资源简介

厦门市 2021-2022 学年度第二学期高一年级质量检测
数学试题参考答案与评分标准
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1． B 2． B 3． B 4．C 5． A 6． A 7．D 8． B
题源：1．教材 P95 复习参考题 7； 2．教材 P181 问题 3；
3．教材 P242 练习 1； 4．教材 P106 习题 8.1-6；
5．教材 P148 练习 3； 6．教材 P26 例 1；
7．教材 P233 练习-2；教材 P250 习题 10.2-1；
8．教材 P54 习题 6.4-17
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9． ACD 10． AD 11． BD 12． ABD
题源：9．教材 P199； 10．教材 P18；
11．教材 P80 练习 4-2； 12．教材 P119 练习-1．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
113． 2 14．若 a ，b ，则 a∥b 15． ,2

16． 28
2
注：14 题的可能答案还有：（ⅰ）若 a ，b∥ ，则 a b；
（ⅱ）若 a∥ ，b ，则 a b；
（ⅲ）若 a∥b， b，则 a ；
（ⅳ）若b∥a， a，则b ．
题源：13．教材 P69 例 1； 14．教材 P171 复习参考题 8-15；
15．教材 P54 习题 6.4-16； 16．教材 P212 例 6
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本题考查平面向量基本定理，向量的线性运算，向量的数量积等知识；考查推理论证能
力和运算求解能力；考查化归与转化、数形结合等数学思想．本题满分 10 分．（题源：
教材 P37 习题 6 .3 -11）
（1）解：因为BC AC AB e1 6e2 2e1 3 e1 2e2 ． --------------------- 1 分
2
由 BC 3 7 知 BC 63，即
2 2 2 3 e1 2e 2 9 e1 4e1 e2 4e2 9 5 4e1 e2 63，
1
解得 e1 e2 ， ---------------------------------------------------------------------------- 3 分 2
e1 e2 1
所以 cos e1,e2 ，
e1 e 22
π
因为 e1,e2 0,π ，所以 e ， e 的夹角为 ． ------------------------------------ 51 2 分 3

（2）解：由题意知DC 2BD，即 AC AD 2 AD AB ，化简得
1 1 AD 2AB AC 4e1 e1 6e2 e1 2e2 ， ---------------------------- 7 分 3 3
2 1
所以 AD AB e1 2e2 2e1 2 e1 2e1 e2 2 1 2 0 ． ---------- 9 分
2
又因为 AD， AB均为非零向量，所以 AD AB，所以 AD AB． ------- 10 分
高一数学试题答案 第1页（共 6 页）
18．本题考查空间几何体结构特征、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、棱锥
的体积等基本知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数
形结合等数学思想．本题满分 12 分．（题源：教材 P140 例 4；P138 例 3）
（1）解：连接 B1E ，D1E和 B1D1，则平面 B1D1E为平面 ． ------------------------- 2 分
在正方体 AC1 中，因为 BB1∥DD1 ， BB1 DD1，所以四边形 BB1D1D为平行四边
形，所以 B1D1∥BD．
又因为 B1D1 平面 BDF ， BD 平面 BDF ，所以 B1D1∥平面 BDF ． ----- 3 分
取 BB1的中点H ，连接 EH ，C1H ，因为 EH∥A1B1， EH A1B1，C1D1∥A1B1，
C1D1 A1B1，所以四边形C1D1EH 为平行四边形，所以D1E∥C1H ．
1
又因为 BH∥C1F ， BH C BHC F1F BB1 ，所以四边形 1 为平行四边形，所以 2
C1H∥BF，所以D1E∥BF ．
又D1E 平面 BDF ， BF 平面 BDF ，所以D1E∥平面 BDF ． ------------ 5 分
又因为D1E B1D1 D1，D1E,B1D1 平面 ，所以平面 ∥平面 BDF ． -- 6 分
D1 C1 D1 C1
B1 B1
A1 A1
F F
E H E
D C D C
A B A B
（2）解：由（1）知平面 ∥平面 BDF ，所以平面 内的点 B1 到平面 BDF 的距离等
于平面 到平面 BDF 的距离，设距离为 d ． --------------------------------------- 7 分
因为DC 平面 BB1C1C，所以三棱锥D BB1F 的高即为DC．
1 2 2 1
因为 S△BDF 2 2 5 2 6 ， S△BB 2 2 2 ， ------- 9 分 2 1F 2
DC S
V V 1 1 d △BB1F 又 B1 BDF D BB F ，所以 d S△BDF DC S ，所以 ． 1 3 3 △BB1F S△BDF
------------------------------------------------------------------------------------------------ 11 分
2 2 2 6
即 d ． -------------------------------------------------------------------- 12 分
6 3
19．本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、用样本估计总体等知识；考查推理论证、
运算求解、数据处理等数学能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想．本题满分
12 分．（题源：教材 P202 例 3；P206）
（1）解：由频率分布直方图知年最大洪峰流量在区间 10,20 ， 20,30 ， 30,40 ，
50,60 上的频率分别为10 0.008 0.08 ，10 0.020 0.2 ，10 0.044 0.44 ，
10 0.004 0.04， ------------------------------------------------------------------------- 2 分
所以年最大洪峰流量在区间 40,50 的频率为1 0.08 0.2 0.44 0.04 0.24 ．
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 分
所以频率分布直方图中缺失的小矩形的高度为0.24 10 0.024 ． ------------ 4 分
补齐频率分布直方图如下：
高一数学试题答案 第2页（共 6 页）
频率
组距
0.044
0.040
0.036
0.032
0.028
0.024 ------- 5 分
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
O 10 20 30 40 50 60年最大洪峰流量/100m3 s-1
所以 x 15 0.08 25 0.2 35 0.44 45 0.24 55 0.04
1.2 5 15.4 10.8 2.2 34.6． -------------------------------------------- 7 分
（2）解：设水坝能承受的最大洪峰流量的最小值为a．
1 1
由题意知T 50 ，所以 p 0.02，即要求年最大洪峰流量大于a的概率
p 50
小于等于0.02 ． ---------------------------------------------------------------------------- 8 分
所以可由样本的98% 分位数作为 a的估计值． ------------------------------------- 9 分
由频率分布方图可知年最大洪峰流量在区间 50,60 的频率为 0.04 ，所以样本的
98% 分位数在 50,60 内． ------------------------------------------------------------- 10 分
设样本的98% 分位数为m，由1 0.004 60 m 0.98，得m 55． --- 11 分
所以样本的98% 分位数的估计值为55．
所以， a的估计值为55（单位：100m3 s 1）． ----------------------------------- 12 分
20．本题考查空间中点、线、面之间的位置关系，线面角、二面角等数学知识；考查运算求
解、推理论证、空间想象等数学能力；考查转化与化归，数形结合等数学思想．（题源：
教材 P155 练习-3；P171 复习参考题 8-13）
（1）证明：取 BC中点M ，连接 AM ， B1M ．
因为 B1C1∥MC且 B1C1 MC ，
所以四边形MCC1B1为平行四边形， --------------------------------------------------- 1 分
所以 B1M∥CC1 且 B1M =CC1 ． ---------------------------------------------------------- 2 分
又 BC CC1，所以 BC B1M ． ------------------------------------------------------- 3 分
因为 AB AC ，MB MC，所以 BC AM ． ------------------------------------ 4 分
又 AM B1M M ， AM ,B1M 平面 AB1M ，所以 BC 平面 AMB1 ． ---- 5 分
因为 AB1 平面 AMB1 ，所以 AB1 BC． ------------------------------------------- 6 分
A1 C1
B1
H
A C
M
B
（2）解：由（1）可知 B1MA为二面角C1 BC A的平面角，即 B1MA 60 ．
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 分
设 AB 2a，则 AM B1M CC1 3a，所以△AMB1为等边三角形．
所以 B1C1 a， AB 3a． ------------------------------------------------------------ 8 1 分
高一数学试题答案 第3页（共 6 页）
取 B1M 的中点H ，连接 AH ，C1H ，则 AH B1M ．
由（1）可知 BC 平面 AMB1 ， AH 平面 AMB1 ，从而 AH BC．
又 BC B1M B， BC,B1M 平面 BCC1B1 ，所以 AH 平面 BCC1B1 ． --- 9 分
所以 AC1H 为直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成的角． ----------------------------- 10 分
因为 BC AB1 ， BC∥B1C1 ，所以 B1C1 AB1．
2
所以 AC 3a a2 2a． ------------------------------------------------------ 11 分 1
3 AH 3
又 AH AM sin 60 a，在 Rt△AHC 中， sin AC H 1 1 ．
2 AC1 4
3
所以直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 ．
4
------------------------------------------------------------------------------------------------ 12 分
21．本题考查样本空间、古典概型、概率的基本性质、事件的相互独立性等数学知识；考查
逻辑推理、运算求解等数学能力；考查化归与转化、分类讨论等数学思想．本题满分
12 分（题源：教材 P235 例 8；P249 例 3）
（1）解：记M “小明在第一轮得40 分”，小明能答对的 A类的 4个问题记为 a1，a2 ，
a3 ，a4 ，不能答对的 A类的1个问题记为b，则样本空间为 a1,a2 , a1 ,a3 ,
a1,a4 , a1,b , a2 ,a3 , a2 ,a4 , a2 ,b , a3 ,a4 , a3 ,b , a4 ,b ，共有10 个样本点．
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 分
M 所包含的基本事件为M a1,a2 , a1,a3 , a1,a4 , a2 ,a3 , a2 ,a4 , a3 ,a4 ，
共有6个样本点； -------------------------------------------------------------------------- 3 分
因为 A类问题中的每个问题被抽到的可能性相等，所以这是一个古典概型．
6
所以 P M 0.6 ，即小明在第一轮得 40 分的概率为0.6． --------------- 4 分
10
（2）解：记M i “第二轮比赛小明恰好答对 B类的 i个问题”， i 1,2；
N “小芳在第一轮得 40 分”；
Ni “第二轮比赛小芳恰好答对 B类的 i个问题”， i 1,2．
根据独立性假设P M1 0.4 0.6 0.6 0.4 0.48 ， P M 2 0.4 0.4 0.16．
且 P N 0.5 0.5 0.25， P N1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5，
P N2 0.5 0.5 0.25． --------------------------------------------------------------- 6 分
记G “小明晋级复赛”，H “小芳晋级复赛”，则G MM1 MM 2 MM 2 ，
H NN1 NN2 NN2 ，且MM1，MM 2 ，MM 2 两两互斥，NN1 ，NN2 ，NN 2
两两互斥，M 与M1，M 与M 2 ，M 与M 2 ， N 与N1，N 与 N2 ，N 与 N2 分别
相互独立．
且 P M 1 P M 0.4 ， P N 1 P N 1 0.25 0.75． -------------- 7 分
所以 P G P MM1 P MM 2 P MM 2
P M P M1 P M P M 2 P M P M 2 ，
0.6 0.48 0.6 0.16 0.4 0.16 0.448． -------------------------- 9 分
P H P NN1 P NN2 P NN2
P N P N1 P N P N2 P N P N2 ，
0.25 0.5 0.25 0.25 0.75 0.25 0.375． -------------------------- 11 分
因为0.448 0.375，所以小明更容易晋级复赛． --------------------------------- 12 分
高一数学试题答案 第4页（共 6 页）
22．本题考查正弦定理、余弦定理等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查
数形结合、化归与转化、分类讨论等数学思想．本题满分 12 分．（题源：教材 P54 习
题 6.4-22）
（1）解：因为acosC 3asinC b c 0 ，由正弦定理及 A B C 180 知，
sin AcosC 3 sin AsinC sin B sinC 0，
即 sin AcosC 3 sin AsinC sin A C sinC 0 ，
即 sin AcosC 3 sin AsinC sin AcosC cos AsinC sinC 0 ，
1
由 sinC 0 化简得 3sin A cos A 1，即 sin A 30 ， ------------------ 3 分
2
又 A 0 ,180 ，所以 A 60 ． ------------------------------------------------------ 4 分
ABC中，由余弦定理，a2 b2 c2 2bccos A，所以 c2 3c 18 0 ，
即 c 3 3 c 2 3 0，解得 c 3 3 （负值舍去）． ------------------------- 5 分
3
（2）解：由 S DE 2 7 3 ，得DE的最大值为 2 7 ． DEF 4
如图，设 DAC ，因为 E D 60 ，
所以 ACD EAB 120 ，所以 EBA ．
E
A
B
F C D
AD b 3sin 120
△ACD中，由正弦定理
sin 120 ，即 ． sin 60 AD sin 60
AE c csin
△ABE中，由正弦定理 ，所以 AE ． ----------------- 7 分
sin sin 60 sin 60
3sin 120
csin 所以DE AD AE
sin 60 sin 60
2 2
2 3 3 2 3 3
cos c sin c sin ． 3 2 2

3 2

2
3
2
其中 tan ，且 0 ,90 ． --------------------------------------------- 9 分
3
c
2
下面证明：无论 c取何值，总存在一个 ，使得 90 ．
因为 DAC EBA ， ACD EAB 120 ，
所以 FBC 180 ABC ABE 180 B ，
所以 FCB 180 ACB ACD 180 C 120 C 60 ．
又因为点 A， B，C 分别在等边△DEF 的边DE， EF ， FD上（不含端点），
所以 DAC ， EBA， ACD， EAB， FBC， FCB都大于0 ，
0 , 0 ,

120 0 , 120 ,
所以 ，即 ①．
180

B 0 , 180 B,
C 60 0 C 60
（ⅰ）当 c b 3 时，C B，又因为 B C 120 ，
高一数学试题答案 第5页（共 6 页）
所以60 C 120 ， 0 B 60 . 所以C 60 0 ，180 B 120 ．
所以①式可化为C 60 120 ，所以 C 60 , 120 ．
3 3
2 2 1
又因为 tan ，所以 0 ,30 ．
3 3 3
c 3
2 2
又C 60 90 ， 120 90 ，所以90 C 60 , 120 ．
------------------------------------------------------------------------------------------------ 10 分
（ⅱ）当 c b 3 时，C B，又因为 B C 120 ，
所以60 B 120 ， 0 C 60 ，所以C 60 0 ，180 B 120 .
所以①式可化为0 180 B，
所以 ,180 B .
3 3 3 3
2 2 1 又因为 tan 且 tan 2 2 3 ，
3 3 3 3 3
c 3 c
2 2 2 2
所以 30 ,60 ，所以180 B 60 30 90 .
所以90 ,180 B ． ---------------------------------------------------------- 11 分
2 2
2 3 3
所以当 90 时， DE
max 3 2
c 2 7 ，
2


得 c 2 3 ，此时满足（ⅰ）． -------------------------------------------------------- 12 分
高一数学试题答案 第6页（共 6 页）厦门市 2021-2022 学年度第二学期高一年级质量检测
数学试题
满分：150 分 考试时间：120 分钟
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若 z 1 i i ，则 z =
1 2
A． B． C． 2 D． 2
2 2
2．一个志愿者组织有男志愿者120人，女志愿者180人，按性别进行分层，用分层随机抽
样的方法从中抽取一个容量为50的样本．如果样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的
人数是
A．10 B． 20 C．30 D． 40
3．已知 P A 0.5， P B 0.3， P AB 0.2 ，则 P A B
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1
4．下列正确的是
A．过球面上两点与球心有且只有一个平面
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
5．正四面体 A BCD中，M 为棱 AD的中点，则直线 AB与CM 所成角的余弦值为
3 11 3 33
A． B． C． D．
6 11 3 6
6．在△ABC 中，点D在边 BC上，M 是 AD的中点，若 BM AB AC , R ，
则
1 1
A． B． 2 C． D． 2
2 2
7．抛掷一枚质地均匀的骰子 2 次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是 2 ”，乙表
示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5 ”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和
是 7 ”，则
A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙相互独立
8．记△ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为 a， b， c，若 c 1， acosB 2sinC，
1
cos Asin B ，则△ABC 外接圆的半径为
8
A．1 B． 2 C．3 D． 4
高一数学试题 第1页（共 4 页）
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．我省高考采用“ 3 1 2 ”模式，语文、数学、外语是必选科目，物理和历史必选一科，
化学、生物、思想政治、地理四个科目选择两科．现统计甲、乙两名学生高一年六个科
目的学年成绩如下图所示，则 化学 100思想政治
A．甲六科学年成绩比乙均衡 90
B．甲、乙六科学年成绩均在 70 分以上 80
C．从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组 70
60
D．甲、乙六科学 年成绩超过90分的科目数量相同 物理 历史
10．若 a 2,0 ，b 1, 3 ，则

A． a b 2
B． |a b|=|a b|
π 生物 地理
C． a与b的夹角为
6 甲 乙
1
D．b在 a方向上的投影向量为 a
（第 9题图）
2
11．已知复数 z1 ， z2 是方程 x
2 x 1 0 的两根，则
1
A． z1 z2 1 B． z
2
1 z2 1 C． z z D1 2 ． z1 R z1
12．如图，圆台O1O2 中，母线 AB与下底面所成的角为60 ， BC为上底面直径，
O2A 6O1B 6 ，则 OB 1 C
A．圆台的母线长为10
B．圆台的侧面积为70π
C．由点 A出发沿侧面到达C 的最短距离是 2 37
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的 A
棱长最大值是4 O2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 （第 12 题图）
13 2 2．若复数 z m 5m 6 m 3m i 是纯虚数，则实数m = ▲ ．
14．从直线 a，b和平面 这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行或
垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系．
写出一个满足题意的真命题：若 ▲ ，则 ▲ ．
15．记锐角△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a，b， c，且
sinBsinC cos2 B sin2 C cos2 A，
BE
若 BE，CF 是△ABC 的两条高，则 的取值范围是 ▲ ．
CF
16．某电池厂有 A， B两条生产线制造同一型号可充电电池．现采用样本量比例分配的分
层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均
值及方差，结果如下：
项目 抽取成品数 样本均值 样本方差
A生产线产品 8 210 4
B生产线产品 12 200 4
则 20 个产品组成的总样本的方差为 ▲ ．
高一数学试题 第2页（共 4 页）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）

已知 e ， e 是两个单位向量， AB 2e ， AC e 6e ，且 BC 3 7 ． 1 2 1 1 2
（1）求 e1 ， e2 的夹角；
（2）若D为线段 BC上一点，DC 2BD，求证： AD AB．
18．（12 分）
如图，棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别是棱 AA1，CC1的中点，过
E 作平面 ，使得 ∥平面 BDF ．
（1）作出 截正方体 ABCD A1B1C1D1 所得的截面，写出作图过程并说明理由；
（2）求平面 与平面 BDF 的距离．
D1 C1
B1
A1
F
E
D C
A B
19．（12 分）
防洪是修建水坝的重要目的之一．现查阅一条河流在某个水文站50年的年最大洪峰流
量（单位：100m3 s 1）的记录，统计得到如下部分频率分布直方图：
频率
组距
0.044
0.040
0.036
0.032
0.028
0.024
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
O 10 20 30 40 50 60年最大洪峰流量/100m3 s-1
记年最大洪峰流量大于某个数的概率为 p，则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为
1 p．定义重现期（单位：年）为概率的倒数．规定：当 p 50% 时，用 p报告洪水，
1 1
即洪水的重现期T ；当 p 50% 时，用1 p报告枯水，即枯水的重现期T ．如
p 1 p
1
p ，则报告洪水，重现期T 100 （年），通俗的说法就是“百年一遇”．
100
（1）补齐频率分布直方图（用阴影表示），并估计该河流年最大洪峰流量的平均值 x
（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五．十．年．一．遇．的洪水．用频率估计概率，
求它能承受的最大洪峰流量（单位：100m3 s 1）的最小值的估计值．
高一数学试题 第3页（共 4 页）
20．（12 分）
如图，三棱台 A1B1C1 ABC中， BC CC1， AB BC CA 2B1C1 ，CC1 3B1C 1．
（1）求证： AB1 BC；
（2）若二面角C1 BC A的平面角为 60 ，求直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦
值．
A1 C1
B1
A C
B
21．（12 分）
某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从 A类的5个问题中任选
两题作答，若两题都答对，则得 40 分，否则得 0分；第二轮从 B类的5 个问题中选两
题作答，每答对1题得30分，答错得0分．如果两轮总积分不低于60 分则晋级复赛．
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在 A类的5个问题中，
小明只能答对 4个问题；在 B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他
们回答任一问题正确与否互不影响．
（1）求小明在第一轮得 40 分的概率；
（2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
22．（12 分）
记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosC 3asinC b c 0 ，
b 3 .
（1）若 a 21 ，求 c；
（2）点 A，B，C 分别在等边△DEF 的边DE，EF ，FD上（不含端点）．若△DEF
面积的最大值为7 3 ，求 c．
高一数学试题 第4页（共 4 页）

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