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函数及其表示
知识衔接
回顾初中
一般来说，在某个变化过程中有两个变量和，如果对于在某一个范围内的每一个确定的值，都要唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，其中叫做自变量，叫做因变量.
衔接高中
一、集合
1.集合的定义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.集合通常用大写的拉丁字母表示，集合中的元素用小写的拉丁字母表示.如果是集合中的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作.
2.常用数集
全体自然数（包括0）的集合简称自然数集，记作；
全体整数的集合简称整数集，记作；
全体正整数的集合简称正整数集，记作或；
全体有理数的集合简称有理数集，记作；
全体实数的集合简称实数集，记作
3.集合的表示
（一）列举法
把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来.如方程的根组成的集合用表示.
（二）描述法
用集合元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体表示为{元素代表|共同特征}，如表示方程的解集.
二、函数
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：是从集合到集合的一个函数，记作，.其中，叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域；与值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域.
函数的三要素为定义域、对应关系和值域.由于值域是定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那我们就称这两个函数相等.
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法
三、区间
设是两个实数，而且.我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫作闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数的集合叫作开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫作半开半闭区间，分别表示为，.
四、增函数、减函数和单调函数的定义
（1）①增函数：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数，区间称为的单调递增区间.
②减函数：如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数，区间称为的单调递减区间.
（2）如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么我们说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，称函数为单调函数.
习题衔接
1.函数的图象与直线的交点( )
A.至多有一个 B.至少有一个 C.有且仅有一个 D.有两个以上
2.下列各图中，可表示函数的图象的是( )
A. B. C. D.
3.下列元素不能组成集合的是( )
A.不超过20的质数 B.π的近似值
C.方程的实数根 D.函数，的最小值
4.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
5.已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后走回家.图中x表示时间，y表示林茂离家的距离.依据图中的信息，下列说法错误的是( )
A.体育场离林茂家2.5 km
B.体育场离文具店1 km
C.林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min
D.林茂从文具店回家的平均速度是60 m/min
6.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A.1 B. C.0 D.-1
8.如图是某市某天的气温T（℃）随时间t（h）变化的图像，则由图像可知，该天的最高气温与最低气温之差为___________℃.
9.已知函数，的对应关系如下表：
x 1 2 3
1 3 1
x 1 2 3
3 2 1
则的值为__________；满足的x的值为______________.
10.用符号“”或“”填空：
（1）设集合B是小于的所有实数的集合，则___________B，__________B；
（2）设集合D是由满足方程的有序实数对组成的集合，则-1________D，______________D.
11.已知函数.
（1）求，；
（2）若，求x的值.
12.回答下列问题：
（1）用列举法表示方程组的解组成的集合；
（2）用描述法表示不等式的解集.
答案
1.答案：A
解析：由函数的定义可知，若函数在处有意义，则函数图象与直线有一个交点；若函数在处无意义，则函数图象与直线没有交点，故函数图象与直线至多有一个交点.
2.答案：D
解析：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个变量x，都存在唯一确定的函数值y与之对应.A中，当时，有两个y与x对应；B中，当时，有两个y与x对应；C中，当时，有两个y与x对应；D中，对任意x都只有唯一确定的y与之对应.故选D.
3.答案：B
解析：对于选项A，由“不超过20”和“质数”这两个标准可以明确数值为2、3、5、7、11、13、17、19，故不超过20的质数可以组成集合；对于选项B，因为π是无限不循环小数，在没有明确近似值的精确度的情况下，无法确定π的近似值是多少，所以选项B中元素不能组成集合；对于选项C，因为方程的实数根是明确的两个数值1和-1，所以方程的实数根可以组成集合；对于选项D，由二次函数的性质可知，函数，的最小值是明确的数值0，所以函数，的最小值可以组成集合.故选B.
4.答案：D
解析：依题意，解得且，即函数的定义域为，故选D.
5.答案：C
解析：观察题图可知体育场离林茂家2.5 km，所以选项A的说法正确；
林茂从体育场到文具店的距离是，所以选项B的说法正确；
林茂从体育场出发到文具店的平均速度是，所以选项C的说法错误；
林茂从文具店回家的平均速度是，所以选项D的说法正确.故选C.
6.答案：A
解析：因为，所以定义域为，
所以其函数图象如A中所示.故选A.
7.答案：A
解析：，.
故选A.
8.答案：12
解析：由纵坐标可以看出最高气温是10℃，最低气温是-2℃，所以该天的最高气温与最低气温之差为（℃）.
9.答案：1；2
解析：，则.
当时，，，不满足，
当时，，，满足，
当时，，，不满足，
故满足的x的值为2.
10.答案：（1）；（2）；
解析：（1），.
，，.
（2）集合D中的元素是有序实数对，而-1不是有序实数对，.
又，.
11.答案：（1），
.
（2），，
解得或.
12.答案：（1）由解得或所以方程组的解组成的集合为.
（2）因为，所以，
所以不等式的解集为.

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