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2021-2022学年高一下暑假数学培优试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．某学校根据学生对课堂改革的喜爱程度进行调查，参加调查的共有2000人，调查结果如下表：
喜爱程度 很喜欢 喜欢 一般 不太喜欢
人数/人 500 900 450 150
学校领导为了解学生更具体的想法，打算从中抽选出40人进行更详细的调查，若采用分层抽样，则在喜欢和不太喜欢的人中应抽取的人数分别为（ ）A．10，3 B．18，3 C．18，9 D．10，9
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（ ）
A．12 B． C．5 D．10
5．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．已知，若，则的值为
A． B． C． D．
7．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为1，点M，N分别为线段，上的动点，且，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．与是异面直线
10．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可得（ ）
A．年龄组对应小矩形的高度为0.2.
B．年龄组对应小矩形的高度为0.04.
C．志愿者年龄在的频率为0.55
D．据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为200.
11．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在上单调，且，则（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．的图象向左平移个单位长度后可能得到的图象
C．的值不可能是整数
D．在上仅有两个零点
三、填空题
13．河北省九大高峰按照海拔（单位：米）排名依次为小五台山（2882） 驼梁山（2281） 雾灵山（2118） 长城岭（2100） 白石山（2096） 野三坡（1983） 祖山（1428） 天桂山（1270） 狼牙山（1105），则这九大高峰的海拔数据的第70百分位数为______.
14．某圆台的上 下底面圆的半径分别为，且该圆台的体积为，则该圆台的高为_____.
15．若函数在区间上是严格减函数，则实数a的最大值为________
四、双空题
16．如图，在三棱锥中，平面米，米，与底面所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点出发，沿着侧面走到上的一点，再沿着侧面继续走到棱上，则这只蚂蚁从点出发到达棱的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线与的交点到底面的距离为______米.
五、解答题
17．已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，，求复数．
18．在四边形中，.
(1)若，证明：四边形为菱形.
(2)已知为的中点，设，试用表示.
19．如图，正四棱锥，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积；
20．如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
21．从甲 乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，
（1）求，，，
（2）你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？
22．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)若二面角的正切值为，求二面角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算计算作答.
【详解】
.
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
直接由分层抽样的定义求解即可.
【详解】
从喜欢的人中应抽选的人数为，从不太喜欢的人中应抽选的人数为.
故选：B.
3．A
【解析】
利用向量平行的坐标表示即可求出的值.
【详解】
向量，，若，
则，
解得：，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据斜二测画法得到平面图形，即可得解；
【详解】
解：根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽.
故该平面图形的周长为.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
结合正弦定理求得正确答案.
【详解】
由于，所以是锐角，
由正弦定理得，，
解得，所以.
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合，可以求出，结合，根据同角三角函数的关系式，可以求出，最后利用两角和的正切公式求出的值.
【详解】
，
所以.
因为，所以，
所以，所以.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力.
7．C
【解析】
【分析】
根据已知条件证明，得到或其补角为异面直线与所成的角.在中利用余弦定理计算可得结果.
【详解】
如图，连接.
因为为中点，且，所以四边形为矩形，
所以，所以或其补角为异面直线与所成的角.
设圆的半径为1，则.
因为，所以.
在直角中，，得.
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.
【详解】
因向量与共线，令，则，而向量，为单位向量，且，
于是得，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故选：B
9．AC
【解析】
本题考查点，线，面的位置关系，根据线与面平行的判定方法，及线与面的垂直的性质定理，确定A、B、C、D四个选项是否正确.
【详解】
在正方体中，.
∵，，且，
当M为的中点时，N为的中点，即的中点，
此时，否则与异面，则都错；
在上取点E，使，则，
∴，∴平面平面
∴平面，
又平面，∴．
则AC正确．
故选：AC.
10．BCD
【解析】
【分析】
设出年龄组对应小矩形的高度，利用小矩形面积和为1判断A、B选项；通过对应矩形面积直接计算频率和对应人数判断C、D选项.
【详解】
设年龄组对应小矩形的高度为，则，解得，故A错误，B正确；
由上知：年龄在的频率为，C正确；
由上知：年龄在的人数为，D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，写出各点坐标，“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点，利用平面向量运算法则计算出结果.
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，-2），B（-3，0），C（3，-2），D（-2，1），
“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点，因为E（1，-1），F（2，0），G（4，0），
所以=（4，-1），=（5，0），=（7，0）.又=（-2，3），
所以·=-11，·=-10，·=-14.
故选：ACD
12．ACD
【解析】
【分析】
根据条件求出的范围，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.
【详解】
因为为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，A正确；
因为在（，）上单调，所以≥=，即≥，所以，
因为，又<ω+≤，得ω+>π，所以，
因为f（x）在（，）上单调，所以函数在（ω+，ω+）上单调，
因为<ω+≤，<ω+≤，所以ω+≤，即，
综上，，C正确.
将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，
若，则，即，
又，所以不存在ω，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象，B错误.
由，得ωx+∈（，πω+），因为，得<πω+≤，
由，可得πω+=π或πω+=2π，即f（x）在上仅有两个零点，D正确
故选：ACD
13．2118
【解析】
【分析】
将数据从小打到排列，利用百分位数的定义即可求解.
【详解】
解：将这九大高峰的海拔数据按照从小到大的顺序排列，依次为1105，1270，1428，1983，2096，2100，2118，2281，2882，因为，所以第70百分位数为第7项数据，即2118.
故答案为：2118.
14．12
【解析】
【分析】
根据圆台的体积公式即可求解.
【详解】
解：由题可知，该圆台上底面圆的面积为，下底面圆的面积为，
设该圆台的高为，则该圆台的体积为，解得.
故答案为：12.
15．
【解析】
【分析】
化简得到，结合的单调递减区间得到，即可求出结果.
【详解】
因为,
又因为在区间上是严格减函数，
且的单调递减区间为，
所以，即，所以实数a的最大值为，
故答案为：.
16． 2 ##1.5
【解析】
【分析】
由题意，将侧面ABD翻折至与平面ABC共面，由两点之间直线最短确定出蚂蚁的最短路线为C→F→E，利用勾股定理求出最短路程为CE=2米，利用三角形相似求出FB=.
【详解】
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，又AB=4米，BC=3米，
所以AC=5米.因为AD与底面BCD所成的角为∠ADB，所以tan∠ADB==2，所以BD=2米.将侧面ABD翻折至与平面ABC共面，如图所示.AC=CD=5米，AD=2米，取AD的中点E，连接CE，交AB于F，则CE⊥AD，蚂蚁的最短路线为C→F→E，最短路程为CE=2米，最短路线与AB的交点为F.取BD的中点G，连接EG，则EG=AB=2米，BG=BD=1米，根据△CBF∽△CGE，得==，则FB=EG=，故这只蚂蚁的最短路线与AB的交点到底面BCD的距离为米.
故答案为：；.
17．（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值；
（2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从而可求出复数
【详解】
解：（1）由复数为纯虚数，有，得．
（2）由（1）知，令，有．
又由，得，有．
由上知或．
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由相等向量可得四边形为平行四边形，利用向量数量积的运算律可得，即可证明；
（2）利用几何图形的关系结合平面向量的线性运算即可求解.
(1)
证明：因为，所以，所以四边形为平行四边形.
又，所以，
所以，
所以四边形为菱形.
(2)
解：，
因为为的中点，所以，
所以，
因为，所以.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先连接，交于点，连接，根据三角形中位线性得到，再利用线面平行的判定即可证明平面.
（2）首先连接，根据题意得到棱锥的高为，再计算四棱锥的体积即可.
【详解】
（1）连接，交于点，连接.
因为四棱锥为正四棱锥，
所以四边形为正方形，即为中点，
因为为中点，所以为的中位线，
所以，
因为平面，平面，
平面.
（2）连接，如图所示：
在正四棱锥中，平面，即棱锥的高为，
在中，，
故.
20．(1)证明见解析
(2)12
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由与，结合与基本不等式求解即可
(1)
∵，由与余弦定理
∴，
整理得，，
∴．
∴为直角三角形．
(2)
∵，
∴．
由，得．
．（当且仅当时取等号）
所以四边形面积S的最大值为12．
21．（1）；；；；（2）选乙参加比赛，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用平均数和方程公式求解；
（2）利用（1）的结果作出判断.
【详解】
（1）由数据得：
；
；
（2）由（1）可知，甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差，
说明乙的成绩更稳定；
应该选乙参加比赛.
22．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)在平面PBC内找到一条直线与AE平行即可；
(2)先用P-BC-D的正切值算出PD的长度，再构造三角形找到B-AE-C二面角的平面角，解三角形即可.
(1)
如图，取棱PC的中点F，连接EF，BF，
因为E，F分别为棱PD，PC的中点，所以EF CD且EF=CD，
因为AD⊥DC，AD⊥AB，且CD=2AB=2AD，所以ABCD且AB=CD，
所以EFAB且EF=AB，则四边形ABFE为平行四边形，AEBF，
因为AE 平面PBC且BF 平面PBC，所以AE平面PBC；
(2)
不妨设AB=1，连接BD，则BD=，BC=，CD=2，
由勾股定理可得BC⊥BD，
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，
因为PD∩BD=D，所以BC⊥平面PBD，
因为PB 平面PBD，所以PB⊥BC，
又BC⊥BD，所以∠PBD为二面角P-BC-D的平面角，
因为tan∠PBD===，所以PD=2；
分别设AE，BF的中点为H，G，连接HG，CG，CH，
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，
又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，
因为ABGH，所以GH⊥平面PAD，AE⊥GH，
因为AC=CE=，且H为AE的中点，所以CH⊥AE，
故∠CHG就是二面角B-AE-C的平面角，
在△CHG中，GH=1，CH=，CG=，
由余弦定理可得cos∠CHG= =，所以sin∠CHG=，
故二面角B-AE-C的正弦值为；
综上，二面角B-AE-C的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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