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第9讲 实际问题与二次函数
1二次函数的应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1．（2018 单县三模）某低碳节能产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡．
（1）求y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）设年产量为x万件时，所获毛利润为w万元，求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=销售额﹣生产费用）．
【解答】解：图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=，
故y与x之间的关系式为y=x2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z=kx+b，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为z=﹣x+30；
（2）年产量为x万件时，生产费用为x2，销售额为：zx=（﹣x+30）x=﹣x2+30x，
则w=﹣x2+30x﹣x2=﹣x2+30x=﹣（x2﹣150x）=﹣（x﹣75）2+1125，
当x=75时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
答：当年产量为75万件时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
　
2．（2018 建平县模拟）无锡市灵山胜境公司厂生产一种新的大佛纪念品，每件纪念品制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．
（1）写出公司每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，公司每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据工商部门规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元．如果公司要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要多少万元？
【解答】解：（1）w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800；
（2）将w=﹣2x2+136x﹣1800配方，得w=﹣2（x﹣34）2+512（x＞18），
答：当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）由w=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800
解这个方程得x1=25，x2=43，即销售单价定为25元或43元，
结合函数w=﹣2x2+136x﹣1800的图象可知，
当25≤x≤43时w≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∵x最大取32，
∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）
答：每月最低制造成本为648万元．
3．（2018 安次区二模）某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据．
投资量x（万元） 2
种植树木利润y1（万元） 4
种植花卉利润y2（万元） 2
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围．
【解答】解：（1）设y1=kx，
由表格数据可知，函数y1=kx的图象过（2，4），
∴4=k 2，
解得：k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；
∵设y2=ax2，
由表格数据可知，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a 22，
解得：a=，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2（x≥0）；
（2）因为种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元，
w=2（8﹣m）+m2=m2﹣2m+16=（m﹣2）2+14，
∵a=0.5＞0，0≤m≤8，
∴当m=2时，w的最小值是14，
∵a=＞0，
∴当m＞2时，w随m的增大而增大
∵0≤m≤8，
∴当m=8时，w的最大值是32，
答：他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元．
（3）根据题意，当w=22时，（m﹣2）2+14=22，
解得：m=﹣2（舍）或m=6，
故：6≤m≤8．
　
4．（2018 陵城区二模）浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；
方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，销售量=150﹣10（x﹣30）=﹣10x+450，
则w=（x﹣25）（﹣10x+450）
=﹣10x2+700x﹣11250；
（2）w=﹣10x2+700x﹣11250=﹣10（x﹣35）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w最大=1000元，
故当单价为35元时，该计算器每天的利润最大；
（3）B方案利润高．理由如下：
A方案中：∵25×24%=6，
此时wA=6×（150﹣10）=840元，
B方案中：每天的销售量为120件，单价为33元，
∴最大利润是120×（33﹣25）=960元，
此时wB=960元，
∵wB＞wA，
∴B方案利润更高．
　
5．（2018 滦南县一模）我市“佳禾”农场的十余种有机蔬菜在北京市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市后，一经销商在市场价格为10元/千克时，从“佳禾”农场收购了某种有机蔬菜2000 千克存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计148元，已知这种蔬莱在冷库中最多保存90天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）经销商想获得利润7200元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
（3）经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式为：
y=（10+0.2x）（2000﹣6x）=﹣1.2x2+340x+20000（1≤x≤90）；
（2）由题意得：﹣1.2x2+340x+20000﹣10×2000﹣148x=7200，
解方程得：x1=60；x2=100（不合题意，舍去），
经销商想获得利润7200元需将这批蔬菜存放60天后出售；
（3）设最大利润为W元，
由题意得W=﹣1.2x2+340x+20000﹣10×2000﹣148x
即W=﹣1.2（x﹣80）2+7680，
∴当x=80时，W最大=7680，
由于80＜90，
∴存放80天后出售这批蔬菜可获得最大利润7680元．
2二次函数的综合
1．（2018 天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=x2+mx﹣2m经过点A（1，0），
∴0=1+m﹣2m，
解得：m=1，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2，
∵y=x2+x﹣2=（x+）2﹣，
∴顶点P的坐标为（﹣，﹣）；
（Ⅱ）抛物线y=x2+mx﹣2m的顶点P的坐标为（﹣，﹣），
由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP=45°知点P在第四象限，
如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
则∠POQ=∠OPQ=45°，
可知PQ=OQ，即=﹣，
解得：m1=0，m2=﹣10，
当m=0时，点P不在第四象限，舍去；
∴m=﹣10，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣10x+20；
（Ⅲ）由y=x2+mx﹣2m=x2+m（x﹣2）可知当x=2时，无论m取何值时y都等于﹣4，
∴点H的坐标为（2，4），
过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，
则∠DEA=∠AGH=90°，
∵∠DAH=90°，∠AHD=45°，
∴∠ADH=45°，
∴AH=AD，
∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°，
∴∠DAE=∠AHG，
∴△ADE≌△HAG，
∴DE=AG=1、AE=HG=4，
则点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1）；
①当点D的坐标为（﹣3，1）时，可得直线DH的解析式为y=x+，
∵点P（﹣，﹣）在直线y=x+上，
∴﹣=×（﹣）+，
解得：m1=﹣4、m2=﹣，
当m=﹣4时，点P与点H重合，不符合题意，
∴m=﹣；
②当点D的坐标为（5，﹣1）时，可得直线DH的解析式为y=﹣x+，
∵点P（﹣，﹣）在直线y=﹣x+上，
∴﹣=﹣×（﹣）+，
解得：m1=﹣4（舍），m2=﹣，
综上，m=﹣或m=﹣，
则抛物线的解析式为y=x2﹣x+或y=x2﹣x+．
2．（2018 济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，
解得：，
则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，
把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，
∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，
∴直线AM解析式为y=x+m，
把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，
∴直线AM解析式为y=x﹣1，
联立得：，
解得：，
则M（﹣，﹣）；
（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，
解得：m=1±，x=2±，
当m=1+时，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即P（1+，2）；
当m=1﹣时，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即P（1﹣，2）；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，
解得：m=0或2，
当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）或（2，﹣3）．
　
3．（2018 娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．
设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），
将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．
∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，
∴S△BDF=FM （yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．
∵EF1∥BD，
∴∠AEF1=∠DBE．
∵ON=ON′，EO⊥NN′，
∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，
将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，
﹣2+b1=0，解得：b1=2，
∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．
联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．
当x=0时，y=﹣2x+2=2，
∴点N的坐标为（0，2），
∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．
联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．
综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（　　）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
【解答】解：设降价x元，所获得的利润为W元，
则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．
∴获得的最大利润为625元．
故选：B．
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（　　）
A．米 B．8米 C．米 D．10米
【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，
6＝﹣6×+b×，
解得，b＝15
∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，
故选：C．
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（　　）
A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm
【解答】解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，
点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），
则AD＝2AH+2x＝6+3，
故选：A．
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C（﹣3，0），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴，解得：，，
∴点B（﹣4，﹣5），
如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
则点M（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA
＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）
＝，
∴当m＝时，P最大，
∴点P（，）；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E（﹣1，﹣2），
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立得D1（0，3），
同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得，
60≤x≤60×（1+40%），
即60≤x≤84；
（2）由题意得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+120；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）∵当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+120（60≤x≤87）．
（2）w＝（﹣x+120）（x﹣60），
w＝﹣x2+180x﹣7200，
w＝﹣（x﹣90）2+900，
当w＝500时，有500＝﹣（x﹣90）2+900，
解得，x＝110（舍去）或x＝70，
故利润是500元时的销售单价70元/件．
（3）又∵60＜x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
则x＝87时获利最多，
将x＝87代入，得w＝﹣（87﹣90）2+900＝891元．
答：售价定为87元有最大利润为891元．
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
销售价格x（元/个） 销售量y（万元）
30≤x≤60 ﹣x+8
60≤x≤80
【解答】解：（1）由题意得，﹣x+8＝2.5，
解得，x＝55，
答：当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；
（2）当30≤x≤60时，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
当60＜x≤80时，w＝（x﹣20） ﹣40＝﹣+89；
（3）当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，
∴当x＝50时，w取得最大值50（万元）；
当60＜x≤80时，w＝﹣+89，
∵﹣2580＜0，
∴w随x的增大而增大，当x＝80时，w最大＝121.25（万元）＞50万元，
∴销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过．第9讲 实际问题与二次函数
1二次函数的应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1．（2018 单县三模）某低碳节能产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡．
（1）求y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）设年产量为x万件时，所获毛利润为w万元，求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=销售额﹣生产费用）．
　
2．（2018 建平县模拟）无锡市灵山胜境公司厂生产一种新的大佛纪念品，每件纪念品制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．
（1）写出公司每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，公司每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据工商部门规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元．如果公司要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要多少万元？
3．（2018 安次区二模）某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据．
投资量x（万元） 2
种植树木利润y1（万元） 4
种植花卉利润y2（万元） 2
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围．
4．（2018 陵城区二模）浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；
方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
　
5．（2018 滦南县一模）我市“佳禾”农场的十余种有机蔬菜在北京市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市后，一经销商在市场价格为10元/千克时，从“佳禾”农场收购了某种有机蔬菜2000 千克存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计148元，已知这种蔬莱在冷库中最多保存90天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）经销商想获得利润7200元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
（3）经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
2二次函数的综合
1．（2018 天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．
2．（2018 济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2018 娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（　　）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（　　）
A．米 B．8米 C．米 D．10米
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（　　）
A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
销售价格x（元/个） 销售量y（万元）
30≤x≤60 ﹣x+8
60≤x≤80
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

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