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人教A版（2019）必修第一册 3.1 函数的概念及其表示 同步练习
一、单选题
1．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．如下图可作为函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数定义域为（ ）
A．[2，+∞) B．(2，+∞)
C．(2，3)∪(3，+∞) D．[2，3)∪(3，+∞)
4．已知，则（ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
5．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
6．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
9．定义新运算“☆”：，则下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．与命题“函数的定义域为”等价的命题不是（ ）
A．不等式对任意实数恒成立
B．不存在，使
C．函数的值域是的子集
D．函数的最小值大于0
12．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的定义城是______．
14．函数的定义域是______.
15．函数在上的值域是_____.
16．定义在上的函数满足，且当时，，若当时，，则的最小值是___________.
三、解答题
17．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式，
18．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由．
19．已知函数，，．
（1）在图中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
20．已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
21．设函数的定义域为集合，函数的值域为集合．若，求实数的取值范围．
参考答案：
1．D
化简函数解析式，即可得出合适的选项.
【详解】
因为，故函数的图象如D选项中的图象.
故选：D.
2．D
根据函数的概念，进行判定，即可求解.
【详解】
根据函数的概念，可知对任意的值，有唯一的值相对应，
结合选项，可得只有选项D可作为函数的图象.
故选：D.
3．C
要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.
【详解】
要使函数有意义，
则，解得且，
所以的定义域为.
故选：C.
具体函数定义域的常见类型：
（1）分式型函数，分母不为零；
（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；
（3）对数型函数，真数大于零；
（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；
（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.
4．C
利用拼凑法求出解析式，即可得出所求.
【详解】
，
，
.
故选：C.
5．D
根据，利用整体思想求出的解析式，求得，从而即求出．
【详解】
解：因为，
所以，
，
所以.
故选：D．
6．B
令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解.
【详解】
令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
7．B
根据题意，令，求出的值，再计算对应的值．
【详解】
，且（a），
令，
解得，
．
故选：B．
本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
8．C
解不等式组得出定义域.
【详解】
，解得
即函数的定义域
故选：C
9．C
根据分段函数新定义计算，判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
因为，
对于A：，故选项A正确；
对于B：和都等于、中较小的数的2倍减去较大的数，所以，故选项B正确；
对于C：
，故选项C不正确；
对于D：
，故选项D正确；
故选：C.
10．C
作出，在上的图象，当的图象在的图象的上方时，分析此时的取值范围即可.
【详解】
作出，在上的图象如下图所示：

因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合），
且，令，所以，所以，
根据图象可知：当经过点时，有最小值，，
当经过点时，有最大值，，
综上可知的取值范围是，
故选：C.
关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
11．D
利用等价命题的定义进行分析判断即可.
【详解】
因为函数的定义域为，
不等式对任意实数恒成立；
不存在，使；
函数的值域是的子集；
函数的最小值大于等于；
故选：D.
12．D
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
13．
根据分母不为零，且偶次方根的被开方数为非负数得到不等式，解得即可.
【详解】
因为，所以，解得或，即函数的定义域为
故答案为：
14．
利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可．
【详解】
要使函数有意义，
则，
解得且，，
故函数的定义域为，
故答案为：．
15．
先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域．
【详解】
解：当时，函数 在上是增函数，
故当时，函数取得最小值为1，
又，故函数的值域为，
故答案为：．
16．
根据已知条件分别求出，，的解析式，再作出函数的图象，数形结合即可求解.
【详解】
由可得
当时，，，
当时，
，
当时，
，
作出函数的图象如图所示：
时，，令，
解得：或，
当时，恒成立，
当时，，
当时，
所以当时，恒成立，
综上所述：当时，恒成立，
若当时，，则的最小值是，
故答案为：.
17．（1）；（2）.
（1）设，带入已知条件，对应系数相等，求出即可；
（2）换元法求函数的解析式.
【详解】
（1）因为是一次函数，所以设，又因为，所以，整理得，故，解得，所以;
（2）令，则，所以，即.
18．答案见解析.
根据函数的定义即可求解.
【详解】
根据函数的定义可知，每一个圆周率小数点后第n位上的数字是唯一的y，即n对应唯一的y，故y是n的函数.
定义域为，值域为，
对应关系：数位n对应数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
19．（1）图象见解析；（2）；图象见解析.
（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；
（2）根据定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.
【详解】
（1），的图象如下图所示：
（2）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：.
图象如下图所示：
20．（1）；（2）3．
（1）设，，代入求解，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】
（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
21．
根据二次根式有意义条件可求得定义域A,根据二次函数的对称轴及定义域,可求得集合B.由即可求得实数的取值范围.
【详解】
函数,其定义域满足
解不等式可得
所以
则对称轴为,开口向下
所以,
所以
因为
则满足或
解得或
所以实数 的取值范围为
本题考查了函数定义域的求法,二次函数的值域,由集合的交集求参数的取值范围,属于基础题.

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