资源简介

11．1　随机抽样
(教师独具内容)
1．了解总体、个体、样本、样本容量的概念，了解数据的随机性．理解随机抽样的必要性和重要性．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．了解分层随机抽样．会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题．
2．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本容量比例分配的方法．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．
3．重点提升逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．随机抽样是统计的基础，基本的抽样方法在高考中时有出现，且比较简单．理解随机抽样的必要性和重要性．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层随机抽样方法．
2．高考考查抽样方法，主要与其他知识，如古典概型的求解、样本数据数字特征的计算等相结合考查．
(教师独具内容)
两种抽样方法的特点、联系及适用范围
类别 简单随机抽样 分层随机抽样
共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层，分层进行抽取
联系 分层随机抽样在各层抽样时，采用简单随机抽样
适用范围 总体个数较少 总体由差异明显的几部分组成
(教师独具内容)
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．在实践中人们更多采用不放回简单随机抽样，除非特别声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
(3)抽签法应用范围：总体个体数较少．
2．总体平均数与样本平均数
名称 定义
总体均值(总体平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi
样本均值(样本平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；(3)一般情况下，样本容量越大，估计越准确
3．分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样．
(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本容量都与层的大小成比例，那么称这种样本容量的分配方式为比例分配．
(2)如果总体分为两层，两层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本容量分别为m和n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为.则＝＋，＝＋.
(3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)为了解某电子产品的防水性能，应采用全面调查．(　　)
(2)简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)
(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　　)
(4)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取的人数为(　　)
A．33,34,33 B．25,56,19
C．20,40,30 D．30,50,20
答案　B
解析　设在不到35岁的员工中抽取x人，则＝，所以x＝25，同理可得这三个年龄段抽取的人数分别为25,56,19.故选B.
3．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是(　　)
A．总体
B．个体
C．样本容量
D．从总体中抽取的一个样本
答案　A
解析　由题意知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.故选A.
4．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
答案　18
解析　∵＝＝，∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．
5．一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方法，从全体员工中抽取样本容量为n的样本．已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．
答案　
解析　每个个体被抽到的概率是，设这个部门抽取了x个员工，则＝，故x＝.
基础知识巩固
考点　　简单随机抽样
例1　下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．某社区组织100名党员研读十九大报告，学习十九大精神
B．“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的学生
C．老师要求学生从整数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
答案　D
解析　选项A社区组织的是党员，对每一个个体而言，不具备“等可能性”；选项B老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”；选项C错在总体容量是无限的．故选D.
例2　用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A.， B．，
C.， D．，
答案　A
解析　解法一：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的可能性是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.故选A.
解法二：第一次被抽到，显然为；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为×＝.故选A.
　1.利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．在第一次抽出一个个体的条件下，若余下的某个个体在第二次抽取时被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　根据题意得，＝，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为＝.故选C.
2．齐鲁风采“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的三十个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．
答案　抽签法
解析　三十个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，这是典型的抽签法．
　简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)简单随机抽样时，总体中每个个体入样的概率相同．
考点　　分层随机抽样
例3　某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
答案　D
解析　根据分层随机抽样方法知＝，解得n＝36.故选D.
例4　(多选)(2022·广东惠州摸底)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则(　　)
A．老年旅客抽到100人
B．中年旅客抽到20人
C．n＝200
D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200
答案　AC
解析　由题意知，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，若青年旅客抽到60人，则有＝，解得n＝200，则老年旅客抽到200×＝100(人)，中年旅客抽到200×＝40(人)．故选AC.
　3.(2021·广州综合测试)某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝(　　)
A．96 B．72
C．48 D．36
答案　B
解析　由题意得n－n＝8，所以n＝72.故选B.
4．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案　1800
解析　设甲设备生产的产品为x件，则＝，所以x＝3000.故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.
　解决分层随机抽样题的关键
(1)＝；
(2)层1的容量∶层2的容量∶层3的容量＝样本中层1的容量∶样本中层2的容量∶样本中层3的容量．
考点　　样本平均数的求法
例5　(2022·福建泉州高三月考)为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：
分组 人数 平均成绩
正科级干部组 a 80
副科级干部组 b 70
(1)求a，b；
(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分.
解　(1)样本容量与总体中的个体数的比为＝，则抽取的正科级干部人数a＝320×＝8，副科级干部人数b＝1280×＝32.
(2)这40名科级干部预测成绩的平均分＝＝72.
　5.某校高二年级“化生史”组合只有2个班，且每班50人．在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的数学平均成绩约为________分．
答案　108
解析　样本中40名学生的平均分为×110＋×106＝108(分)，所以该组合学生的数学平均成绩约为108分．
6．(2022·湖北宜昌高三月考)总体由100人组成，按以往收入情况分成两层，第一层(高收入层)20人；第二层(低收入层)80人．从第一层随机抽2人，得月收入的平均数为14000元；从第二层抽8人，得月收入的平均数为3500元，估计100人的月收入的平均数为________元．
答案　5600
解析　样本平均数为＝＋＝5600元．所以估计100人的月收入的平均数为5600元．
　分层随机抽样均值的计算
在分层随机抽样中，如果第一层的样本容量为m，平均值为x；第二层的样本容量为n，平均值为y，则样本的平均值为.
课时作业
一、单项选择题
1．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况．应采取的抽样方法是(　　)
A．(1)(2)都用简单随机抽样法
B．(1)用分层随机抽样法，(2)用简单随机抽样法
C．(1)用简单随机抽样法，(2)用分层随机抽样法
D．(1)(2)都用分层随机抽样法
答案　B
解析　(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样法较合适；(2)中总体容量较小，采用简单随机抽样法较合适．故选B.
2．近年来，很多学生因为手机的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势，某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查，已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝(　　)
A．250 B．300
C．800 D．900
答案　D
解析　因为小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本，所以小学生抽取n人，初中生抽取n人，高中生抽取n人．依题意可得n－n＝50，解得n＝900.故选D.
3．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层随机抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检(　　)
A．20家 B．10家
C．15家 D．25家
答案　A
解析　根据分层随机抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×＝20(家)．故选A.
4．下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某工厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从全校4000名学生中抽取100人检测视力
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
答案　B
解析　选项B中总体容量和样本容量都不大，适合采用抽签法．故选B.
5．(2021·湖南衡阳市八中高三月考)新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层随机抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是(　　)
A．样本容量为240
B．若样本中对平台三满意的人数为40，则m＝40%
C．总体中对平台二满意的人数约为300
D．样本中对平台一满意的人数为24
答案　B
解析　样本容量为6000×4%＝240，A正确；根据题意得平台三的满意率为＝40%，m＝40，不是m＝40%，B错误；样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意的人数约为1500×20%＝300，C正确；样本中对平台一满意的人数为2000×4%×30%＝24，D正确．故选B.
6．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出其中两句的有45人，能说出其中三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出其中一句或一句也说不出的大约有(　　)
A．69人 B．84人
C．108人 D．115人
答案　D
解析　由题意，样本中只能说出其中一句或一句也说不出的学生有100－45－32＝23人，故只能说出其中一句或一句也说不出的学生占的比例为，故500名学生中只能说出其中一句或一句也说不出的学生大约有500×＝115人．故选D.
7．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8,16,24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　B
解析　根据分层随机抽样的特点可知，应抽取的中型城市数为12×＝4.故选B.
8．下列抽取样本的方式，是简单随机抽样的是(　　)
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从一个大球，四个小球中随机摸出一个球
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
答案　B
解析　对于A，简单随机抽样中总体的个数是有限的，题中是无限的，不是简单随机抽样，故A不是简单随机抽样；对于B，满足简单随机抽样的定义，从N个个体中逐个不放回地抽取n个个体(n≤N)，故B是简单随机抽样；对于C，不是简单随机抽样，原因是球有大小，抽取时大球和小球被抽到的概率不相等；对于D，不是简单随机抽样，原因是个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．故选B.
二、多项选择题
9．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球100个，红球100个)中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答问题2，共有270人回答“是”，则下述正确的是(　　)
A．估计被调查者中约有520人吸烟
B．估计约有20人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有4%的中学生吸烟
D．估计该地区约有2%的中学生吸烟
答案　BC
解析　随机抽出的1000名学生中，回答问题1的概率是，其编号是奇数的概率也是.所以回答问题1且回答“是”的人数约为1000××＝250，所以回答问题2，且回答为“是”的人数约为270－250＝20.由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为＝4%，估计被调查者中约有1000×4%＝40人吸烟．故选BC.
10．对下列三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是(　　)
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～100分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③从10台冰箱中抽出3台进行质量检测
A．①②适宜采用分层随机抽样
B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样
D．③适宜采用简单随机抽样
答案　CD
解析　①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层随机抽样的方法；②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层随机抽样的方法；③从10台冰箱中抽出3台进行质量检测，具有随机性，适合用简单随机抽样．故选CD.
三、填空题
11．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了解学生对两个社团活动的满意程度，用分层随机抽样的方法从中抽取一个50人的样本进行调查，则应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取________人．
答案　6
解析　因为“泥塑”社团的人数占总人数的，故“剪纸”社团的人数占总人数的，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，所以应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取的人数为20×＝6.
12．分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本容量为20，样本平均数为3，第2层的样本容量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________．
答案　6
解析　＝×3＋×8＝6.
13．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取________名学生．
答案　40
解析　高三的学生有2400－820－780＝800名，所以在该学校的高三应抽取120×＝40名学生．
14. (2022·湖南郴州高三月考)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
答案　50　1015
解析　由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1020×50%＋980×20%＋1030×30%＝1015(小时)．
四、解答题
15．《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：
分组(年龄) [7,20) [20,40) [40,80]
频数(人) 18 54 36
(1)用分层随机抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；
(2)在(1)中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．
解　(1)∵样本容量与总体个数的比是＝，∴样本中包含3个年龄段的个体数分别是年龄在[7,20)的人数为×18＝1，
年龄在[20,40)的人数为×54＝3，
年龄在[40,80)的人数为×36＝2，
∴从这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80)中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.
(2)用分层随机抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80)中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.
从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，样本点总数n＝C＝15，这2人来自同一年龄组包含的样本点个数为m＝C＋C＝4，
∴这2人来自同一年龄组的概率P＝＝.
16．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
(1)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；
(2)从被抽取的年龄在[50,70]使用自由购的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50,60)的概率；
(3)为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
解　(1)随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的有3＋14＝17人，所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率估计为P＝.
(2)设事件A为“这2人年龄都在[50,60)”．
被抽取的年龄在[50,60)的4人分别记为a1，a2，a3，a4，被抽取的年龄在[60,70]的2人分别记为b1，b2.
从被抽取的年龄在[50,70]使用自由购的顾客中随机抽取2人，共包含15个样本点，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2.
事件A包含6个样本点，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4.
则P(A)＝＝.
(3)随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3＋12＋17＋6＋4＋2＝44人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为×5000＝2200.
17．某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：h)，数据如下：
甲 6 6.5 7 7.5 8
乙 6 7 8 9 10 11 12
丙 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
(1)求三个班学生人数之比；
(2)估计这个学校高一年级的学生中，一周的锻炼时间超过10个小时的百分比；
(3)估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间．
解　(1)由题中的表格可知，按分层随机抽样的方法从甲、乙、丙3个班中分别抽取了5名、7名、8名学生，故三个班学生人数之比为5∶7∶8.
(2)由题意知，抽取的20名学生中，一周的锻炼时间超过10个小时的有5名，所以估计这个学校高一年级的学生中，一周的锻炼时间超过10个小时的百分比为＝25%.
(3)从甲班抽取的5名学生的总时间为6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35 h.
从乙班抽取的7名学生的总时间为6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63 h.
从丙班抽取的8名学生的总时间为3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66 h.
则＝＝8.2 h.
所以估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2 h.

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