（秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千　　
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中 C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
5.如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴，现给球一初速度，使杆和球一起绕轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用表示球到达最高点时杆对球的作用力，则　　
A．一定是拉力
B．一定是支持力
C．一定等于0
D．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零
典例一
【答案】：C
【解析】在四分之一圆弧底端，根据牛顿第二定律得：，解得：N=mg+，
此时摩擦力最大，有：．故C正确确，ABD错误．
典例二
【答案】：B
【解析】：据题知，杯子圆周运动的半径，杯子运动到最高点时，水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得： 解得：
典例三
【答案】：A
【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v＜，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v＞，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F增大，故C、D均错误。
典例四
【答案】：A．
【解析】：A、在水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力，当拉力消失，物体受力合为零，将沿切线方向做匀速直线运动，A正确；
B、当向心力减小时，将沿Pb轨道做离心运动，B错误；
C、F突然变大，小球将沿轨迹Pc做向心运动，故C错误；
D、F突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动，故D错误；
五、模拟训练
一、基础练习
1.【答案】：AC．
【解析】：A、汽车过凹形桥最低点，此时有向上的加速度，处于超重状态．故A正确；
B、汽车过凸形桥最高点，加速度向下，处于失重状态；故B错误；
C、荡秋千经过最低点的小球，此时有向上的加速度，处于超重状态．故C正确；
D、汽车以恒定速率在水平面内转弯时，加速度的方向沿水平方向，既不是超重，匀变速失重．故D错误；
2.【答案】：B．
【解析】：车对桥顶的压力为车重的时，mg﹣mg=m，解得：R===40m，车在桥顶对桥面没有压力时：mg=m，解得：v1===20m/s
3.【答案】：B
【解析】：设汽车的质量为m，当开上平直的桥时，由于做匀速直线运动，故压力等于重力，即:N1=mg
当汽车以一定的速度通过凸形桥时，受重力和向上的支持力，合力等于向心力，故mg﹣N2=m
故N2＜mg，因而N1＞N2，而汽车对桥的压力等于桥对车的支持力，所以车对平直桥面的压力大，故B正确．
4.【答案】：D
【解析】：A、B、汽车通过凹形桥的最低点时，向心力竖直向上，合力竖直向上，加速度竖直向上，根据牛顿第二定律得知，汽车过于超重状态，所以车对桥的压力比汽车的重力大，故AB错误；
C、D、对汽车，根据牛顿第二定律得：N﹣mg=m，则得N=mg+m，可见，v越大，路面的支持力越大，据牛顿第三定律得知，车对桥面的压力越大，故C错误，D正确．
5.【答案】：C
【解析】：在最高点，根据，解得．可知物体甲离开圆环做平抛运动，故C正确，A、B、D错误．故选：C．
6.【答案】：BD
【解析】：设在最高点小球受的拉力为F1，最低点受到的拉力为F2，则在最高点F1＋mg＝m，即向心力由拉力F1与mg的合力提供，A错．当v1＝时，F1＝0，B对．V1＝为球经最高点的最小速度，即小球在最高点的速率不可能为0，C错．在最低点，F2－mg＝m，F2＝mg＋m，所以经最低点时，小球受到绳子的拉力一定大于它的重力，D对．
7.【答案】：C
【解析】：在最高点有：，解得：，在最低点有：，解得：，所以F2﹣F1=2mg，故选C
8.【答案】：C
【解析】：A、地球是圆形的，由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，做匀速圆周运动，故A错误；B、对人受力分析，G﹣N=m，所以地球对乘客的引力大于乘客对座椅的压力，故C正确，BD错误；故选C
9.【答案】：BD
【解析】：A、因轻杆可以对小球施加向上的支持力，所以，在最高点时，小球的速度可以为零，选项A错误．
B、向心力的公式为Fn=m，因小球的质量和轻杆的长度不变，所以当速度由零逐渐增大时，向心力也增大．选项B正确．
C、当v=时，Fn=m=mg，此时轻杆对小球没有作用力，当v小于时，轻杆对球间有支持力作用，则有：Fn=mg﹣N=m，得：N=mg﹣m，当v由逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐最大，直到速度为零时，此时杆对球的作用力为mg．选项C错误．
D、当v大于时，轻杆对球间有拉力作用，则有：Fn=mg+T=m，得：T=mg+m，当v由逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐最大，选项D正确．
10.【答案】：ABC
【解析】：小球做竖直面上的圆周运动，在最高点时的向心力大小与速度有关．(特值法)特殊情况下，F向=mg，小球只受重力；当v＞，小球受重力和拉力；当v＜，小球受重力和推力．
由于轻杆可以产生推力，而且v的大小未知，因此三种可能都存在；故ABC正确，D错误
11.【答案】：B．
【解析】：小球到达最高点时，受重力和杆的弹力，先假设为向下的弹力，由牛顿第二定律有：
F+mg=m，解得：F=m﹣mg=3×﹣3×10=﹣6N＜0，故弹力的方向与假设的方向相反，为向上的6N支持力；根据牛顿第三定律，球对杆有向下的6N压力；
12.【答案】：AD
【解析】：A、圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，故A正确，B错误；
C、设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．由牛顿第二定律得：mg+F=m，v=2，代入解得F=3mg＞0，方向竖直向下，根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力，故C错误；
D、重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：N﹣mg=m，解得：N=mg+m=mg+m=6mg；根据牛顿第三定律，球对管道的外壁的作用力为6mg，故D正确．
13.【答案】：C
【解析】：向心力是从效果命名的，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力，是它所受的某个力或几个力的合力提供的．因此，它并不受向心力和离心力的作用．它之所以产生离心现象是由于F合＜F向＝，故A错．物体在做匀速圆周运动时，若它所受到的力突然消失，根据牛顿第一定律，它从这时起做匀速直线运动，故C正确，BD错误．
14.【答案】：B
【解析】：A、汽车在转弯时，由于汽车的速度快，需要的向心力大，乘客感觉往外甩，这是离心运动属于离心现象，所以A是离心运动．
B、公共汽车急刹车时，乘客都向前倾倒，这是由于惯性的作用，不是离心现象，所以B不是离心运动．
C、脱水桶高速转动时，需要的向心力的大小大于了水和衣服之间的附着力，水做离心运动被从衣服上甩掉，属于离心现象，所以C是离心运动．
D、链球原来做的是圆周运动，当松手之后，由于失去了向心力的作用链球做离心运动，所以投掷链球属于离心现象，所以D是离心运动．本题选择错误的，故选：B．
15.【答案】：BD
【解析】：A、衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力作用．故A错误．
B、衣服随筒壁做圆周运动的向心力是筒壁的弹力．故B正确．
C、衣物附在筒壁上随筒一起做匀速圆周运动，衣物的重力与静摩擦力平衡，筒壁的弹力F提供衣物的向心力，得到，可见．转速增大时，弹力F也增大，而摩擦力不变．故C错误．
D、如转速不变，筒壁对衣服的弹力随着衣服含水量的减少，则所需要的向心力减小，所以筒壁对衣服的弹力也减小．故D正确．
16.【答案】：B
【解析】：当速度为零时，， 当速度的平方为b时，杆对球的弹力为零，，将上面两式联立得：，所以A错误，B正确．当时，大
于，所以杆对小球的方向应该和重力方向相同．若．由公式
杆对小球的弹力应该为，即为a．所以D错误．
17.【答案】：B
【解析】：在最高点A球速度为v时，因为轻杆对A球作用力恰好为零，这时对A球：它的重力完全提供向心力．mg=得v=，在最高点A球速度为4v时，可知AB段杆对A球的作用力方向是向下的．这时对A球：F1=mg+Fab=，Fab是AB段杆对A球的拉力．得：Fab=15mg
这时对B球：受竖直向下的重力mg、OB段杆对它的竖直向下的拉力Fob、AB杆对它的竖直向上的拉力Fab．得：Fob+mg﹣Fab=，B球速度是vb=2v(因为两球角速度相同，且B球在杆中间)，即Fob+mg﹣Fab=，得Fob=22mg，即轻杆OB对B球的作用力大小是Fob=22mg
18.【答案】：2.5m/s；1.7N
【解析】：(1)小球到达最高点时的向心力由重力和绳子拉力提供即：，
因此当拉力为零时，速度最小，所以m/s
(2)小球到达最高点时的向心力由重力和绳子拉力提供即：，将速度代入得：，方向竖直向下．
19.【答案】：(1)汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力为9600N；
(2)汽车以经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空．
【解析】：(1)根据牛顿第二定律得，mg﹣N=m，解得：N=mg﹣m=12000﹣1200×=9600N
根据牛顿第三定律知，汽车对桥的压力为9600N．
(2)根据mg=m，解得
20.【答案】(1)在最高点水不流出的最小速率为m/s．
(2)水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力大小为2.5N．
【解析】(1)水桶运动到最高点时，设速度为v时水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：mg=m，得：v==m/s=m/s
(2)对水研究，在最高点时由水的重力和桶底的弹力的合力提供水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：mg+N=m，则得：N=m(﹣g)=0.5×(﹣10)N=2.5N
由牛顿第三定律得水对桶底的压力为N′=N=2.5N．
二、提升练习
1.【答案】B
【解析】由于秋千的绳长远大于同学身高，可以把该同学看成是质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律，2F-mg=mv2/L，代入数据解得：F=410N，选项B正确。
2.【答案】BD
【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式，解得：，故A错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，，故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：，故D正确。
3.【答案】C
【解析】：在最高点，小球恰好对绳子无作用力，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
解得：
在最高点，小球恰好速度为0时，可以通过最高点。可知小球通过最高点时的速度较大。
由于杆与绳子的长度是相等的，结合机械能守恒可知，小球在最低点的速度大于场强在最低点的速度，即．故正确，错误。
故选：。
4.【答案】D
【解析】因为单摆在摆动过程中，靠径向的合力提供向心力，设单摆偏离竖直位置的夹角为，则有：，因为最低点时，速度最大，最小，则绳子的拉力最大，所以摆动最低点时绳最容易断裂。故正确，、、错误。
故选：。
5.【答案】D
【解析】在最高点的速度，此时小球靠重力提供向心力，杆子作用力为零，
若最高点的速度，则杆子表现为拉力，若最高点的速度，则杆子表现为支持力，故正确，、、错误。
故选：。

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