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2021—2022学年第二学期高一年级期末考试 数 学 答 题 卡
考号
(
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
)
(
19.
（本题12分）
)考场号 ______
座位号 ______
姓 名 ______
班 级___________
(
考号务必填涂在右侧
)
(
第一部分 选择题
一、选择题
（每小题5分，共60分）
11

abcd
12

abcd
)
(
第二部分 非选择题
二、填空题
（每小题5分，共20分）
13.
14.
15.
16.
)
(
17.
（本题10分）
)
(
6
abcd
7
abcd
8
abcd
9
abcd
10
abcd
) (
1
abcd
2
abcd
3
abcd
4
abcd
5
abcd
)
(
18.
（本题12分）
)
(
22.
（本题12分）
20.
（
本题
12分）
21.
（本题12分
）
)2021-2022学年高一年级第二学期期末考试试卷
考试时间：120分钟 分值：150分 考试范围：人教A版必修二
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．小明10次周测的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则他
这10次成绩的50%分位数为
A．88.5 B．89 C．91 D．87.5
3．在空间中，下列说法正确的是
A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直
C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
4．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A
与事件B的关系是
A．A B B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
5．在中，其内角的对边分别为，已知，，，则边长
A． B． C． D．
6．在学校“科技文化艺术节”期间，小华同学设计了一款香囊，它是由6个边长为6cm的全等
正三角形拼接而成的六面体（如图），那么香囊内可供填充的容量约为
A． B． C． D．
7．将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体中有两个面涂有红色的概率为
A． B． C． D．
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地：总体均值为，总体方差为 B．乙地：总体均值为，中位数为
C．丙地：总体均值为，总体方差大于 D．丁地：中位数为，总体方差为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，，，，则
A. B.
C. D. 与夹角的余弦值为
10．甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则
A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为
C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为
11.在中，下列说法正确的有
A．若，则一定是等边三角形.
B．若，则是钝角三角形.
C．若，则一定是等腰三角形.
D．若，，，则符合条件的有且只有一解.
12. 如图，在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，，则下列说法错误的是
A.圆锥的体积为 B.平面PAC
C.PA⊥平面PBC D.在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知复数，则______．
14.已知向量的夹角为，，则_________．
15．已知直线不在，内给出下列三个论断：①；②；③；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.（用序号作答，例如：）
16.已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积为___________.（参考公式：）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求.
18.（12分）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”.
（1）写出该试验的样本空间，并求事件发生的概率；
（2）求事件发生的概率；
（3）事件与事件至少有一个发生的概率.
19.（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)当时，求面积的最大值．
20．（12分）2022年2月北京冬奥会的成功举办，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某校体育组组织了
一次冰雪运动趣味知识竞赛，并对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶，现将
100名喜爱冰雪运动的学生参赛成绩制成如下频率分布表，若第三组与第五组的频之和是第一组的6倍，
试回答以下问题；
成绩分组 （50，60] （60，70] （70，80] （80，90] （90，100]
频率 b 0.26 a 0.18 0.06
(1)求表中a，b的值及受奖励的分数线的估计值：
(2)如果规定竞赛成绩在（80，90]为“良好”，竟赛成绩在（90，100]为“优秀”，从受奖励的15名学生
中利用分层抽样抽取5人，现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个“优秀”的概率.
21．（12分）如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△VAC，△ABC都是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝VC，M，N分别为VA，VB的中点．
(1)求证：AB//平面CMN；
(2)求证：AB⊥平面VBC．
22.（12分）为了提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩X 人数
2
a
22
b
28
a
(1)求a，b的值，并补全频率分布直方图；
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)以频率估计概率，若，社区获得“反诈先进社区”称号，
若，社区获得“反诈先锋社区”称号，
试判断该社区可获得哪种称号（s为竞赛成绩标准差）？2021-2022学年高一年级第二学期期末考试试卷
考试时间：120分钟 分值：150分 考试范围：人教A版必修二
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
2．小明10次周测的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则他
这10次成绩的50%分位数为
A．88.5 B．89 C．91 D．87.5
【答案】D
【解析】该学生10次的英语成绩从小到大分别为84，85，86,86,87，88，88，89，89，91.
又，这10次成绩的50%分位数为.故选：D.
3．在空间中，下列说法正确的是
A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直
C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；
平行于同一平面的两条直线平行的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；
根据线面垂直的性质可知：D正确；故选：D．
4．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A
与事件B的关系是
A．A B B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
【答案】B
【解析】A＝{出现的点数不大于3}={出现的点数为1,2,3}，B＝{出现的点数为偶数}={出现的点数为2,4,6}
则A∩B＝{出现的点数为2},故B正确; A错误；因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C,D错误，故选：B
5．在中，其内角的对边分别为，已知，，，则边长
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，由正弦定理得：.故选：C.
6．在学校“科技文化艺术节”期间，小华同学设计了一款香囊，它是由6个边长为6cm的全等
正三角形拼接而成的六面体（如图），那么香囊内可供填充的容量约为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为6cm的正四面体拼接而成，
如图，正四面体棱长为6cm，O为正的中心，连接OC，OD，
则正的半径，正四面体的高，
于是得，所以这个六面体香囊内可供填充的容量约为.故选：C
7．将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体中有两个面涂有红色的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，两面有红色的正方体共有24个，三面是红色的正方体有8个，共32个，
故至少由两面是红色的正方体的概率为： ；故选：A.
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地：总体均值为，总体方差为 B．乙地：总体均值为，中位数为
C．丙地：总体均值为，总体方差大于 D．丁地：中位数为，总体方差为
【答案】A
【解析】对于A，假设至少有一天的疑似病例超过人，此时方差，这与题设矛盾，所以假设不成立，故A正确；对于B，平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过人，故B不正确；
对于C，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故C错误；
对于D，中位数为，总体方差为，如，平均数为，方差，满足题意，但是存在大于的数，故D错误.故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，，，，则
A. B.
C. D. 与夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】对A，，故A正确；
对B，，，因为，故B错误；
对C，因为，，故，故C正确；
对D，．故D正确，故选：ACD
10．甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则
A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为
C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为
【答案】ACD
【解析】用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则：
A．根据概率公式有：
B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率
C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为
D．所求概率为，故选：ACD
11.在中，下列说法正确的有
A．若，则一定是等边三角形.
B．若，则是钝角三角形.
C．若，则一定是等腰三角形.
D．若，，，则符合条件的有且只有一解.
【答案】ABD
【解析】对于A，在中，由正弦定理得，，因为，所以代入化简得，又因为，所以，所以一定是等边三角形，故A正确.对于B，在中，由正弦定理得，，因为，所以，在中，由余弦定理得，，因为，所以，所以是钝角三角形，故B正确.对于C，在中，由正弦定理得，，因为，所以，所以，即，因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误.对于D，因为，，，所以，所以符合条件的有且只有一解，故D正确.故选：ABD
12. 如图，在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，，则下列说法错误的是
A.圆锥的体积为 B.平面PAC
C.PA⊥平面PBC D.在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为.
【答案】ABD
【解析】易得，圆锥的底面半径，高，，A错误；显然BE与AC不平行，所以BE与平面PAC不平行，B错误；，根据勾股定理得△PAB，△PAC均为直角三角形，，从而易得PA⊥平面PBC，C正确；将该圆锥展开为扇形，其同心角，则扇形ABD的圆心角为，故最短距离显然不为，D错误.故答案为：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知复数，则______．
【答案】
【解析】，故
14.已知向量的夹角为，，则_________．
【答案】
【解析】，.
15．已知直线不在，内给出下列三个论断：①；②；③；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.（用序号作答，例如：）
【答案】①②③或①③②；
【解析】解：因为直线不在，，若，，则；
或若，，则．故答案为：①②③或①③②.
16.已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积为___________.（参考公式：）
【答案】
【解析】四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内,
所以球心为正方形的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.
此时四棱锥为正四棱锥.设球的半径为，则,
，为等边三角形，则
所以此四棱锥的表面积为
所以，因此球的体积.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求.
【答案】
【解析】连接、，在四棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
所以，异面直线和所成的角为，
因为四边形、均为矩形，则，，
在菱形中，，，
由余弦定理可得，
设，则，
因为，由勾股定理可得，即，解得.
18.（12分）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”.
（1）写出该试验的样本空间，并求事件发生的概率；
（2）求事件发生的概率；
（3）事件与事件至少有一个发生的概率.
【答案】（1）样本空间见解析，；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）用列举法列举出所有的基本事件,利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率；
（2）根据（1）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.；
（3）解法一：根据（1）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.方法二：解法二：、互斥，由计算即可得解.
【详解】
解：（1）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
，共有36个样本点，
它们是等可能的，故这是个古典概型.
，共5个样本点，
∴事件发生的概率为.
（2），
共12个样本点.
∴事件发生的概率.
（3）事件与事件至少有一个发生，即事件，
，共17个样本点，
∴事件与事件至少有一个发生的概率为.
解法二：因为、不可能同时发生，即、互斥，
所以.
19.（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)当时，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【解析】 (1)解：由，即，
，
又，故；
(2)解：由（1）知，，
∴．
由余弦定理得，
即，当且仅当时等号成立，
∴，
∴面积的最大值为．
20．（12分）2022年2月北京冬奥会的成功举办，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某校体育组组织了
一次冰雪运动趣味知识竞赛，并对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶，现将
100名喜爱冰雪运动的学生参赛成绩制成如下频率分布表，若第三组与第五组的频之和是第一组的6倍，
试回答以下问题；
成绩分组 （50，60] （60，70] （70，80] （80，90] （90，100]
频率 b 0.26 a 0.18 0.06
(1)求表中a，b的值及受奖励的分数线的估计值：
(2)如果规定竞赛成绩在（80，90]为“良好”，竟赛成绩在（90，100]为“优秀”，从受奖励的15名学生
中利用分层抽样抽取5人，现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个“优秀”的概率.
【答案】(1)，估计值为85；(2)
【解析】 (1)，∴
竞赛成绩在[90，100]分的人数为，
竞赛成绩在[80，90）的人数为，故受奖励分数线在[80，90）之间，
设受奖励分数线为x，则
解得，故受奖励分数线的估计值为85.
(2)由（1）知，受奖励的15人中，分数在[85，90]的人数为9，分数在（90，100]的人数为6，
利用分层抽样，可知分数在[85，90]的抽取3人，分数在（90，100]的抽取2人，
设分数在（90，100]的2人分别为，，分数在[85，90]的3人分别为，，，所有
的可能情况有（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），共10种，
满足条件的情况有（，），（，），（，），（，），（，），（，）共6种，
故所求的概率为.
21．（12分）如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△VAC，△ABC都是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝VC，M，N分别为VA，VB的中点．
(1)求证：AB//平面CMN；
(2)求证：AB⊥平面VBC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)∵M，N分别为VA，VB的中点，
∴MN//AB，
∵平面CMN，MN平面CMN，
∴AB//平面CMN．
(2)∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，
AB＝BC，AC＝CV＝2，M，N分别为VA，VB的中点．
∴AB⊥BC，VC⊥AC，
∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，
∴VC⊥平面ABC，
∵AB 平面ABC，
∴AB⊥VC．
∵BC∩VC＝C，
∴AB⊥平面VBC．
22.（12分）为了提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩X 人数
2
a
22
b
28
a
(1)求a，b的值，并补全频率分布直方图；
(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)以频率估计概率，若，社区获得“反诈先进社区”称号，
若，社区获得“反诈先锋社区”称号，
试判断该社区可获得哪种称号（s为竞赛成绩标准差）？
【答案】(1)；，图见解析；(2)75，100
(3)该社区可获得“反诈先进社区”称号
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图与频率分布表求出、的值，从而补全频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图中平均数与方差公式计算可得；
（3）根据频率分布直方图求出，即可判断；
(1)解：由题可知：，，
所以100名居民竞赛成绩在组内频率/组距为，
补全频率分布直方图如下：
(2)解：估计该社区居民竞赛成绩的平均数
，
估计该社区居民竞赛成绩的方差
(3)解：由（1）可得，
所以
∵
所以该社区可获得“反诈先进社区”称号．

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