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数列求和（3）分组分奇偶并项
分组求和
例题1．（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，
由，
可得，解得，
∴；
(2)∵数列是首项为1，公比为3的等比数列，
∴，
又，可得，
所以
．
例题2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测）已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
(2)解：因为，
则，
则．
分奇偶求和
例题3．（2022·山东潍坊·二模）已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，证明见解析；(2)．
【解析】(1)①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
∵
，
∴，，成等差数列；
(2)，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知．
例题4．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知数列{}的前n项和，，，.
(1)计算的值，求{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)当时，，解得
由题知 ①
②
由②①得，因为，所以
所以数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；
当n为奇数时，
当n为偶数时，所以的通项公式.
(2)由（1）可得.
当n为偶数时，
当n为奇数时，
当时，
当时，
经检验，也满足上式，
所以当n为奇数时，
综上，数列的前n项和
并项求和
例题5．（2022·山东济宁·三模）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足.
求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】
(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以，，
当时，，
当时，，可得，
上述两个等式作差可得，
也满足，故对任意的，.
(2)解：由（1）可得，
设，
所以，，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
因此，数列的前项和为.
例题6．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项n和
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：当时，，解得，
由题知①，②，
由②①得，因为，所以，
于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即，
偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即所以的通项公式；
(2)解：由（1）可得，
.
练习
1．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））在数列中，，数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，所以．
所以当时，．
两式相减，得，
即．所以．
相减得，
即．所以数列是等差数列．
当n＝1时，，解得．
所以公差．所以．
(2)，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
综上所述，
2．（2022·云南曲靖·二模）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)当n为偶数时，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：因为，，
所以，
所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；
(2)由（1）可得，即，
则
.
当n为偶数时，，
则
.
3．（2022·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.
(1)证明为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)解：由，可得，
所以，
又由满足上式，所以.
两式相减得，即，
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式.
(2)解：由（1）得，
所以
.
4．（2022·河北·模拟预测）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模）已知数列，，为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明为等差数列，并求数列的前项和.
【答案】(1)(2)证明见解析，
【解析】(1)解：当，
所以，当，
即，所以所以；
(2)当，所以，
因为，所以，
所以是，
所以，所以，令，
则=-1+，
，
.
6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列满足，前n项和满足
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)解：∵
∴
∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴，即，当时，，
当时，也成立，∴.
(2)解：令，其前n项和为，
则，当时，，
当时，，所以
所以.∴当时，
当时，
即.
7．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前18项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为．则
，解得.
故数列的通项公式为．
(2)由（1）知，，
所以.
因为当时，，
．
所以数列的前18项和为.
8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)变形为，
因为，所以，故；
(2)当为奇数时，，当为偶数时，，
则
9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
10．（2022·山东聊城·三模）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前15项的和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由得，
当n=1时，，解得.
当n≥2时，，从而，即，
因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.
(2)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以数列的前15项和为
.
11．（2022·上海普陀·二模）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【答案】(1)，(2)8152
【解析】(1)解：设等比数列的公比为，
则，解得，
则等比数列的通项公式为，.
(2)解：数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
则，
.
则所求的数列的前项和为.
12．（2022·重庆·二模）已知数列，满足，；
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前2n项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵，
∴，即，又，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴；
(2)∵，
∴，
∴
.
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