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九年级下册数学试题-期末考试最新易错题精选精练 人教版（含解析）
一、单选题
1．与的相似比为1:3，则与的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
2．对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像在第一、三象限
B．它的函数值y随x的增大而减小
C．点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．△POA的面积是
D．若点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则＜
3．若为锐角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，直线与双曲线交于两点，则当线段的长度取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，已知动点，分别在轴，轴正半轴上，动点在反比例函数图象上， 轴，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（ ）
A．越来越小 B．越来越大
C．不变 D．先变大后变小
8．已知反比例函数的图象如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转得到曲线，点N是曲线上一点，点M在直线上，连接、，若，的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AD//BC，∠D=90°，AD=3，BC=4，DC=6，若在边 DC上有点P，使△PAD 与△PBC相似，则这样的点 P 有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF DE；④OM＝OF（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是_____元．
12．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为__________米．
13．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝_____．
14．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为，的正方形拼成一个大正方形．图中的斜边的长等于________（用，的代数式表示）．
15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，MN∥BC交AC于点N．联结NQ，设BQ＝x．则当x＝_____．时，四边形BMNQ的面积最大值为_______．
16．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为___
17．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，直线DE是⊙O的切线，切点为D，交AC于E，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ABF；
（2）若，AF＝6，求GF的长．
19．新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数），参考数据：，，．
20．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
21．计算：
22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出点的坐标______．
23．在等边三角形中，，D为的中点．连接，E，F分别为，的中点，将绕点C逆时针旋转，记旋转角为，直线和直线交于点G．
（1）如图1，线段和线段的数量关系是________________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________________．
（2）将图1中的绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
【详解】
解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象与系数的关系解答．
【详解】
解：A、反比例函数中的>0，则该函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确．
B、反比例函数中的>0，则该函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项说法错误．
C、点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．，∴△POA的面积=，故本选项正确．
D、∵反比例函数，点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则y1故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；还考查了k的几何意义．
3．B
【解析】
【分析】
根据tan45°=1求出即可．
【详解】
∵∠A为锐角，tanA=1，∴∠A=45°．
故选B．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，主要考查学生的记忆能力和计算能力．
4．A
【解析】
【分析】
从上往下看称为俯视图．
【详解】
解：从上面看可到两行正方形，后排有3个正方形，前排靠左有2个正方形．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，掌握俯视图为从物体的上面看得到的视图是解答本题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于的方程，解方程即可求得的值．
【详解】
∵根据反比例函数的对称性可知，要使线段AB的长度取最小值，则直线经过原点，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值．
6．C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：AC＝＝，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC的长，正确理解正弦的定义是解题关键．
7．C
【解析】
【分析】
设点，作可得，根据可得答案．
【详解】
解：如图，过点作于点，
则，
设点，
则，
当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会不变，始终等于，
故选：．
【点睛】
本题主要考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
8．B
【解析】
【分析】
将直线y=-x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y=-x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【详解】
解：∵将直线y=-x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，
则直线y=-x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，
∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，
设点M，N的对应点分别是M'，N'，
过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'．
∵MN=ON，
∴M'N'=ON'，M'P=PO，
∴S△MON=S△M′ON′=2S△ON′P=2×=，
∴（舍）或，
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，旋转的性质，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．
9．A
【解析】
【分析】
根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=∠D=90°，
∵DC=6，AD=3，BC=4，
设PD=x，则PC=6-x．
①若PD：PC=AD：BC，则△PAD∽△PBC，
则，
解得：x=，
经检验：x=是原方程的解；
②若PD：BC=AD：PC，则△PAD∽△BPC，
则，
解得：x无解，
所以这样的点P存在的个数有1个．
故选：A．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解本题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可证△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正确；由“SAS”可证△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正确；通过证明△DAE∽△BFA，可得，可证BC2=DE BF，故③正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可证MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④错误，即可求解．
【详解】
解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，
∴∠ADM'+∠ADC=180°，
∴点M'在直线CD上，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，
∴∠M′AN=∠MAN=45°，
又∵AN=AN，AM=AM'，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正确；
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，
∴∠D'BE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，AF=AD'，
∴△AEF≌△AED'（SAS），
∴EF=D'E，
∵D'E2=BE2+D'B2，
∴BE2+DF2=EF2；故②正确；
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，
∴∠BAF=∠AEF，
又∵∠ABF=∠ADE=45°，
∴△DAE∽△BFA，
∴，
又∵AB=AD=BC，
∴BC2=DE BF，故③正确；
∵∠FBM=∠FAM=45°，
∴点A，点B，点M，点F四点共圆，
∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，
同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，
∴∠EOM=45°=∠EMO，
∴EO=EM，
∴MO=EO，
∵∠BAM≠∠DAN，
∴∠BFM≠∠DEN，
∴EO≠FO，
∴OM≠FO，故④错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．1080
【解析】
【分析】
直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
【详解】
∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故答案为：1080．
【点睛】
此题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.
12．112
【解析】
【分析】
根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【详解】
解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴，
∴AM=AN，
由题意可得，∠ANF=∠EMA=90°，
∠NAF+∠AFN=∠NAF+∠EAM=90°，
∴∠AFN=∠EAM，
∴Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴，
∵AM=AN，
∴，
解得：AM=140，
∴AD=2AM=280（步），
∴（米）
故答案为：112．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
13．3
【解析】
【分析】
根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点P（a，4）代入解析式，即可求解．
【详解】
解：∵点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，
∴，
∵△OAB的面积为6．
∴，即，
∴反比例函数的解析式为，
∵点P（a，4）也在此函数的图象上，
∴，解得：．
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
根据题意及勾股定理可得BC2=；又因Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，根据射影定理可得BC2=a AB，由此即可解答．
【详解】
根据题意及勾股定理可得：BC2=；
由题意可得：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，
∴BC2=a AB，
即可得AB=．
故答案为．
【点睛】
本题考查射影定理的知识，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
15．
【解析】
【分析】
先由勾股数可得BC的长，再由△QBM∽△ABC列出比例式，用含x的式子表示出QM和BM，然后由平行线的性质得比例式，解出MN，最后由三角形的面积公式得出四边形BMNQ的面积表达式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∵△QBM∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴QM＝x，BM＝x，
∵MN∥BC，
∴＝，即＝，
∴MN＝5﹣x，
∴四边形BMNQ的面积为：，
∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、相似三角形及勾股定理，关键是根据勾股定理求出线段的长，然后根据相似三角形得到比例列出函数关系式，最后用二次函数的性质求解即可．
16．
【解析】
【分析】
由DE：EC=3：1，可得DF：FB=3：4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得S△EFD：S△BEF=3：4，S△BDE：S△BEC=3：1，可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值．
【详解】
解：连接BE
∵DE：EC=3：1
∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k
∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD=4k，
∴,
∴S△EFD：S△BEF=3：4
∵DE：EC=3：1
∴S△BDE：S△BEC=3：1
设S△BDE=3a，S△BEC=a
则S△EFD=，，S△BEF=，
∴SBCEF=S△BEC+S△BEF=，
∴则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值．
17．
【解析】
【分析】
连接OD、OE、AD，AD交OE于F，如图，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，利用余弦的定义可计算出∠B＝60°，则根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠AOD＝120°，于是可计算出BD＝1，AD＝，接着证明△ADE为等边三角形，求出OF＝，根据扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S四边形OAED﹣S扇形AOD＝S△ADE＋S△AOD﹣S扇形AOD进行计算．
【详解】
解：连接OD、OE、AD，AD交OE于F，如图，
∵AC是⊙O的切线，切点为A，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，cosB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠AOD＝2∠B＝120°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-∠B=90°-60°=30°，
在Rt△ADB中，BD＝AB＝1，
∴AD＝BDtan60°=BD＝，
∵直线DE、EA都是⊙O的切线，
∴EA＝ED，∠DAE=90°-∠BAD=90°-30°＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
而OA＝OD，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AFO=90°，
在Rt△AOF中，∠OAF=30°，
∴OF＝OA＝，
∴S阴影部分＝S四边形OAED﹣S扇形AOD，
＝S△ADE＋S△AOD﹣S扇形AOD，
＝×（）2＋××﹣，
＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查圆的切线，圆周角定理，扇形面积公式，锐角三角函数求角，30°角直角三角形的性质，掌握和运用圆的切线，圆周角定理，扇形面积公式，锐角三角函数求角，30°角直角三角形的性质是解题关键．
18．（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义可得∠DAG=∠BAF，再由∠ADE=∠B，即可证明△ADG∽△ABF；
（2）由△ADG∽△ABF，可得，即可得到，则GF=AF-AG=2．
【详解】
解：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG=∠BAF，
∵∠ADE=∠B，
∴△ADG∽△ABF；
（2）∵△ADG∽△ABF，
∴，
∵，，
∴，
∴GF=AF-AG=2．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
19．42m
【解析】
【分析】
如图，过点A作，垂足为E．利用，求解即可．
【详解】
解：如图，过点A作，垂足为E．
由题意可知，，，．
在中，，
∴．
在中，，
．
∵，
∴
．
答：该建筑的高度约为．
【点睛】
本题考查了解斜三角形，通过作高化斜三角形为直角三角形，并准确求解是解题的关键．
20．当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可．
【详解】
在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
21．
【解析】
【分析】
首先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的运算即可求得．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了含特殊角的三角形函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角形函数值及二次根式的运算是解决本题的关键．
22．图见解析，
【解析】
【分析】
由位似的性质进行作图和求解，即可得到答案．
【详解】
如图，即为所求，
故答案为：
【点睛】
本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，以及考查了坐标与图形，解题的关键是掌握位似的性质进行解题．
23．（1），；（2）结论仍然成立；证明见解析；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理求解即可；
（2）由（1）的结论以及旋转的性质证明，根据相似三角形的性质即解答即可；
（3）当以点C、F、E、G为顶点的四边形是矩形时，分两种情况讨论，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）∵是等边三角形，D为的中点．
∴，
∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
由图1得：直线与直线相交所成的较小角的度数是，
故填：，；
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：设交于点H，
∵是等边三角形，D为的中点．
∴，
∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴，
∴，
∵绕点C逆时针旋转，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）分两种情况：
①当点E在线段上时，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（2）知：，
∴，
在中，，
∴，
∴；
②当点E在线段的延长线上时，
同①，，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、等边三角形的性、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等知识，正确运用相似三角形的判定和性质以及分类讨论的思想的灵活运用成为解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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