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第3讲 一元二次方程的实际问题
1 根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
1．（2018 宜宾）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
　
2．（2018 眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
　
3．（2018 番禺区一模）若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．
4．（2018 盐城模拟）已知方程x2﹣x﹣2=0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
　
5．（2018 黄石模拟）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
　
6．（2018 奎文区二模）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（　　）
A．3或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3或1
　
7．（2018 罗平县一模）若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣ D．﹣
　
　
8．（2017秋 五莲县期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（　　）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
9．（2018春 绍兴期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
　
10（2018 江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____．
　
11．（2018 河北区一模）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为___．
2增长率问题
　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
1．（2018 宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
　
2．（2018 眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．8% B．9% C．10% D．11%
3．（2018 邻水县三模）某超市将某品牌书包的售价从原来80元/个经两次调价后调至64.8元/个．若该超市两次调价的降价率相同，则降价率是（　　）
A．10% B．20% C．80% D．90%
　
4．（2018 蒙城县一模）某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
　
5．（2018 江阴市二模）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
　
6．（2018 拉萨一模）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为_____．
　
7．（2018 泸县模拟）某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．
　　
8．（2018 南关区校级二模）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年，县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2016年投资了7.2亿元人民币，问：每年投资的增长率是多少？
　
3利润问题
　　利润(销售)问题中常用的等量关系：
　　利润=售价-进价(成本)
　　总利润=每件的利润×总件数
　　
1．（2018 石家庄模拟）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（　　）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．5
　
2．（2018 盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为____件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
　
3．（2018 弥勒市一模）因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T恤，定价为60元，每天大约可卖出300件，经市场调查，每降价1元，每天可多卖出20件，已知这种T恤的进价为40元一件，在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，应将销售单价定位在多少元？
　
4．（2018 东明县一模）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书　_____本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
5．（2018 罗平县一模）某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a元，则可售出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？
　
6．（2018 洪泽县模拟）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？
7．（2018 重庆模拟）一位社会热心人士准备购买50件水果送给辛勤工作的环卫工人．现有甲、乙两种水果．
（1）若购买甲水果的数量不多于乙水果的两倍，则最多买甲水果多少件？
（2）由于甲水果非常好吃且易储存，所以决定只购买甲水果，与水果商家议价后，商家给出了优惠方案，若能在原来50件水果的基础上增加（m+20）%，则以（m+10）元的单价卖给这位社会热心人士，这样共花5100元，求m的值．
4 其他问题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
　　　答(写出答案，切忌答非所问).
1.（2018 槐荫区一模）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，求原正方形空地的边长．
2．（2018 武侯区模拟）成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为 90m，宽为 60m，按照规划将预留总面积为 4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．
（1）求各通道的宽度；
（2）现有一工程队承接了对这 4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了 536m2的绿化任务后，将工作效率提高 25%，结果提前 2 天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
　
3．（2018 中山市一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
4．（2018 山西模拟）如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？
　
5．（2017秋 龙华区校级期末）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形场地上修同样宽的三条人行道（阴影部分），余下的部分种花草．若种植花草的面积为589m2，求道路的宽度．
　
6．（2017秋 朝阳区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地（阴影部分）上种植草坪，使草坪的面积为570m2．求每条道路的宽．
综合练习
一．解答题（共7小题）
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？
3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生产成本下降的百分率；
（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．
6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？
7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF＝　 　cm，GH＝　 　cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．第3讲 一元二次方程的实际问题
1 根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
1．（2018 宜宾）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选：D．
　
2．（2018 眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣．
故选：C．
　
3．（2018 番禺区一模）若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=5．
故选：B．
　
4．（2018 盐城模拟）已知方程x2﹣x﹣2=0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=1，x1x2=﹣2，
∴x1+x2+x1x2=1﹣2=﹣1．
故选：D．
　
5．（2018 黄石模拟）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣1，
∴====﹣6．
故选：A．
　
6．（2018 奎文区二模）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（　　）
A．3或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3或1
【解答】解：∵方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴△=（2m+3）2﹣4m2=12m+9＞0，
∴m＞﹣．
∵α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=﹣2m﹣3，α β=m2．
∵+==﹣=﹣1，
∴m2﹣2m﹣3=（m﹣3）（m+1）=1，
解得：m=3或m=﹣1（舍去），
经检验可知：m=3是分式方程﹣=﹣1的解．
故选：B．
　
7．（2018 罗平县一模）若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣ D．﹣
【解答】解：依题意得：x1+x2=3，x1 x2=﹣4，
所以+===﹣．
故选：C．
解法二：由题意x1=4，x2=﹣1，
所以+=﹣1=﹣．
故选：C．
　
　
8．（2017秋 五莲县期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（　　）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，
∴α2+3α=6，
由根系数的关系可知：α+β=﹣3，
∴α2﹣3β=α2+3α﹣3α﹣3β=α2+3α﹣3（α+β）=6﹣3×（﹣3）=15
故选：B．
　
9．（2018春 绍兴期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．
故选：C．
　
10（2018 江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，
∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，
∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．
故答案为：2．
　
11．（2018 河北区一模）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为___．
【解答】解：
∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，
∴a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程为x2+1=0，该方程无实数根，舍去，
∴a=0，
故答案为：0．
2增长率问题
　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
1．（2018 宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选：C．
　
2．（2018 眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．8% B．9% C．10% D．11%
【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
3．（2018 邻水县三模）某超市将某品牌书包的售价从原来80元/个经两次调价后调至64.8元/个．若该超市两次调价的降价率相同，则降价率是（　　）
A．10% B．20% C．80% D．90%
【解答】解：设该超市调价的降价率为x，
根据题意得：80（1﹣x）2=64.8，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：该超市调价的降价率为10%．
故选：A．
　
4．（2018 蒙城县一模）某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【解答】解：设平均每次降价的百分比为x，
根据题意得：（1﹣x）2=1﹣19%，
1﹣x=±0.81，
x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
答：平均每次降价的百分比为10%，
故选：A．
　
5．（2018 江阴市二模）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2=288，
（1+x）2=1.44，
x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），
答：平均每月的增长率为20%．
故选：C．
　
6．（2018 拉萨一模）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为_____．
【解答】解：设平均每月降价的百分率为x，
依题意得：1000（1﹣x）2=810，
化简得：（1﹣x）2=0.81，
解得x1=0.1，x2=﹣1.9（舍）．
所以平均每月降价的百分率为10%．
故答案为10%．
　
7．（2018 泸县模拟）某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．
【解答】解：设2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：2000（1+x）2=2880，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为20%．
　　
8．（2018 南关区校级二模）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年，县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2016年投资了7.2亿元人民币，问：每年投资的增长率是多少？
【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意得：
5（1+x）2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），
答：每年投资的增长率为为20%．
　
3利润问题
　　利润(销售)问题中常用的等量关系：
　　利润=售价-进价(成本)
　　总利润=每件的利润×总件数
　　
1．（2018 石家庄模拟）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（　　）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．5
【解答】解：设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得（x﹣40）[300+20（60﹣x）]=6120，
解得：x1=57，x2=58，
由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58．
∴每件商品应降价60﹣57=3元．
故选：A．
　
2．（2018 盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为____件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
故答案为26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得x2﹣30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
解得：x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
　
3．（2018 弥勒市一模）因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T恤，定价为60元，每天大约可卖出300件，经市场调查，每降价1元，每天可多卖出20件，已知这种T恤的进价为40元一件，在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，应将销售单价定位在多少元？
【解答】解：设降低了x元，则每天销售（300+20x）件，
根据题意得：（60﹣40﹣x）（300+20x）=6080，
化简得：x2﹣5x+4=0，
解得：x1=1，x2=4．
∵要求销售量大，
∴x=4，
∴60﹣x=56．
答：应将销售单价定位在56元/件．
　
4．（2018 东明县一模）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书　_____本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为：300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
　
5．（2018 罗平县一模）某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a元，则可售出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？
【解答】解：设每件商品的售价定为a元，
则（a﹣18）（320﹣10a）=400，
整理得a2﹣50a+616=0，
∴a1=22，a2=28
∵18（1+25%）=22.5，而28＞22.5
∴a=22．
卖出商品的件数为320﹣10×22=100．
答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．
　
6．（2018 洪泽县模拟）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？
【解答】解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（100﹣80）×100=2000元；
（2）设每件商品应降价x元．
（20﹣x）（100+10x）=2160，
（x﹣2）（x﹣8）=0，
解得x1=2，x2=8．
答：每件商品应降价2元或8元．
7．（2018 重庆模拟）一位社会热心人士准备购买50件水果送给辛勤工作的环卫工人．现有甲、乙两种水果．
（1）若购买甲水果的数量不多于乙水果的两倍，则最多买甲水果多少件？
（2）由于甲水果非常好吃且易储存，所以决定只购买甲水果，与水果商家议价后，商家给出了优惠方案，若能在原来50件水果的基础上增加（m+20）%，则以（m+10）元的单价卖给这位社会热心人士，这样共花5100元，求m的值．
【解答】（1）设买甲水果x件，乙水果买（50﹣x）件，
由题意得：x≤2（50﹣x），
x≤，且x为整数，
则x最大为33．
答：最多购买甲水果33件；
（2）50×[1+（m+20）%]×（m+10）=5100，
解得m1=50，m2=﹣180（舍去）
答：m的值为50．
4 其他问题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
　　　答(写出答案，切忌答非所问).
1.（2018 槐荫区一模）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，求原正方形空地的边长．
【解答】解：设原正方形空地的边长为xm，
根据题意得：（x﹣3）（x﹣2）=56，
整理，得：x2﹣5x﹣50=0，
解得：x1=﹣5（不合题意，舍去），x2=10．
答：原正方形空地的边长为10m．
　
2．（2018 武侯区模拟）成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为 90m，宽为 60m，按照规划将预留总面积为 4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．
（1）求各通道的宽度；
（2）现有一工程队承接了对这 4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了 536m2的绿化任务后，将工作效率提高 25%，结果提前 2 天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
【解答】解：（1）设各通道的宽度为x米，
根据题意得：（90﹣3x）（60﹣3x）=4536，
解得：x1=2，x2=48（不合题意，舍去）．
答：各通道的宽度为2米．
（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，
根据题意得：﹣=2，
解得：y=400，
经检验，y=400是原方程的解，且符合题意．
答：该工程队原计划每天完成400平方米的绿化任务．
　
3．（2018 中山市一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【解答】解：设每个支干长出x小分支，则1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10，
答：每个支干长出9小分支．
4．（2018 山西模拟）如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？
【解答】解：（1）设通道的宽度为x米．
由题意（60﹣2x）（40﹣2x）=1500，
解得x=5或45（舍弃），
答：通道的宽度为5米．
（2）设原计划每天修xm2．
根据题意，得
﹣=2．
解得x=125．
经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天天修125m2
　
5．（2017秋 龙华区校级期末）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形场地上修同样宽的三条人行道（阴影部分），余下的部分种花草．若种植花草的面积为589m2，求道路的宽度．
【解答】解：设道路宽为x米，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）=589．
整理得：x2﹣52x+51=0．
解得x1=51（不合题意，舍去），x2=1．
答：道路宽为1米．
　
6．（2017秋 朝阳区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地（阴影部分）上种植草坪，使草坪的面积为570m2．求每条道路的宽．
【解答】解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570
整理得：x2﹣36x+35=0，
解得：x1=1，x2=35（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽为1米．
　
综合练习
一．解答题（共7小题）
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，
依题意，得：（1+x）2＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台．
2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？
【解答】解：（1）设甬道的宽为x米，
根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640
解得：x＝34（舍去）或x＝6，
答：甬道的宽为6米；
（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400
整理，得a2﹣440a+16000＝0
解得：a1＝400（舍去），a2＝40
答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．
整理，得3x2﹣85x+350＝0．
解得，x1＝5，x2＝．
∵＞30（不合题意，舍去），
∴x＝5．
答：小道进出口的宽度应为5米．
5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生产成本下降的百分率；
（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．
【解答】解：（1）设每年生产成本的下降率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．
答：每年生产成本的下降率为10%．
（2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．
答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．
6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？
【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），
＝﹣3x2+30x；
（2）当y＝63时﹣3x2+30x＝63，
解得x1＝7，x2＝3，
当x＝7时 30﹣3x＝9＜15
当x＝3时 30﹣3x＝21＞15 （不合题意，舍去）
答：AB为7m．
7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF＝　（30﹣2x）　cm，GH＝　（20﹣x）　cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
【解答】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案为：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长为5cm．

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