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专题9 功和功率（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
功的基本概念 重点
恒力做功 重点
变力做功 难点
功率的基本概念 重点
机车启动问题 重难点
二、知识点解析
1．功的定义
我们把恒力作用下，物体所受的力F和它在力的方向上的位移l的乘积，叫做这个力对物体做的功．用W表示功，若F和l的夹角是α，则上述定义可表示为：
2．功的说明
(1)做功的两个必要因素：一是力，二是在这个力方向上的位移．
(2)式中的F一定是恒力(大小、方向都不变)，即此式是求恒力做功的公式．若是变力，则无法直接使用此式，需要借助微积分或者图像计算．
(3)功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J．1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功．
(4)功是过程量，反映力对位移的累积效果．
(5)功是标量，虽有正负之分，但却无方向．
3．正功和负功
继续对公式讨论有：
(1)当0≤α<时，，，表示力对物体做正功；
(2)当时，，，表示力对物体不做功；
(3)当<α≤π时，，，表示力对物体做负功．
可见，一个力作用于物体，可以对物体做正功，做负功，也可能不做功．
4．恒力做功的计算
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功通常可以用下述两种方法求解：
(1)根据公式，先分别求出各个力F1、F2 、… 对物体所做的功W1、W2、…，再求各力所做的功的代数和，即=W1+W2+…(注意代入时应注意功正负问题，即带入W时的正负号)．
(2)由力的矢量合成方法先求出这几个力的合力，再根据功的公式，其中α是合力方向与位移方向之间的夹角．
5．变力做功的计算
（1）平均值法
基本依据：当力F的大小发生变化，且F、l成线性关系时，F的平均值，可用表示力F做的功．
基本方法：先判断变力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力和末状态的力，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由求其功．
（2）图像法
原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功．
方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功．
如图所示，变力的功可用F-l图线与l轴所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做了多少正功，l轴下方的面积表示力对物体做了多少负功．
（3）等效变换法
基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，然后用求解．
基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解．
（4）微元求和法
基本思路：当物体在变力的作用下作曲线运动时，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和．
基本方法：求出力在每小段位移方向上的分量，求出曲线总长度，总功即为各个小段做功的代数和．
6．功率的定义
功跟完成这些功所用时间的比值．定义式：．
7．功率的说明
(1)物理意义：描述做功快慢的物理量．
(2)单位：瓦特，简称瓦，用W表示．1 W=1 J/s．
(3)功率是标量．
(4)额定功率指机器长时间正常工作时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值；实际功率指机器工作时实际输出的功率．
8．功率的两种表达式
功率①，将带入之后，可得到功率的另一种表达式：②
公式①、②分别为平均功率和瞬时功率的计算式．
(1)平均功率描述力在一段时间内做功的快慢．
是平均功率的定义式，反映时间t内做功的快慢；我们也可以用来计算平均功率，此时，v表示的是平均速度．
(2)瞬时功率是表示某个时刻做功快慢的物理量．
是瞬时功率的表达式，其中v为所求时刻的瞬时速度．同样，在时，也可以表示瞬时功率．
9．恒定的功率P启动
机车以恒定的功率P启动后，若运动过程中所受的阻力f不变，由于牵引力，
根据牛顿第二定律：，有：．
可知，当速度v增大时，加速度a减小．当加速度a＝0时，机车的速度达到最大，此时有：．
此后，机车保持速度为vm做匀速直线运动．
综上：恒定功率启动过程中，整个过程变化可表示为：
用v－t图表示这一过程为(最大速度之前是一段曲线)：
10．恒定的加速度a启动
由公式和知，F恒定，所以a恒定，机车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率P额，功率不能再增大了．这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后机车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了．
综上：恒定加速度启动过程中，整个过程变化可表示为：
这一启动过程的v-t关系如图所示：
图象中的v1为机车以恒定加速度启动时，匀加速运动的末速度，但并非是加速过程的最大速度，因为此后还有一个变加速运动过程．而为机车以额定功率运动时所能达到的最大速度．
三、考查方向
题型1：恒力做功的计算
典例一：用40.0 N与水平成60°角向上的力作用在质量是10.0 kg的物体上，使它在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动．物体与地面间的动摩擦因数为0.10．当物体通过2.0 m位移时
求：(1)物体所受各力对它做的功；(2)物体所受合力对它做的功．
题型2：变力做功——微元法
典例二：(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力F阻做功为-mgL
D．空气阻力F阻做功为阻πL
题型3：变力做功——平均值法
典例三：一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？
题型4：功率的基本概念和功率的计算
典例四：如图，质量为m=2 kg的木块在倾角θ=37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为0.5(sin37=0.6，cos37=0.8，g=10 m/s2)求：(斜面足够长)
(1)前3 s内重力做多少功？
(2)前3 s内重力的平均功率？
(3)3 s末重力的瞬时功率？
题型5：以恒定功率启动
典例五：一辆质量为2.0×103 kg的汽车以额定功率为6.0×104 W在水平公路上行驶，汽车受到的阻力为一定值，在某时刻汽车的速度为20 m/s，加速度为0.50 m/s2，(g取10 m/s2)求：
(1)汽车受到的阻力是多大？
(2)汽车所能达到的最大速度是多大？
(3)当汽车的速度为10 m/s时的加速度是多大？
题型6：以恒定加速度启动
典例六：一质量为4.0×103 kg，发动机额定功率为60 kW的汽车从静止开始以a=0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，它在水平面上运动时所受的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，求
(1)启动2 s末发动机的输出功率；
(2)它以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动所能行驶的时间；
(3)汽车在此路面上所能行驶的最大速度．
四、模拟训练
一、基础练习
1.关于功的概念，以下说法正确的是(　　)
A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B．功有正、负之分，所以功可能有方向性
C．功是标量
D．-10 J的功小于+5 J的功
2.(多选)一同学穿着旱冰鞋处于静止状态,推一下竖直墙壁后有了向后的速度。关于该同学推墙的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.墙壁对该同学做正功 B.墙壁对该同学没有做功
C.该同学对墙壁做正功 D.该同学对墙壁没有做功
3.(多选)把一个物体竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力大小恒为f，则在从物体被抛出到落回抛出点的全过程中( )
A．重力所做的功为零 B．重力所做的功为2mgh
C．空气阻力做的功为零 D．空气阻力做的功为﹣2fh
4.在光滑水平面上推物块和在粗糙水平面上推物块相比较，如果所用的水平推力相同，物块在推力作用下通过的位移相同，则推力对物块所做的功( )
A．一样大
B．在光滑水平面上推力所做的功较多
C．在粗糙水平面上推力所做的功较多
D．要由物块通过这段位移的时间决定
5.如图所示,一物体分别沿AO、BO轨道由静止滑到底端,物体与轨道间的动摩擦因数相同,物体克服摩擦力做功分别为W1和W2。则(　　)
A.W1>W2 B.W1=W2
C.W16.如图所示，某力F=10 N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：( )
A、 0 J　 B、20πJ　 C 、10 J　 D、20 J
7.(多选)关于功率下列说法中正确的是(　　)
A．功率大说明物体做的功多
B．功率小说明物体做功慢
C．由P=可知，机器做功越多，其功率越大
D．单位时间机器做功越多，其功率越大
8.关于功率，下列认识正确的是(　　)
A．由，可知功率越大的机器做的功越多
B．由P=Fv，可知汽车发动机功率越大，汽车的速率越大
C．由，可知单位时间内做功越多则功率越大
D．由P=Fv，可知做功的力越大其功率越大
9.下列关于功率的说法中正确的是(　　)
A．功率越大，做功越快
B．瞬时功率始终大于平均功率
C．实际功率一定等于额定功率
D．功率越大，做功越多
10.如图所示，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体，由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度，从斜面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力F1、F2、F3的平均功率关系为(　　)
A．P1=P2=P3 B．P1＞P2=P3
C．P3＞P2＞P1 D．P1＞P2＞P3
11.(多选)如图甲所示，一可视为质点的物块静止在倾角θ=37°的粗糙固定斜面的顶端，现对物块施加一个沿斜面向下的推力F，力F的大小随时间t的变化情况如图乙所示，物块的速率v随时间t的变化规律如图丙所示，4 s末物块恰好运动到斜面底端，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2．下列说法正确的是( )
A．第2 s末，力的瞬时功率为0.32 W
B．第4 s内，力做功的平均功率为0.24 W
C．前4 s内，力的平均功率为0.24 W
D．0～4 s时间内，力的最大功率为0.32 W
12.(多选)质量为2×103 kg，发动机额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶，若汽车所受阻力大小恒为4×103 N，则下列判断中正确的有( )
A．汽车的最大速度是20 m/s
B．若汽车以加速度2 m/s2匀加速启动，启动后第2 s末时发动机实际功率为32 kW
C．若汽车以加速度2 m/s2匀加速启动，达到最大速度时阻力做功为1×105 J
D．若汽车保持额定功率启动，则当汽车速度为5 m/s时，其加速度为6 m/s2
13.用F=100 N的水平恒力拉质量m=20 kg的小木箱，使木箱在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，如图所示．已知木箱与地面之间的动摩擦因数μ=0.40，重力加速度g=10m/s2．求：
(1)木箱的加速度a的大小；
(2)木箱运动2.0 s时，它的速度v的大小；
(3)从静止开始到木箱运动2.0 s的过程中，水平恒力F对木箱做的功W．
14.汽车的质量为2×103 kg，其发动机的额定功率为80 kW，汽车在水平路面上行驶时，运动过程中阻力大小不变，阻力是车重的0.2倍(g=10 m/s2)求：
(1)汽车从静止启动时能达到的最大速度是多少？
(2)若汽车以2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求这一过程能维持的时间及牵引力所做的功？
(3)4 s末汽车牵引力做功的瞬时功率．
二、提升练习
1.（2017·新课标Ⅱ卷）如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力(　　)
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心
2.质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，当斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s时，如图所示，物体m相对斜面静止，则下列说法中不正确的是(　　)
A．摩擦力对物体m做功为零
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．弹力对物体m做正功
3.如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0
B．FR
C．πFR
D．2πFR
4.（2018·新课标全国III卷·多选）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程（ ）
A．矿车上升所用的时间之比为4:5
B．电机的最大牵引力之比为2:1
C．电机输出的最大功率之比为2:1
D．电机所做的功之比为4:5
5.(多选)某汽车从静止开始以加速度a匀加速启动，最后做匀速运动．已知汽车的质量为m，额定功率为p，匀加速运动的末速度为v1，匀速运动的速度为vm，所受阻力为f．下图是反映汽车的速度随时间及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是(　　)
A． B． C． D．
典例一
【答案】(1)Wf=-13 J，WF=40 J；(2)W合=27 J
【解析】(1)物体受重力、支持力、摩擦力以及拉力，则
根据运动情况，有mg=N+Fsinα，Fcosα-f=ma，f=μN，
重力、支持力与位移垂直，做功为零；
摩擦力f对物体m做功为：Wf=-fL=-μ(mg-Fsinα)L=-13 J，
拉力F对物体m做功为：WF=FcosαL=40 J；
(2)合力对物体m做功为：W合=WF+Wf=27 J.
典例二
【答案】ABD
【解析】A．重力做功与初末位置的高度差有关，所以重力做功为 WG=mgL．故A正确；
B．因为绳的拉力FT始终与球的运动方向垂直，故不做功，故B正确；
CD．F阻所做的总功等于每个小弧段上F阻所做功的代数和，即
．故C错误，D正确．
典例三
【答案】1×107J
【解析】由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100m过程中的平均牵引力:
∴W＝＝1×105×100J＝1×107J。
典例四
【答案】(1)前3s内重力做功为108 J；
(2)前3 s内重力的平均功率为36 W；
(3)3 s末重力的瞬时功率72 W
【解析】(1)由F合=ma得，木块的加速度：a=，
前3 s内木块的位移：s=，
重力在前3 s内做的功：W=mgsinθ s=2×10×0.6×9 J=108 J；
(2)由知出3 s内平均功率为：；
(3)木块在第3 s末的瞬时速度为：v=at=2×3 m/s=6 m/s，
第3 s末重力的瞬时功率为：P=mgsinθ v=2×10×0.6×6 W=72 W．
典例五
【答案】(1)汽车受到的阻力是2×103 N；
(2)汽车所能达到的最大速度是30 m/s；
(3)当汽车的速度为10 m/s时的加速度是2 m/s2
【解析】(1)汽车以额定功率行驶，当速度为20 m/s，加速度为0.50 m/s2，
则有：，解之得：f=2×103 N；
(2)当阻力等于牵引力时，汽车达到最大速度为vmax==30 m/s；
(3)汽车以额定功率行驶，当速度为10 m/s，由牛顿第二定律可得：，
解得：a′=2 m/s2．
典例六
【答案】(1)启动2 s末发动机的输出功率为6 kW；
(2)它以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动所能行驶的时间为20 s；
(3)汽车在此路面上所能行驶的最大速度为15 m/s
【解析】(1)汽车受到的阻力为：f=0.1mg=4000 N，由牛顿第二定律可知：F﹣f=ma，
解得：F=f+ma=6000 N，2 s末的速度为：v=at1=0.5×2 m/s=1 m/s，
起动后2 s末发动机的输出功率：P=Fv=6 kW；
(2)汽车做匀加速运动过程中，当汽车的实际功率达到额定功率时，由P=Fv1得匀加速运动的末速度：
v1===10 m/s，汽车做匀加速运动的时间：t===20 s；
(3)当牵引力等于阻力时速度达到最大，故：P=fvmax，解得：vmax===15 m/s．
五、模拟训练
一、基础练习
1.【答案】C
【解析】A．功是物体之间能量转化的量度，它是标量，所以A错误；
B．功有正、负之分，但功的正负不是表示方向，是表示力对物体的做功效果的，所以B错误；
C．功虽然有正负之分，但功是标量，所以C正确.
D．功是标量，在比较大小时比较绝对值的大小，所以D选项错.
2.【答案】BD
【解析】(1)先分析墙壁的受力及做功情况:墙壁受推力，但没有位移，所以该同学对墙壁不做功：C错误。D正确。
(2)再分析人的受力及做功情况:墙壁对人的作用力是作用在手上的，人的手在力的作用下没有位移，所以壁对人不做功：A错误、B正确。
3.【答案】AD
【解析】A、物体被抛出到落回抛出点的全过程中，初末位置相同，高度差为零，所以重力做功为零．故A正确，B错误．
C、在上升的过程中，空气阻力做功为﹣fh，在下降的过程中，空气阻力做功为﹣fh，则整个过程中空气阻力做功为﹣2fh．故C错误，D正确．
故选：AD．
4.【答案】A
【解析】在两次的运动过程中，拉力的大小是恒定的，在力的作用下物体的位移的大小也是相同的，根据功的公式W=FL可知，两次拉力做功一样多，所以A正确．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】设轨道水平部分的长度为x,对于倾角为θ的轨道,斜面长l=,所受摩擦力的大小Ff=μmgcos θ,物体克服摩擦力所做的功:W=Ffl=μmgcos θ=μmgx,由于两轨道的水平部分长度相等,所以W1=W2。
6.【答案】B
【解析】把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确。
7.【答案】BD
【解析】A．功率大说明物体做功快．故A错误；
B．功率小说明物体做功慢．故B正确；
C．由P=可知，机器做功越多，功率不一定大，还与时间有关．故C错误；
D．单位时间内机器做功就是功率．故D正确．
8.【答案】C
【解析】A．由P=可得，功率的大小与做功的多少及做功时间有关，故只有做功多不能说明功率大；故A错误；
B．P=Fv说明功率与力和速度有关，功率大不能说明速率大或速度大；故B错误；
C．功率为功与时间的比值，其物理意义即为单位时间内做功的快慢，故C正确；
D．P=Fv，只有力大，不能说明功率大；故D错误．
9.【答案】A
【解析】A．功率是反映做功快慢的物理量，功率越大，做功越快，故A正确；
B．瞬时功率表示某一时刻或某一位置的功率，平均功率表示某段时间内的功率或某段位移内的功率，瞬时功率不一定大于平均功率，故B错误；
C．实际功率的大小可以小于额定功率，故C错误；
D．功率越大，做功越快，但是做功不一定多，故D错误．
10.【答案】A
【解析】物体的加速度相同，说明物体受到的合力相同，即拉力在沿着斜面方向的分力都相同，由于斜面的长度相同，物体的加速度相同，所以物体到达顶端的时候，物体的速度的大小也是相同的，根据功的公式W=FL可得，拉力在沿着斜面方向上的分力相同，位移相同，所以拉力做的功相同，由于物体的运动情况相同，所以物体运动的时间也相同，所以拉力的平均功率也就相同，所以A正确．
11.【答案】AC
【解析】从图中可以读出第2 s末，物体的速度v和力F的大小分别为0.4 m/s和0.8 N，因此由瞬时功率的定义式P=Fv，可以算的瞬时功率为0.32 W，A正确；
B．第4 s内F大小恒为0.4 N，物体发生的位移为0.8 m，有公式W=Fx可以算出第4 s内力做功为0.32 J，用时1 s，故平均功率为0.32 W，B错误；
C．整个过程可以分为3个阶段，第一阶段0~1 s物体没有发生移动，因此力做功W1=0；第二阶段1~3 s，F恒为0.8 N，有v-t可以看出物体位移x2=0.8 m，力做功W2=0.64 J；第三阶段3~4 s，物体做功W3=0.32 J．可以得到总功W总=W1+W2+W3=0.96 J，平均功率，C正确；
D．0～4 s内，物体在t=3 s时力F的功率最大，最大功率为 P=Fv=0.8×0.8 W=0.64 W，故D错误．
12.【答案】ABD
【解析】A．当牵引力等于阻力时，速度最大，则最大速度为：，故A正确；
B．匀加速运动的牵引力为：F=f+ma=4000+2000×2 N=8000 N，则2s末的速度为：v=at=2×2 m/s=4 m/s，匀加速运动的最大速度为：，可知2 s末发动机的实际功率为：P=Fv=8000×4 W=32000 W=32 kW，故B正确；
C．根据题意，无法求出达到最大速度时阻力做功的大小，故C错误；
D．当汽车速度为5 m/s时，牵引力为：F=，根据牛顿第二定律得，加速度为：a=，故D正确．
13.【答案】(1)木箱的加速度a的大小为1 m/s2；
(2)木箱运动2.0 s时，它的速度v的大小为2 m/s；
(3)从静止开始到木箱运动2.0 s的过程中，水平恒力F对木箱做的功W为200 J．
【解析】(1)木箱受到的合外力为F﹣f=F﹣μmg=20N，那么由牛顿第二定律可得：a=1 m/s2；
(2)木箱由静止开始做匀加速直线运动，故木箱运动2.0 s时，它的速度为：v=at=2 m/s；
(3)木箱由静止开始做匀加速直线运动，故木箱运动2.0 s时，它的位移为：；
故从静止开始到木箱运动2.0 s的过程中，水平恒力F对木箱做的功为：W=Fs=200 J；
14.【答案】(1)汽车从静止启动时能达到的最大速度是20 m/s
(2)若汽车以2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求这一过程能维持的时间及牵引力所做的功分别为5 s和2×105 J
(3)4 s末汽车牵引力做功的瞬时功率为64 kW
【解析】(1)当汽车发动机达到额定功率并做匀速运动时，汽车达到最大速度，此时发动机牵引力等于所受到的阻力，vmax=．
(2)由牛顿第二定律可得F﹣f=ma，F=ma+f=8000 N
加速达到的最大速度为v=
加速时间为t=
通过的位移为
牵引力做功W=Fx=2×105 J
(3)4s末的瞬时速度v′=at′=8 m/s
牵引力的瞬时功率P′=Fv′=8000=8 W=64 kW
二、提升练习
1.【答案】A
【解析】小环在固定的光滑大圆环上滑动,做圆周运动,其速度沿大圆环切线方向,大圆环对小环的弹力(即作用力)垂直于切线方向,与速度垂直,故大圆环对小环的作用力不做功,选项A正确、B错误。开始时大圆环对小环的作用力背离圆心,到达圆心等高点时弹力提供向心力,故大圆环对小环的作用力指向圆心,选项C、D错误。
2.【答案】A
【解析】分析物体的受力情况：重力mg、弹力N和摩擦力f，作出受力分析图．
AC．摩擦力f与位移的夹角为钝角，所以摩擦力对物体m做功不为零，做负功．故A错误，C正确；
B．物体匀速运动时，合力为零，合力对物体m做功为零．故B正确；
D．由图看出，弹力N与位移s的夹角小于90°，则弹力对物体m做正功．故D正确．要选的是不正确的，故选A．
3.【答案】C
【解析】拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则W=Fs=F()=．
4.【答案】AC
【解析】设第②次所用时间为t，根据速度图象的面积等于位移（此题中为提升的高度）可知，×2t0×v0=×（t+3t0/2）×v0，解得：t=5t0/2，所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为2t0∶5t0/2=4∶5，选项A正确；由于两次提升变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F–mg=ma，可得提升的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误；由功率公式，P=Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确；加速上升过程的加速度a1=，加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g)，减速上升过程的加速度a2=–，减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g–)，匀速运动过程的牵引力F3=mg。第①次提升过程做功W1=F1××t0×v0+F2××t0×v0=mgv0t0；第②次提升过程做功W2=F1××t0×v0+F3×v0×3t0/2+F2××t0×v0=mgv0t0；两次做功相同，选项D错误。
5.【答案】ABC
【解析】汽车开始做初速度为零的匀加速直线运动，当达到额定功率时，匀加速结束，然后做加速度逐渐减小的加速运动，直至最后匀速运动．开始匀加速时：F﹣f=ma，设匀加速刚结束时速度为v1，有：P额=Fv1，最后匀速时：F=f，有：F额=Fvm，由以上各式解得：匀加速的末速度为：，最后匀速速度为：．
A．在v﹣t图象中斜率表示加速度，汽车开始加速度不变，后来逐渐减小，最终做匀速直线运动，故A正确；
B．开始汽车功率逐渐增加，P=Fv=Fat，故为过原点直线，后来功率恒定，故B正确；
C．汽车牵引力开始大小不变，然后逐渐减小，最后牵引力等于阻力，故C正确；
D．汽车运动过程中开始加速度不变，后来加速度逐渐减小，最后加速度为零，故D错误．专题9 功和功率（教师版）
一、目标要求
目标要求 重、难点
功的基本概念 重点
恒力做功 重点
变力做功 难点
功率的基本概念 重点
机车启动问题 重难点
二、知识点解析
1．功的定义
我们把恒力作用下，物体所受的力F和它在力的方向上的位移l的乘积，叫做这个力对物体做的功．用W表示功，若F和l的夹角是α，则上述定义可表示为：
2．功的说明
(1)做功的两个必要因素：一是力，二是在这个力方向上的位移．
(2)式中的F一定是恒力(大小、方向都不变)，即此式是求恒力做功的公式．若是变力，则无法直接使用此式，需要借助微积分或者图像计算．
(3)功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J．1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功．
(4)功是过程量，反映力对位移的累积效果．
(5)功是标量，虽有正负之分，但却无方向．
3．正功和负功
继续对公式讨论有：
(1)当0≤α<时，，，表示力对物体做正功；
(2)当时，，，表示力对物体不做功；
(3)当<α≤π时，，，表示力对物体做负功．
可见，一个力作用于物体，可以对物体做正功，做负功，也可能不做功．
4．恒力做功的计算
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功通常可以用下述两种方法求解：
(1)根据公式，先分别求出各个力F1、F2 、… 对物体所做的功W1、W2、…，再求各力所做的功的代数和，即=W1+W2+…(注意代入时应注意功正负问题，即带入W时的正负号)．
(2)由力的矢量合成方法先求出这几个力的合力，再根据功的公式，其中α是合力方向与位移方向之间的夹角．
5．变力做功的计算
（1）平均值法
基本依据：当力F的大小发生变化，且F、l成线性关系时，F的平均值，可用表示力F做的功．
基本方法：先判断变力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力和末状态的力，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由求其功．
（2）图像法
原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功．
方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功．
如图所示，变力的功可用F-l图线与l轴所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做了多少正功，l轴下方的面积表示力对物体做了多少负功．
（3）等效变换法
基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，然后用求解．
基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解．
（4）微元求和法
基本思路：当物体在变力的作用下作曲线运动时，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和．
基本方法：求出力在每小段位移方向上的分量，求出曲线总长度，总功即为各个小段做功的代数和．
6．功率的定义
功跟完成这些功所用时间的比值．定义式：．
7．功率的说明
(1)物理意义：描述做功快慢的物理量．
(2)单位：瓦特，简称瓦，用W表示．1 W=1 J/s．
(3)功率是标量．
(4)额定功率指机器长时间正常工作时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值；实际功率指机器工作时实际输出的功率．
8．功率的两种表达式
功率①，将带入之后，可得到功率的另一种表达式：②
公式①、②分别为平均功率和瞬时功率的计算式．
(1)平均功率描述力在一段时间内做功的快慢．
是平均功率的定义式，反映时间t内做功的快慢；我们也可以用来计算平均功率，此时，v表示的是平均速度．
(2)瞬时功率是表示某个时刻做功快慢的物理量．
是瞬时功率的表达式，其中v为所求时刻的瞬时速度．同样，在时，也可以表示瞬时功率．
9．恒定的功率P启动
机车以恒定的功率P启动后，若运动过程中所受的阻力f不变，由于牵引力，
根据牛顿第二定律：，有：．
可知，当速度v增大时，加速度a减小．当加速度a＝0时，机车的速度达到最大，此时有：．
此后，机车保持速度为vm做匀速直线运动．
综上：恒定功率启动过程中，整个过程变化可表示为：
用v－t图表示这一过程为(最大速度之前是一段曲线)：
10．恒定的加速度a启动
由公式和知，F恒定，所以a恒定，机车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率P额，功率不能再增大了．这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后机车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了．
综上：恒定加速度启动过程中，整个过程变化可表示为：
这一启动过程的v-t关系如图所示：
图象中的v1为机车以恒定加速度启动时，匀加速运动的末速度，但并非是加速过程的最大速度，因为此后还有一个变加速运动过程．而为机车以额定功率运动时所能达到的最大速度．
三、考查方向
题型1：恒力做功的计算
典例一：用40.0 N与水平成60°角向上的力作用在质量是10.0 kg的物体上，使它在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动．物体与地面间的动摩擦因数为0.10．当物体通过2.0 m位移时
求：(1)物体所受各力对它做的功；(2)物体所受合力对它做的功．
题型2：变力做功——微元法
典例二：(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力F阻做功为-mgL
D．空气阻力F阻做功为阻πL
题型3：变力做功——平均值法
典例三：一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？
题型4：功率的基本概念和功率的计算
典例四：如图，质量为m=2 kg的木块在倾角θ=37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为0.5(sin37=0.6，cos37=0.8，g=10 m/s2)求：(斜面足够长)
(1)前3 s内重力做多少功？
(2)前3 s内重力的平均功率？
(3)3 s末重力的瞬时功率？
题型5：以恒定功率启动
典例五：一辆质量为2.0×103 kg的汽车以额定功率为6.0×104 W在水平公路上行驶，汽车受到的阻力为一定值，在某时刻汽车的速度为20 m/s，加速度为0.50 m/s2，(g取10 m/s2)求：
(1)汽车受到的阻力是多大？
(2)汽车所能达到的最大速度是多大？
(3)当汽车的速度为10 m/s时的加速度是多大？
题型6：以恒定加速度启动
典例六：一质量为4.0×103 kg，发动机额定功率为60 kW的汽车从静止开始以a=0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，它在水平面上运动时所受的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，求
(1)启动2 s末发动机的输出功率；
(2)它以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动所能行驶的时间；
(3)汽车在此路面上所能行驶的最大速度．
四、模拟训练
一、基础练习
1.关于功的概念，以下说法正确的是(　　)
A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B．功有正、负之分，所以功可能有方向性
C．功是标量
D．-10 J的功小于+5 J的功
2.(多选)一同学穿着旱冰鞋处于静止状态,推一下竖直墙壁后有了向后的速度。关于该同学推墙的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.墙壁对该同学做正功 B.墙壁对该同学没有做功
C.该同学对墙壁做正功 D.该同学对墙壁没有做功
3.(多选)把一个物体竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力大小恒为f，则在从物体被抛出到落回抛出点的全过程中( )
A．重力所做的功为零 B．重力所做的功为2mgh
C．空气阻力做的功为零 D．空气阻力做的功为﹣2fh
4.在光滑水平面上推物块和在粗糙水平面上推物块相比较，如果所用的水平推力相同，物块在推力作用下通过的位移相同，则推力对物块所做的功( )
A．一样大
B．在光滑水平面上推力所做的功较多
C．在粗糙水平面上推力所做的功较多
D．要由物块通过这段位移的时间决定
5.如图所示,一物体分别沿AO、BO轨道由静止滑到底端,物体与轨道间的动摩擦因数相同,物体克服摩擦力做功分别为W1和W2。则(　　)
A.W1>W2 B.W1=W2
C.W16.如图所示，某力F=10 N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：( )
A、 0 J　 B、20πJ　 C 、10 J　 D、20 J
7.(多选)关于功率下列说法中正确的是(　　)
A．功率大说明物体做的功多
B．功率小说明物体做功慢
C．由P=可知，机器做功越多，其功率越大
D．单位时间机器做功越多，其功率越大
8.关于功率，下列认识正确的是(　　)
A．由，可知功率越大的机器做的功越多
B．由P=Fv，可知汽车发动机功率越大，汽车的速率越大
C．由，可知单位时间内做功越多则功率越大
D．由P=Fv，可知做功的力越大其功率越大
9.下列关于功率的说法中正确的是(　　)
A．功率越大，做功越快
B．瞬时功率始终大于平均功率
C．实际功率一定等于额定功率
D．功率越大，做功越多
10.如图所示，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体，由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度，从斜面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力F1、F2、F3的平均功率关系为(　　)
A．P1=P2=P3 B．P1＞P2=P3
C．P3＞P2＞P1 D．P1＞P2＞P3
11.(多选)如图甲所示，一可视为质点的物块静止在倾角θ=37°的粗糙固定斜面的顶端，现对物块施加一个沿斜面向下的推力F，力F的大小随时间t的变化情况如图乙所示，物块的速率v随时间t的变化规律如图丙所示，4 s末物块恰好运动到斜面底端，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2．下列说法正确的是( )
A．第2 s末，力的瞬时功率为0.32 W
B．第4 s内，力做功的平均功率为0.24 W
C．前4 s内，力的平均功率为0.24 W
D．0～4 s时间内，力的最大功率为0.32 W
12.(多选)质量为2×103 kg，发动机额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶，若汽车所受阻力大小恒为4×103 N，则下列判断中正确的有( )
A．汽车的最大速度是20 m/s
B．若汽车以加速度2 m/s2匀加速启动，启动后第2 s末时发动机实际功率为32 kW
C．若汽车以加速度2 m/s2匀加速启动，达到最大速度时阻力做功为1×105 J
D．若汽车保持额定功率启动，则当汽车速度为5 m/s时，其加速度为6 m/s2
13.用F=100 N的水平恒力拉质量m=20 kg的小木箱，使木箱在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，如图所示．已知木箱与地面之间的动摩擦因数μ=0.40，重力加速度g=10m/s2．求：
(1)木箱的加速度a的大小；
(2)木箱运动2.0 s时，它的速度v的大小；
(3)从静止开始到木箱运动2.0 s的过程中，水平恒力F对木箱做的功W．
14.汽车的质量为2×103 kg，其发动机的额定功率为80 kW，汽车在水平路面上行驶时，运动过程中阻力大小不变，阻力是车重的0.2倍(g=10 m/s2)求：
(1)汽车从静止启动时能达到的最大速度是多少？
(2)若汽车以2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求这一过程能维持的时间及牵引力所做的功？
(3)4 s末汽车牵引力做功的瞬时功率．
二、提升练习
1.（2017·新课标Ⅱ卷）如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力(　　)
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心
2.质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，当斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s时，如图所示，物体m相对斜面静止，则下列说法中不正确的是(　　)
A．摩擦力对物体m做功为零
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．弹力对物体m做正功
3.如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0
B．FR
C．πFR
D．2πFR
4.（2018·新课标全国III卷·多选）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程（ ）
A．矿车上升所用的时间之比为4:5
B．电机的最大牵引力之比为2:1
C．电机输出的最大功率之比为2:1
D．电机所做的功之比为4:5
5.(多选)某汽车从静止开始以加速度a匀加速启动，最后做匀速运动．已知汽车的质量为m，额定功率为p，匀加速运动的末速度为v1，匀速运动的速度为vm，所受阻力为f．下图是反映汽车的速度随时间及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是(　　)
A． B． C． D．

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