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第十二章 全等三角形
学时6 利用“ASA”“AAS”判定三角形全等
预习指导：预习教材P39－P41
一、利用“ASA”判定三角形全等
1.方法：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
2.书写格式：如图，在△ABC和△A′B′C′中，
,∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
思考：
三个角对应相等的三角形是否全等？
答：____________________________________________________________
例1如图，已知△ABC和△DAE,D是AC上一点，∠C＝∠E,DE∥AB,DE＝AC,求证：AE＝BC.
二、利用“AAS”判定三角形全等
1.方法：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
2.书写格式：如图，在△ABC和△A′B′C′中，,∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).
思考
在两个三角形中，如果两个角及一条边分别对应相等，那么这两个三角形________(填“一定”或“不一定”)全等.若全等，可用________判定方法证明
例2如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC,DF交AC于点E,DE＝EF.求证：AE＝CE
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1.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，AD⊥BC于点D,则可得到△ABD≌△ACD,理由是 ( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
2.如图，各图中a,b,c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是 ( )
A.甲和乙 B.只有乙 C.甲和丙 D.乙和丙
3.如图，AB＝AC,AD＝AE,BE,CD交于点O,则图中全等的三角形共有 ( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
4.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F,若∠1＝∠2，∠E＝∠C,AE＝AC,
∠ADE＝60°，则∠B＝________。
5.如图，已知∠CAE＝∠BAD,AC＝AD,要证明△ABC≌△AED.
(1)若以“SAS”为依据，还需添加的条件是：____________________；
(2)若以“AAS”为依据，还需添加的条件是：____________________；
(3)若以“ASA”为依据，还需添加的条件是：____________________。
6.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D,BC＝CE.
求证：AC＝CD.
7.如图，AB＝AC,CD∥AB,点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD,延长BE交AD于点F
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)如果∠BAC＝50°，∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数
8.如图，已知EC＝BF,∠A＝∠D,现有下列6个条件：①AC＝DF；②∠B＝∠E；③∠ACB＝∠DFE；④AB∥ED；⑤AB＝ED；⑥DF∥AC.从中选取一个条件，以保证△ABC≌△DEF,则可选择的是 ( )
A.②③④⑥ B.③④⑤⑥ C.①③④⑥ D.①②③④
9.如图，AB＝AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE,CF交于点D,则下列结论中不正确的是 ( )
A.△ABE≌△ACF B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE D.点D是BE的中点
10.如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD,AB＝5,AE＝2,则CE＝________
11.如图，在平面直角坐标系中，有△ABC,现另有一点D满足以A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为________
12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥DF,交AB于点E,连接EG,EF
(1)求证：BG＝CF；
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.
13.如图，在平面直角坐标系中有一点P(5,5),M(0,m)为y轴上任意一点，N为x轴上任意一点，且∠MPN＝90°.
(1)如图①，当m＝5时，OM+ON的值为________
(2)如图②，当0(3)如图③，探索：当m<0时，OM与ON的数量关系为________________。
【参考答案及解析】
学时6 利用“ASA”“AAS”判定三角形全等
【预习指导】
一、思考：不一定.
例1∵DE∥AB,∴∠ADE＝∠BAC.
在△ADE和△BAC中，
,∴△ADE≌△BAC(ASA),∴AE＝BC.
二、思考：一定 ASA或AAS
例2∵AB∥FC,∴∠A＝∠ECF,∠ADE＝∠F
在△ADE和△CFE中，,∴△ADE≌△CFE(AAS).∴AE＝CE.
【预习反馈】
1.C 2.D 3.C 4.60°
5.(1)AB＝AE (2)∠B＝∠E (3)∠C＝∠D
6.∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠BCA＝∠ECD.
在△ABC和△DEC中，,∴△ABC≌△DEC(AAS),∴AC＝CD.
7.(1)∵CD∥AB,∴∠BAE＝∠ACD.∵AB＝CA,∠ABE＝∠CAD,∴△ABE≌△CAD(ASA).
(2)∠BAC＝50°，∠ABE＝∠CAD＝25°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°.ABCD,
∴∠D＝180°－∠BAD＝180°－75°＝105°.
8.A
解析：∵EC＝BF,∴EC+FC＝BF+CF,即EF＝BC.
∵∠A＝∠D,结合②③，可利用AAS证得△ABC≌△DEF.由④AB∥ED可推出②，由⑥DF∥AC可推出
③，所以选②③④⑥，故选A.
9.D
解析：A.∵AB＝AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A＝∠A,∴△ABE≌△ACF(AAS),正确；B.∵△ABE≌△ACF,AB＝AC,∴BF＝CE,∠B＝∠C.CF⊥AB,BE⊥AC,∴∠DFB＝∠DEC＝90°，∴△BDF≌△CDE,∴DF＝DE,故点D在∠BAC的平分线上，正确；由B知C正确；D.无法判定，错误，故选D.
10.3
解析：在△ABE和△ACD中，,∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AD＝AE＝2,AC＝AB＝5,∴CE＝BD＝AB－AD＝3.
11.(－2,－3),(4,3),(4,－3)
解析：点D的可能位置如图所示.
12.(1)∵AC∥BG,∴∠GBD＝∠C.在△GBD与△FCD中，
,∴△GBD≌△FCD(ASA),∴BG＝CF
(2)BE+CF>EF.理由：∵△GBD≌△FCD,∴GD＝FD.
在△GDE与△FDE中,
,∴△GDE≌△FDE(SAS),
∴EG＝EF.∵BE+BG>GE,∴BE+CF>EF.
13.(1)10
(2)当0(3)OM＝ON－10
解析：作PA⊥y轴于A,PB⊥x轴于B,如图②所示.同(2)得△APM≌△BPN(ASA),
∴AM＝BN,∴OM＝AM－OA＝BN－OA＝ON－OB－OA＝ON－10.

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