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人教版2022年九年级上册数学名师精选分层作业题 05
21.2 第5课时 根与系数的关系
姓名：___________ 班级：___________ 用时：___________
基础达标题
1．已知α、β是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则α+β的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．已知方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1和x2，则x1x2的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　）
A．2022 B．﹣2022 C．2020 D．﹣2020
4．方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2，x1 x2＝1 B．x1+x2＝2，x1 x2＝﹣1
C．x1+x2＝﹣2，x1 x2＝﹣1 D．x1+x2＝﹣2，x1 x2＝1
5．若关于x的一元二次方程x2+2kx﹣3＝0的一个根为x＝﹣1，则这个方程的另一根为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝﹣2
6．方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 　 　，积为 　 　．
7．若方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c为常数且a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．（用a，b，c表示）
8．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．
能力提升题
9．已知α，β是方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）
A．﹣7 B．25 C．17 D．1
10．已知a、b分别是一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
11．关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
12．若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
13．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是 　 　．
14．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣6＝0的两个根，则x1 x2﹣x1﹣x2＝　 　．
15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 　 　．
16．设a、b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，则a3+2022b﹣2021＝　 　．
17．已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．
18．已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1 x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
培优拓展题
19．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝　 　．
20．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　 　．
21．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，求
（1）+的值．
（2）（x1﹣1）（x2﹣1）的值．
22．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
参考答案
一．基础达标题（共8小题）
1．【解答】解：∵α、β是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣＝1．
故选：C．
2．【解答】解：根据根与系数的关系得，x1x2＝＝﹣1．
故选：B．
3．【解答】解：根据题意，得a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴a+b﹣ab＝1+2021＝2022，
故选：A．
4．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1．
故选：C．
5．【解答】解：设这个方程的另一个根为x2，
根据题意，可得﹣x2＝﹣3，
解得x2＝3，
∴这个方程的另一个根为x＝3，
故选：A．
6．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．
故答案为：3，2．
7．【解答】解：∵x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．
故答案为：﹣；．
8．【解答】解：（1）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，
∴Δ＝32﹣4（m﹣1）＝13﹣4m≥0，
解得：m≤．
（2）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1．
∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0，即﹣6+（m﹣1）+10＝0，
∴m＝﹣3．
二．试题（共10小题）
9．【解答】解：∵α，β是方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣3，α β＝﹣8，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α β＝（﹣3）2﹣2×（﹣8）＝9+16＝25．
故选：B．
10．【解答】解：根据题意，可知a+b＝﹣4，ab＝﹣5，
∴＝＝，
故选：B．
11．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣x﹣2﹣p2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣2﹣p2）＝4p2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
设方程的两个分别为x1，x2，
根据根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，
∴方程有一个正根和一个负根．
故选：C．
12．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
13．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，
而x1+x2＝﹣3，
所以m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣6＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣6，
∴x1 x2﹣x1﹣x2＝x1 x2﹣（x1+x2）＝﹣6﹣（﹣3）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
16．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，
∴a2＝a+2021，a+b＝1，
∴a3+2022b﹣2021
＝a（a+2021）+2022b﹣2021
＝a2+2021a+2022b﹣2021
＝a+2021+2021a+2022b﹣2021
＝2022（a+b）
＝2022×1
＝2022．
故答案为：2022．
17．【解答】（1）证明：Δ＝52﹣4（﹣p2）＝25+4p2，
∵无论p取何值时，总有p2≥0，
∴25+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意可得x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣p2，
∵x1+x2＝x1x2，
∴﹣5＝﹣p2，
∴p＝±．
18．【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx （m+n）＝0，
∴m≠0，Δ＝n2 4m×[ （m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴该方程有两个实数根．
（2）将n＝1代入方程mx2+nx （m+n）＝0，得mx2+x （m+1）＝0，
∵方程的两根x1，x2满足x1 x2＞1，
∴x1 x2＝＞1，
当m＜0时，可得＜m＜0，
即m的取值范围是＜m＜0．
三．培优拓展题（共4小题）
19．【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
20．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝52＝25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝2（m+1），2AO 2BO＝8m，
∴AO+BO＝m+1，AO BO＝2m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝25，
∴（m+1）2﹣4m＝25，
解得：m1＝6，m2＝﹣4，
∴当m＝﹣4时，AO BO＝﹣8＜0，不符合题意，舍去，
即m＝6，
则AO BO＝12，AC BD＝2AO 2BO＝4AO BO＝48，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB DH＝AC BD，
∴5DH＝，
∴DH＝．
故答案为：．
21．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
（1）原式＝＝﹣．
（2）原式＝x1x2﹣（x1+x2）+1
＝﹣3﹣2+1
＝﹣4
22．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴
＝
＝
＝
＝；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s，与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），
（s﹣t）2＝，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．
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