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第2讲一元二次方程
1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
　
1．（2018 绍兴一模）利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（　　）
A．4x2+4x+5=0 B．4x2+4x﹣5=0 C．x2+x+1=0 D．x2+x﹣1=0
1．（2018 深圳模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
2．（2017秋 平顶山期末）若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
1．（2017 济宁二模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n i=（i4）n i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
2．（2018 龙岗区一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1=0的解为______________．
1．（2018春 嘉兴期中）给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是______________．
　
2．（2017春 明光市期中）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．
（1）求m的值；
（2）求的值．
3．（2016秋 长泰县期中）已知一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
　
4．（2017秋 怀柔区期末）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25．
解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或 3x﹣2=　________．
分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．
（2）解方程．
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
　
1．（2017秋 苍溪县期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4=0
（2）用配方法解方程：2x2+1=3x
　
2．（2017秋 卢龙县期末）解方程：
（1）（y+2）2=（3y﹣1）2
（2）x2+4x+2=0（配方法）
1．（2018春 瑶海区期中）解一元二次方程（配方法）：x2﹣6x﹣7=0．
　
2．（2017秋 句容市月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）=6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．
（x+2）2﹣22=6，
（x+2）2=6+22，
（x+2）2=10．
直接开平方并整理，得．x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]=5．
（x+a）2﹣b2=5，
（x+a）2=5+b2．
直接开平方并整理，得．x1=c，x2=d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，_____，_____，_____．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）=6．
4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
1．（2017秋 前郭县期末）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
　
1．（2017秋 安陆市期中）以x=为根的一元二次方程可能是（　　）
A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0 C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=0
　
2．（2017秋 惠民县期末）（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9=0．
（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4=0．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
　
1．（2017秋 沈河区期末）解方程
（1）x2﹣7x﹣18=0
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
2．（2017秋 沭阳县期末）（x+3）（x﹣1）=12．
1．（2017秋 梁子湖区期末）解下列方程：
（1）x2+3x﹣1=0；
（2）x（2x﹣5）=4x﹣10．
　
2．（2017秋 槐荫区期末）在方程x2﹣3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x﹣3）=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．
上述将方程x2﹣3x=0转化为x=0或x﹣3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．
规范书写如下：
解：x2﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x=0或x﹣3=0
∴x=0或x=3
仿照上面的方法和规范，解决下列问题：
（1）解方程9x2﹣4=0
（2）解方程a2﹣2a﹣3=0；
类比上面的思路，解决下列问题．
（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（　　）
A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0
3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（　　）
A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5
二．解答题（共4小题）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．
7．用适当的方法解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15第2讲一元二次方程
1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
　
1．（2018 绍兴一模）利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（　　）
A．4x2+4x+5=0 B．4x2+4x﹣5=0 C．x2+x+1=0 D．x2+x﹣1=0
【解答】解：由题意可得：x=，
可变形为：2x=﹣1，
则（2x+1）=，
故（2x+1）2=6，
则可以构造出一个整系数方程是：4x2+4x﹣5=0．
故选：B．　　
1．（2018 深圳模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【解答】解：方法一：
方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，
∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，
∴①当α=1+，β=1﹣时，
α3+8β+6，
=（1+）3+8（1﹣）+6，
=16+8+8﹣8+6，
=30；
②当α=1﹣，β=1+时，
α3+8β+6，
=（1﹣）3+8（1+）+6，
=16﹣8+8+8+6，
=30．
方法二：
∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，
∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，
∴α2=2α+4
∴α3+8β+6=α α2+8β+6
=α （2α+4）+8β+6
=2α2+4α+8β+6
=2（2α+4）+4α+8β+6
=8α+8β+14
=8（α+β）+14=30，
故选：D．　
2．（2017秋 平顶山期末）若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【解答】解：根据题意：当x=﹣1时，方程左边=a﹣b+c
而a+c=b，即a﹣b+c=0，
所以当x=﹣1时，方程ax2+bx+c=0成立．
故x=﹣1是方程的一个根．
故选：B．　
2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
1．（2017 济宁二模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n i=（i4）n i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【解答】解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4 i=i，i6=i5 i=﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵=504…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2017=i，
故选：D．　
2．（2018 龙岗区一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1=0的解为______________．
【解答】解：（x﹣4）*1=（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1=x2﹣10x+25=0，即（x﹣5）2=0，
解得 x1=x2=5，
故答案是：x1=x2=5．　
1．（2018春 嘉兴期中）给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是______________．
【解答】解：∵y=x3，
∴y′=3x2，
∵y′=12，
∴3x2=12，
解得，x=±2，
故答案为：±2．
　
2．（2017春 明光市期中）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）ax2=b，
x2=，
x=，
即方程的两根互为相反数，
∵一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．
∴m+1+2m﹣4=0，
解得：m=1；
（2）当m=1时，m+1=2，2m﹣4=﹣2，
∵x=±，一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4，
∴=（±2）2=4．
　
3．（2016秋 长泰县期中）已知一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
【解答】解：∵（x﹣3）2=1，
∴x﹣3=±1，
解得，x1=4，x2=2，
∵一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4=2+2，此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2和4时，
∴△ABC的周长为：2+4+4=10．
　
4．（2017秋 怀柔区期末）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25．
解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或 3x﹣2=　________．
分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．
（2）解方程．
【解答】解：（1）3x﹣2=﹣5，
（2）根据乘方运算，
得或
解这两个一元一次方程，得x1=，x2=．
故答案为：﹣5
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
　
1．（2017秋 苍溪县期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4=0
（2）用配方法解方程：2x2+1=3x
【解答】解：（1）∵x2﹣2x=4，
∴x2﹣2x+1=4+1，即（x﹣1）2=5，
则x﹣1=±，
∴x=1±；
（2）∵2x2﹣3x=﹣1，
∴x2﹣x=﹣，
∴x2﹣x+=﹣+，即（x﹣）2=，
则x﹣=±，
解得：x1=1、x2=．
　
2．（2017秋 卢龙县期末）解方程：
（1）（y+2）2=（3y﹣1）2
（2）x2+4x+2=0（配方法）
【解答】解：（1）y+2=±（3y﹣1）
y+2=3y﹣1，y+2=﹣（3y﹣1）
y1=，y2=﹣；
（2）x2+4x+4=2
（x+2）2=2
x+2=
x1=﹣2，x2=﹣2﹣．
1．（2018春 瑶海区期中）解一元二次方程（配方法）：x2﹣6x﹣7=0．
【解答】解：x2﹣6x﹣7=0
（x2﹣12x）﹣7=0
（x﹣6）2﹣25=0
（x﹣6）2=25
∴（x﹣6）2=50
∴x﹣6=±，
∴x1=6+5，x2=6﹣5．
　
2．（2017秋 句容市月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）=6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．
（x+2）2﹣22=6，
（x+2）2=6+22，
（x+2）2=10．
直接开平方并整理，得．x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]=5．
（x+a）2﹣b2=5，
（x+a）2=5+b2．
直接开平方并整理，得．x1=c，x2=d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，_____，_____，_____．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）=6．
【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]=5．
（x+5）2﹣22=5，
（x+5）2=5+22．
直接开平方并整理，得．x1=﹣2，x2=﹣8．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、2、﹣2、﹣8，
故答案为：5、2、﹣2、﹣8；
（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]=6．
（x﹣1）2﹣42=6，
（x﹣1）2=6+42．
x﹣1=±，
∴x=1±，
直接开平方并整理，得．x1=1+，x2=1﹣．
4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
1．（2017秋 前郭县期末）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
【解答】解：方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0，
∵a=3，b=10，c=5，
∴b2﹣4ac=102﹣4×3×5=40，
∴x===，
∴x1=，x2=．
　
1．（2017秋 安陆市期中）以x=为根的一元二次方程可能是（　　）
A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0 C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=0
【解答】解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数，二次项系数是1或﹣1，常数项是﹣c或c．
所以，符合题意的只有D选项．
故选：D．
　
2．（2017秋 惠民县期末）（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9=0．
（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4=0．
【解答】解：（1）两边同除以3，得x2﹣4x+3=0，
移项，得x2﹣4x=﹣3，
配方，得x2﹣4x+4=﹣3+4，
（x﹣2）2=1，
x﹣2=±1，
x1=3，x2=1；
（2）∵a=3，b=﹣9，c=4，
∴△=b2﹣4a c=（﹣9）2﹣4×3×4=33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根为x=，
x1=，x2=．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
　
1．（2017秋 沈河区期末）解方程
（1）x2﹣7x﹣18=0
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
【解答】解：（1）因式分解，得
（x﹣9）（x+2）=0
于是得
x﹣9=0或x+2=0，
解得x1=9，x=﹣2；
（2）方程整理，得
2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0
因式分解，得
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]=0
于是，得
x﹣3=0或x﹣9=0，
解得x1=3，x2=9．
　
2．（2017秋 沭阳县期末）（x+3）（x﹣1）=12．
【解答】解：整理，得x2+2x﹣15=0，
（x+5）（x﹣3）=0，
所以x1=﹣5，x2=3．
1．（2017秋 梁子湖区期末）解下列方程：
（1）x2+3x﹣1=0；
（2）x（2x﹣5）=4x﹣10．
【解答】解：（1）x2+3x﹣1=0，
x2+3x=1，
x2+3x+=1+，
（x+）2=，
x+=，
x1=，x2=；
（2）x（2x﹣5）=4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）=0，
（2x﹣5）（x﹣2）=0，
2x﹣5=0，x﹣2=0，
x1=2.5，x2=2．
　
2．（2017秋 槐荫区期末）在方程x2﹣3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x﹣3）=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．
上述将方程x2﹣3x=0转化为x=0或x﹣3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．
规范书写如下：
解：x2﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x=0或x﹣3=0
∴x=0或x=3
仿照上面的方法和规范，解决下列问题：
（1）解方程9x2﹣4=0
（2）解方程a2﹣2a﹣3=0；
类比上面的思路，解决下列问题．
（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集．
【解答】解：（1）9x2﹣4=0，
（3x+2）（3x﹣2）=0，
3x+2=0，3x﹣2=0，
x1=﹣，x2=；
（2）a2﹣2a﹣3=0，
（a﹣3）（a+1）=0，
a﹣3=0，a+1=0，
a1=3，a2=﹣1；
（3）a2﹣2a﹣3＞0，
（a﹣3）（a+1）＞0，
即或，
解得：a＞3或a＜﹣1，
即原不等式的解集为a＞3或a＜﹣1．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（　　）
A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2
【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，
﹣x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：B．
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；
C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；
故选：B．
3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（　　）
A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5
【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，
解得：a≥1且a≠5，
故选：D．
二．解答题（共4小题）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，
（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，
∴3x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2
＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2
∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，
∴a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝4﹣2＝2．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵m是方程的一个实数根，
∴m2+（m+3）m+m+1＝0．
整理得：2m2+4m+1＝0
解得：m＝．
7．用适当的方法解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；
分解因式得：x（3x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）（x﹣1）2＝4；
开方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（3）x2+2x﹣5＝0，
配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝2.5；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
方程整理得：x2+x﹣3＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣3
∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝；
解得：x1＝，x2＝．

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