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第十二章 全等三角形
学时8 角的平分线的性质
预习指导：预习教材P48－P50
一、作已知角的平分线
用尺规作图法作已知角的平分线的步骤：
(1)以点0为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA,OB于D,E两点；
(2)分别以点D,E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
(3)画射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
思考
(1)用尺规作图法作角的平分线是依据________定理构造一对全等的三角形
(2)上面作法的第(2)步中，若在小于。DE的情况下画弧，会出现什么情况？
答：________________________________________________________________________________。
二、角的平分线的性质
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考
利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”还是“垂直于角平分线的线段”？
答：________________________________________________________________________________。
例1如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝2Cm,则点D到直线AB的距离是
________cm.
三、角的平分线的判定
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
思考
角平分线的性质与判定的联系和区别：两个定理是将________和________互换，都是利用两个直角三角形________来证明，但是应用的条件和所依据的定理是不同的
例2如图所示，BE＝CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,求证：AD平分∠BAC.
预习反馈
检验一下你的预习成果！
1.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2,则PQ的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,那么下列结论中不一定正确
的是 ( )
A.DE＝DE B.AE＝AF C.BD＝CD D.∠ADE＝∠ADF
3.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC＝3Cm,那么AE+DE等于 ( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
5.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠AOB＝52°，则∠AOP＝________。
6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AB＝4,AC＝2,且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为________。
7.如图，已知∠ABC,求作∠ABC的平分线BD.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
8.如图，△ABC的角平分线BE,CF相交于点P.求证：点P在∠A的平分线上.
9.如图，在△ABC中，∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P,若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
10.如图，已知△ABC的面积是26，AB+AC＝20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD＝2,则BC的长是 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
11.如图，已知PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA＝PB,∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝°________.
12.如图，ABCD,O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E,且OE＝4,则两平行线间的距离为________。
13.如图，OD平分∠AOB,OA＝OB,P是OD上一点，PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N
求证：PM＝PN.
14.小明家有一块三角形的土地，如图所示，其三边长AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案.
15.(1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,请证明相等关系：DE＝DF,AE＝AF；
(2)如图②，在(1)的情况下，如果∠MDN＝∠EDF,∠MDN的两边分别与AB,AC相交于M,N两点，其他条件不变，那么又有相等关系AM+________＝2AF,请加以证明.
【参考答案及解析】
学时8 角的平分线的性质
【预习指导】
一、思考：(1)SSS (2)所画两弧没有交点
二、思考：垂直于角两边的线段
例1 2
三、思考：题设(已知) 结论 全等
例2∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴∠DFC＝∠DEB＝90°.在
△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE＝DF.又∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴AD平分∠BAC(角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上).
【预习反馈】
1.B 2.C 3.A 4.B 5.26° 6.
7.略
8.如图，过点P作PD⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC,垂足分别为D,M.N.
∵BE平分∠ABC,点P在BE上，
∴PD＝PM,
同理，PM＝PN,∴PD＝PN,
∴点P在∠A的平分线上.
9.A
10.B
解析：如图，连接OA,作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F.
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,∴OE＝OF＝OD＝2,
∴×AB×OE＝×AC×OF＝×BC×OD ＝26,
∴BC＝6.
11.55
12.8
解析：如图，过点0作MN⊥AB于点M,交CD于点N.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB,OE⊥AC,OE＝4,∴OM＝OE＝4.同理可得ON＝OE＝4,∴MN＝COM+ON＝8.
13.如图，∵OD平分∠AOB,∴∠1＝∠2.在△OBD和
△OAD中，∴△OBD≌△OAD(SAS),
∴∠3＝∠4.∵PM⊥BD,PN⊥AD,∴PM＝PN.
14.如图，作△ABC的角平分线，交点为0，则S△AOC∶S△ABO:S△BOC＝5:7:9.理由如下：
作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为E,F,G.
∵点O是△ABC的角平分线的交点，∴OE＝OF＝OG,
又AC＝50米，AB＝70米，BC＝90米，
∴S△AOC:S△ABO:S△BOC＝(·AC·OG):(·AB·OE):(·BC·OF)＝AC:AB:BC＝5:7:9.
15.(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE＝DF
在Rt△ADE和Rt△ADF中, ,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE＝AF.
(2)AN证明如下：∵∠MDN＝∠EDF,∴∠MDE＝∠NDF
在△MDE和△NDF中，，
∴△MDE≌△NDF(ASA),∴ME＝NF,
∴AM+AN＝(AE+ME)+(AF－NF)＝AE+AF＝2AF.

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