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第十二章 全等三角形(章节综合自测)
(时间：60分钟，满分：100分) 得分：________
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.下列每组图形中，是全等形的是 ( )
2.如图，△ACE≌△DBF,AB＝3,BC＝2,则AD的长度等于 ( )
A.2 B.5 C.8 D.10
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM＝ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△NOC≌△MOC,其依据是 ( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
4.在△ABC和△A′B′C′中，①AB＝A′B′；②BC＝B′C′；③AC＝A′C′；④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′；⑥∠C＝∠C′.则下列条件组不能保证△ABC≌△A′B′C′的是 ( )
A.①②③ B.①②⑤ C.②④⑤ D.①③⑤
5.如图，AC＝BD,∠CAB＝∠DBA,∠ABC＝20°，则∠COA的度数为 ( )
A.10° B.20° C.40° D.90°
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD＝4,AB＝15,则△ABD的面积是 ( )
A.15 B.30 C.45 D.60
7.如图，点B,C,E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE,则与线段BC相等的线段是 ( )
A.AC B.AF C.CF D.EF
8.如图，点A,B分别是∠NOP,∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥MN于点D,则以下结论错误的是 ( )
A.AD+BC＝AB B.∠AOB＝90°
C.与∠CBO互余的角有2个 D.点O是CD的中点
二、填空题(每小题4分，共24分)
9.如图，△ACB≌△A′CB′,∠BCA′＝35°，∠B′CA′＝65°，则∠ACA′的度数为________
10.如图，在△ABC中，AB＝AC,点E,D分别在AB,AC上，不再添加其他辅助线，添加一个条件________，使BD＝CE.(只添一个即可)
11.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD,OB＝OC,测得AB＝a,EF＝b,则圆形容器的壁厚是________
12.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC,BC＝8cm,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,则△CDE的周长为________cm.
13.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝________
14.如图，在△ABC中，AB＝AC,AB>BC,点D在边BC上，CD＝3BD,点E,F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为________
三、解答题(共52分)
15.(6分)如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组的学生在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边点B,选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步到C树，继续走20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
④测得DE的长就是河宽AB.请你证明他们做法的正确性，
16.(6分)如图，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB＝DC,求证：EB＝FC.
17.(8分)如图，已知AB＝AC,AD＝AE,BD＝CE. 求证：∠3＝∠1+∠2.
18.(10分)如图，在△ABC,△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC,AD＝AE,C,D,E三点在同一直线上，连接BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD,CE有何特殊位置关系，并证明.
19.(10分)如图，BE⊥CE,BA∥CD,点E为AD的中点.求证：CE平分∠BCD.
20.(12分)【方法引入】在解决几何线段相等问题时，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路：
如图①中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB＝OA,连接BC,根据三角形全等判定方法：________,容易构造出全等三角形△OBC和△OAC,从而得到线段CA与CB相等.(写出完整的证明过程)
【学以致用】参考上述学到的知识，解答下列问题：
如图②，在△ABC中，∠B＝60°，AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F.求证：FE＝FD.
【参考答案及解析】
第十二章自测卷
1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B
7.D
解析：∠ACB+∠FCE＝180°－∠ACF＝120°，又∵∠BAC+∠ACB＝180°－∠B＝120°，∴∠FCE＝∠BAC.在△ABC与△CEF中，∠BAC＝∠ECF,AB＝CE,∠B＝∠E,∴△ABC≌△CEF,∴BC＝EF.故选D.
8.C
解析：点A,B分别是∠NOP,∠MOP平分线上的点，∴AD＝AE,BC＝BE.AB＝AE+BE,∴AB＝AD+BC,∴A选项正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，Rt△AOD≌Rt△AOE(HL),∴OD＝OE,同理可得OC＝OE,又∠AOE＝∠AOD,∠BOC＝∠BOE,
∴∠AOB＝×180°＝90°，∴B选项正确；与∠CBO互余的角有∠COB,∠EOB,∠OAD,∠OAE,共4个，∴C选项错误；∵OC＝OD＝OE,∴点O是CD的中点，∴D选项正确.故选C.
9.30°
10.答案不唯一，如：AE＝AD
11.(b－a)
12.8
13.135°
14.3
15.在Rt△ABC和Rt△EDC中，,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA),∴AB＝ED.即他们的做法是正确的.
16.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE＝DF.在Rt△DBE和Rt△DCF中，
Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴EB＝FC.
17.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SSS),
∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2.∵∠3＝∠BAD+∠ABD,∴∠3＝∠1+∠2.
18.(1)∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD,即∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC,AD＝AE,∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD⊥CE.证明如下：由(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ADB＝∠E.∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°.∴BD⊥CE.
19.如图，延长BE,CD交于点F,BACD,∴∠A＝∠ADF点E为AD的中点，
∴AE＝ED.在△ABE和
△DFE中，,∴△ABE≌△DFE(ASA),∴BE＝FE,
在△CEB和△CEF中，,
∴△CEB≌△CEF(SAS),∴∠BCE＝∠FCE,即CE平分∠BCD.
20.【方法引入】SAS
证明如下：在ON上截取OB＝OA,连接BC.
∵OC是∠MON的平分线，∴∠AOC＝∠BOC.
在△AOC和△BOC中，OA＝OB,∠AOC＝∠BOC,OC＝OC,
∴△AOC≌△BOC,∴CA＝CB.
【学以致用】如图，在AC上截取AG＝AE,连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.
在△AEF和△AGF中，
,∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE＝∠AFG,FE＝FG.
∵∠B＝60°，∴∠BAC+∠ACB＝180°－60°＝120°.
∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，∴∠2＝∠BAC,∠3＝∠ACB,
∴∠2+∠3＝(∠BAC+∠ACB)＝×120°＝60°，
∴∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60.
∴∠CFG＝180°－∠AFG－∠CFD＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠CFG＝∠CFD.
∵CE是∠BCA的平分线，∴∠3＝∠4.
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD(ASA),∴FG＝FD,∴FE＝FD.

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