资源简介

1.平方和开方
如果 那么有.
2.平方根和算数平方根
2的平方根是 2的算术平方根是
4的平方根是 4的算术平方根是
0的平方根是0 0的算术平方根是0
一个正数的平方根有两个且互为相反数.
0的平方根为0.
算数平方根只有一个，且为非负数.
开平方时，被开方数只能是正数或0.
要点一：二次根式的概念
在实数这一章，我们学习了开平方运算，当时，表示的一个平方根。把它看作平方根号“”与所组成的式子时，这是一个代数式.
1.（a）是一个代数式，叫做二次根式，a是被开方数.
2.举例说明：、、、等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以像，这样的式子没有意义.
3.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
要点二：二次根式的性质
1.在平方根的学习中，我们根据开平方与平方互逆运算的关系，得到了下列等式，现在把这两个等式作为二次根式的性质：
性质1：；
性质2：；
2.问题1：当a为实数时，与有什么关系
试填写下表：
-3 -1 0 1 3
一般来说，由，得，其中.利用二次根式的性质1，可知，所以与的关系：
．
3.我们把以前实数运算中已经得出的两个等式也作为二次根式的性质：
性质3：（，）；
性质4：（，）．
4.问题2： 与 相等吗？为什么
一般地，设 那么.
5.想一想：如果 那么 是否成立
类似地，设 那么
把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.
通常把形如 等也是二次根式.
要点一：二次根式的概念
【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（）．
【难度】★
【例2】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？
（1）； （2）．
【难度】★
【例3】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？
（1）； （2）．
【难度】★
【例4】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？
（1）； （2）．
【难度】★
【例5】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？
（1） ； （2）．
【难度】★★
【例6】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？
（1） ； （2）； （3）．
【难度】★★
要点二：二次根式的性质
【例7】求下列二次根式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【例8】求二次根式的值，其中．
【难度】★
【例9】计算下列各式的值：
（1）； （2）； （3） ；
（4）； （5） ； （6）；
（7）； （8） ； （9）．
【难度】★
【例10】化简以下二次根式：
（1）； （2）（）； （3）．
【难度】★
【例11】化简以下二次根式：
（1）； （2）； （3）（）．
【难度】★
【例12】化简：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【例13】化简：．
【难度】★★
【例14】如果成立，求的取值范围．
【难度】★★
【例15】已知，化简：．
【难度】★★
【例16】已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：．
【难度】★★
【例17】在中，是三角形的三边，化简．
【难度】★★
1.代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．
2.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
3.被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数．
4.如果一个二次根式不是最简二次根式，那么可以利用上一节化简二次根式的方法，把它化成最简二次根式.
【巩固1】判断下列各题的正误．
（1）．…………………………………………………（ ）
（2）．…………………………………………………（ ）
【难度】★
【巩固2】求使下列各式有意义的字母的取值范围：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【巩固3】计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【巩固4】计算：求下列二次根式的值：
（1）； （2）()；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【难度】★
【巩固5】要使式子有意义，则应满足（ ）
A.且 B. C. D.且
【难度】★
【巩固6】已知实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示：则化简的结果是__________．
【难度】★
【巩固7】解下列各式：
（1）已知，试化简；
（2）分别是三角形三边的长，化简．
【难度】★★
【巩固8】把中，根号外的移入根号内的结果是________.
【难度】★★
【巩固9】化简二次根式：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【难度】★★
【巩固10】把根号外的因式移到根号内．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【难度】★★
【巩固11】若是一个正整数，则正整数的最小值是__________．
【难度】★★
【巩固12】把根号外的因式移到根号内，得__________．
【难度】★★
已知．
【难度】★★★
若的值．
【难度】★★★
【例3】设等式在实数范围内成立，且 是两两不同的实数，则值等于 __________．
【难度】★★★
【例4】若是实数，且，化简．
【难度】★★★
【例5】已知实数，满足，求的值．
【难度】★★★
【例6】已知，求的值．
【难度】★★★
【巩固1】已知，求的值．
【难度】★★★
【巩固2】已知，求的值．
【难度】★★★
【巩固3】已知，则的值等于__________．
【难度】★★★
【巩固4】满足关系式：，
求的值．
【难度】★★★
【巩固5】若，求的值．
【难度】★★★
【巩固6】若、是实数，且，化简：
【难度】★★★
【巩固7】已知，求的值．
【难度】★★★
【巩固8】已知是实数，且，求．
【难度】★★★
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2022/7/3

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