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中山市高二年级2021—2022学年度第二学期期末统一考试
一．选择题（共9小题）
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量X，则X的可能值为（　　）
A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…
2．甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是（　　）
A． B． C． D．
学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均 标准差
数学 88 62 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 ＝60 σ（X）＝
物理 75 63 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 ＝65 σ（Y）＝
3．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．
年份x 0 1 4 5 6 8
芳香度y 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3
由最小二乘法得到回归方程＝1.03x+1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（　　）
A．6.1 B．6.28 C．6.5 D．6.8
5．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位．用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00﹣15”，1个平角＝30﹣00，1个周角＝60﹣00，已知函数f（x）＝x﹣2cosx，x∈[，]，当f（x）取到最大值时对应的x用密位制表示为（　　）
A．15﹣00 B．35﹣00 C．40﹣00 D．45﹣00
6．已知函数在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，+∞） C． D．
7．函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（　　）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列选项中，在（﹣∞，+∞）上单调递增的函数有（　　）
A．f（x）＝x4 B．f（x）＝x﹣sinx
C．f（x）＝xex D．f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x
（多选）10．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（　　）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A在正中间，有24种排法
C．若A在B左边，有24种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
（多选）11．已知函数f（x）的导函数是f'（x），f'（x）的图象如图所示，下列说法
确的是（　　）
A．函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减
B．函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减
C．函数f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数f（x）共有2个极小值点
（多选）12.已知P(A)=，P()=，P)=，则下列结论正确的是（ ）
A.P)= B.P()= C.P()= D.P)=
三、填空题（共4小题）
13．曲线在点处的切线方程为 .
14．已知，且，则的方差为 .
15．函数的零点个数为 .
16．某数学学习兴趣小组开展“二项分布的性质”为主题的数学探究活动。设随机变量，记。在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，则取的整数部分时，是唯一的最大值。以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大。
四、解答题
17.的展开式一共有7项。
(1). 求展开式中二项式系数之和；
(2). 求展开式中的常数项。
18. 已知函数在处有极值。
(1). 求的值;
(2). 证明：。
19．携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
（1）完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（2）为进一步提高服务质量．在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望．
附：（K2＝，n＝a+b+c+d．）
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP＝α．
（1）用α分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
21．为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的成绩数据，统计如下表：
数学成绩x 46 65 79 89 99 109 110 116 123 134 140
物理成绩y 50 54 60 63 66 68 缺考 70 73 76 80
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的经验回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩（成绩估计结果四舍五入取整数）；
（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（μ，σ2），用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望．
附：参考数据：
1110 660 68586 120426 4770 0.31
上表中的xi表示样本中第i名考生的数学成绩，yi表示样本中第i名考生的物理成绩，．
参考公式：①对于一组数据：u1，u2，…，un，其方差：s2．
②对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
③随机变量ξ服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.955，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.997．
22. 已知函数f（x）＝lnx.
（1）证明：当x＞1时，f（x）＞0；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．答案解析：中山市高二年级2021—2022学年度第二学期期末统一考试
一．选择题（共9小题）
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量X，则X的可能值为（　　）
A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…
【解答】解：∵袋中有大小相同的红球6个，白球5个，
从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，
所需要的取球的次数为随机变量ξ，
∴X的可能值为1，2，…，7．
故选：B．
2．甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：甲投进而乙没有投进的概率为 ＝，乙投进而甲没有投进的概率为 （1﹣） ＝，
故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是 +＝，
故选：D．
3．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：
学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均 标准差
数学 88 62 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 ＝60 σ（X）＝
物理 75 63 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 ＝65 σ（Y）＝
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由已知表格中的数据，可知＜，即数学成绩分布曲线的对称轴在物理成绩分布曲线的对称轴的左侧，
又σ（X）＝94＞σ（Y）＝23，∴数学成绩分布曲线矮胖，物理成绩分布曲线高瘦，
结合选项可知，A正确．
故选：A．
4．其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．
年份x 0 1 4 5 6 8
芳香度y 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3
由最小二乘法得到回归方程＝1.03x+1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（　　）
A．6.1 B．6.28 C．6.5 D．6.8
【解答】解：由表中数据：＝＝4，
回归方程＝1.03x+1.13，
∴＝1.03×4+1.13＝5.25，
∴＝＝5.25，
解得：？＝6.1．
故选：A．
5．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位．用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00﹣15”，1个平角＝30﹣00，1个周角＝60﹣00，已知函数f（x）＝x﹣2cosx，x∈[，]，当f（x）取到最大值时对应的x用密位制表示为（　　）
A．15﹣00 B．35﹣00 C．40﹣00 D．45﹣00
【解答】解：f（x）＝x﹣2cosx，
则f′（x）＝+2sinx，
又x∈[，]，
当x∈（，）时，f′（x）＞0，当x∈（，）时，f′（x）＜0，
即函数f（x）在（，）为增函数，在（，）为减函数，
则当x＝时函数f（x）取最大值，
由密位制中角的密位的运算可得个平角＝40﹣00，
故选：C．
6．已知函数在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，+∞） C． D．
【解答】解：因为在（0，+∞）上单调递增，
所以g'（x）＝x﹣﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，即2a≤x（x﹣2）在（0，+∞）上恒成立，
而y＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，当且仅当x＝1时，等号成立，
所以2a≤﹣1，即a≤﹣，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．
故选：D．
7．函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由f（x）＝0得x2﹣2x＝0得x＝0或x＝2，排除C，A，
当x→﹣∞，f（x）→0，排除D，
故选：B．
8．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（　　）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
【解答】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有A33＝6种情况，
此时有3×6＝18种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A32＝6种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有A33＝6种情况，
此时有6×6＝36种名次排列情况；
则一共有36+18＝54种不同的名次情况，
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列选项中，在（﹣∞，+∞）上单调递增的函数有（　　）
A．f（x）＝x4 B．f（x）＝x﹣sinx
C．f（x）＝xex D．f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x
【解答】解：根据题意，依次分析选项，
对于A，f（x）＝x4，其导数f′（x）＝4x3，在区间（﹣∞，0）上，有f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝x﹣sinx，其导数f′（x）＝1﹣cosx，在（﹣∞，+∞）上，有f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，f（x）＝xex，其导数f′（x）＝ex+xex＝（1+x）ex，在区间（﹣∞，﹣1）上，有f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，其导数f′（x）＝ex+e﹣x﹣2，必有f′（x）＝ex+e﹣x﹣2≥2﹣2＝0，有f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：BD．
（多选）10．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（　　）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A在正中间，有24种排法
C．若A在B左边，有24种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若A、B不相邻，先将其他三人全排列，再将AB安排在3人的空位中，有AA＝72种方法，A正确；
对于B，若A在正中间，其余4人任意排列，有A＝24种排法，B正确；
对于C，5人全排列，有A＝120种排法，其中A在B的左侧和A在B的右侧情况是一样的，A在B左边有×120＝60种排法，C错误；
对于D，若A、B相邻，将AB看成一个整体，与其他3人全排列，有AA＝48种方法，D错误；
故选：AB．
（多选）11．已知函数f（x）的导函数是f'（x），f'（x）的图象如图所示，下列说法
确的是（　　）
A．函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减
B．函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减
C．函数f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数f（x）共有2个极小值点
【解答】解：由导函数f′（x）图象知x∈（﹣2，﹣1）时f′（x）＞0，所以函数f（x在（﹣2，﹣1）上为单调递增函数，故A错误；
由导函数f′（x）图象知x∈（﹣1，1）时f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递减函数，故B正确；
由导函数f′（x）图象知x∈（1，3）时f′（x）＞0，x∈（3，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在x＝3时非极值，故C错误，
由导函数f′（x）图象知x∈（﹣∞，﹣3）时f′（x）＜0，x∈（﹣3，﹣1）时f′（x）＞0，f（x）在x＝﹣3时取极小值，
由导函数f′（x）图象知x∈（﹣1，1）时f′（x）＜0，x∈（1，3）时f′（x）＞0，f（x）在x＝1时取极小值，故函数有两个极小值点；故D正确．
故选：BD．
12..已知P(A)=，P()=，P)=，则下列结论正确的是（ ）
A.P)= B.P()= C.P()= D.P)=
三．填空题（共4小题）
13.曲线在点处的切线方程为 .
（或写作）。
点为切点，在的图象上。
,
的导数,
切线斜率,
切线的点斜式方程为,
整理得，或写作。
故答案为：（或写作）。
14.已知，且，则的方差为 .
18.
的方差为,
,
则的方差为,
故答案为：18.
15.函数的零点个数为 .
2.
函数的零点个数就是方程的解的个数。
令，则。
分别画出和的图象，方程的解的个数就是两图象交点个数。
所以函数的零点个数为2.
故答案为：2.
16.某数学学习兴趣小组开展“二项分布的性质”为主题的数学探究活动。设随机变量，记。在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，则取的整数部分时，是唯一的最大值。以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大。
18.
继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，
由，
结合题中的结论可知，当时概率最大，
既后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，
所以出现18次的概率最大，
故答案为：18.
三．解答题（共6小题）
17.的展开式一共有7项。
(1). 求展开式中二项式系数之和；
(2). 求展开式中的常数项。
【解答】解：(1).因为的展开式中一共有7项，所以，所以展开式中的二项式系数之和为；
(2). 由，得展开式中的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为。
18. 已知函数在处有极值。
(1). 求的值;
(2). 证明：。
【解答】解：(1)，因为函数在处有极值，
所以，解得
经检验，符合题意。
(2). 证明：由(1)知，，要证，只需证：，
即，令，则，令，解得。
列表如下：
单调递减 单调递增
可得：时，有最小值。
故成立。
19．携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
（1）完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（2）为进一步提高服务质量．在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望．
附：（K2＝，n＝a+b+c+d．）
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）由题意可知，对业务满意的有 人，对服务满意的有 人，
可得2×2列联表如下：
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数 180 80 260
对业务水平不满意人数 20 20 40
合计 200 100 300
∵≈5.769＞5.024，
∴有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关．
（2）由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝，，
P（X＝2）＝，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
故期望E（X）＝．
20．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP＝α．
（1）用α分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，正三棱锥P﹣ABC的截面图，如图：
半球的底面圆的圆心O是底面三角形ABC的内心，OE＝1，∠ADP＝α．
则＝＝sinα，变形可得OD＝，
则AD＝3OD＝，
△ABC为等边三角形，则BC＝AD＝，
△POD中，＝cosα，则PD＝＝，
（2）根据题意，由（1）的结论，BC＝，PD＝，
则S△PBC＝×BC×PD＝，
故三棱锥的侧面积S＝3S△PBC＝，
由sin2αcosα＝（1﹣cos2α）cosα＝﹣cos3α+cosα，
设t＝cosα，0＜t＜1，则y＝﹣t3+t，其导数y′＝﹣3t2+1，0＜t＜1，
在区间（0，）上，y′＞0，y＝﹣t3+t为增函数，
在区间（，1）上，y′＜0，y＝﹣t3+t为减函数，
则当t＝时，y＝﹣t3+t取得最大值，其最大值为，即sin2αcosα的最大值为，
故三棱锥的侧面积S的最小值为＝．
21．为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的成绩数据，统计如下表：
数学成绩x 46 65 79 89 99 109 110 116 123 134 140
物理成绩y 50 54 60 63 66 68 缺考 70 73 76 80
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的经验回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩（成绩估计结果四舍五入取整数）；
（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（μ，σ2），用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望．
附：参考数据：
1110 660 68586 120426 4770 0.31
上表中的xi表示样本中第i名考生的数学成绩，yi表示样本中第i名考生的物理成绩，．
参考公式：①对于一组数据：u1，u2，…，un，其方差：s2．
②对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
③随机变量ξ服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.955，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.997．
【解答】解：（1）设根据剔除后数据建立的y关于x的回归直线方程为x，
剔除异常数据后的数学平均分为，
剔除异常数据后的物理平均分为，
则0.31，
则66﹣0.31×100＝35，
所以所求回归直线方程为0.31x+35，
又物理缺考考生的数学成绩为110，
所以估计其可能取得的物理成绩为0.31×110+35＝69.1；
（2）由题意可知，μ＝66，因为，
所以σ，
所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（66，92），
则物理成绩不低于75分的概率为，
由题意可知，Y～B（10000，0.1585），
所以物理成绩不低于75分的人数Y的期望为E（Y）＝10000×0.1585＝1585．
22. 已知函数f（x）＝lnx.
（1）证明：当x＞1时，f（x）＞0；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．
【解答】（1）证明：，由于已知x＞1，∴f'（x）＞0恒成立∴f（x）在（1，+∞）递增，∴f（x）＞f（1）＝0
∴x＞1时，f（x）＞0恒成立．
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P，要证P．
先证：P，即证
即证99×98×…×81＜（90）19
而99×81＝（90+9）×（90﹣9）＝902﹣92＜902
98×82＝（90+8）×（90﹣8）＝902﹣82＜902…
91×89＝（90+1）×（90﹣1）＝902﹣12＜902
∴99×98×…×81＜（90）19
即P
再证：e﹣2，即证e2，即证19ln2，即证ln
由（1）f（x）＝lnx，当x＞1时，f（x）＞0．
令x，则lnln0，即ln
综上有：P

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