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第6讲反比例函数
1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
　
1．（2017秋 资阳区校级月考）若函数y=（3﹣k）x是反比例函数，那么k的值是（　　）
A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定
　
2．（2018 汶上县三模）若函数y=（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值为_____．
3．（2017秋 五莲县期末）已知：是反比例函数，则m=_____．
　
4．（2017秋 滕州市期末）函数y=（m+1）x是y关于x的反比例函数，则m=_____．
　
5．（2016秋 芜湖期末）若是反比例函数，则m=_____．
　
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
　
1．（2018 永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
　
2．（2018 菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
　
3．（2018 繁昌县二模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OA＜OC＜OB，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
　　
4．（2018 杭州）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．
（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由．
5．（2017秋 南京期末）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}=﹣1，min{2，2}=2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y=min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．
（1）设y1=x，y2=，则函数y=min{x，}的图象应该是　B　中的实线部分．
（2）请在图1中用粗实线描出函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
①______；②_________；③________；
（3）函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于_______对称．
6．（2018春 邗江区期中）（1）在下列表格中填上相应的值
x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 6 …
… ﹣1 ﹣2 3 1 …
平滑曲线举例
（2）若将上表中的变量用y来代替（即有y=），请以表中的x，y的值为点的坐标，在下方的平面直角坐标系描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点；
（3）在（2）的条件下，可将y看作是x的函数，请你结合你所画的图象，写出该函数图象的两个性质：___________　
（4）结合图象，借助之前所学的函数知识，直接写出不等式的解集：_______________
　
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
　
1．（2018 惠山区校级一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　）
A．8 B．3 C．2 D．4
2．（2018 永定区一模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=（　　）
A．6 B．9 C． D．
　　
3．（2017 黄冈模拟）如图，点A为函数图象上一点，连结OA，交函数的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积．
　　
4．（2017秋 芦溪县月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=（x＞0）图象上，当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积．
4反比例函数的实际应用
　
1．（2016春 钦南区校级期中）A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的　反比例　函数，t可以写成v的函数关系式是　_______．
2．（2016秋 新宁县期中）一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为______．
　
3．（2018 绥化模拟）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
4．（2016春 南充期中）已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是10cm，高是xcm．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=2cm时，求y的值．
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（　　）
A．9 B．18 C．25 D．9
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
二．解答题（共4小题）
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．第6讲反比例函数
1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
　
1．（2017秋 资阳区校级月考）若函数y=（3﹣k）x是反比例函数，那么k的值是（　　）
A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定
【解答】解：∵函数y=（3﹣k）x是反比例函数，
∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0，
解得：k1=0，k2=3，（不合题意舍去）
那么k的值是：0．
故选：A．
　
2．（2018 汶上县三模）若函数y=（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值为_____．
【解答】解：∵函数y=（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，
∴m+2≠0且|m|﹣3=﹣1，解得m=±2，
∴m=2．
故答案为2．
3．（2017秋 五莲县期末）已知：是反比例函数，则m=_____．
【解答】解：因为是反比例函数，
所以x的指数m2﹣5=﹣1，
即m2=4，解得：m=2或﹣2；
又m﹣2≠0，
所以m≠2，即m=﹣2．
故答案为：﹣2．
　
4．（2017秋 滕州市期末）函数y=（m+1）x是y关于x的反比例函数，则m=_____．
【解答】解：∵函数y=（m+1）x是y关于x的反比例函数，
∴m2﹣2m﹣4=﹣1且m+1≠0，
解得m=3．
故答案是：3．
　
5．（2016秋 芜湖期末）若是反比例函数，则m=_____．
【解答】解：由函数是反比例函数，
可知m2﹣2m﹣4=﹣1，m﹣3≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
　
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
　
1．（2018 永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：D．
　
2．（2018 菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0．
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，
故选：B．
　
故选：A．
3．（2018 繁昌县二模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OA＜OC＜OB，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由一次函数图象，得
b＞0，
由y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OA＜OB，得
对称轴在y轴的左侧，
﹣＞0，
a＜0．
由OA＜OC，得
c＞0．
二次函数图象如图，
∵a＜0，b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一二四象限，
∵c＞0，
∴反比例函数y=的图象位于一三象限，
故选：B．
　　
4．（2018 杭州）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．
（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由．
【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，
∴，得，
即该一次函数的表达式是y=2x+1；
（2）点（2a+2，a2）在该一次函数y=2x+1的图象上，
∴a2=2（2a+2）+1，
解得，a=﹣1或a=5，
即a的值是﹣1或5；
（3）反比例函数y=的图象在第一、三象限，
理由：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数y=2x+1的图象上，m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），
假设x1＜x2，则y1＜y1，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
假设x1＞x2，则y1＞y1，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
由上可得，m＞0，
∴m+1＞0，
∴反比例函数y=的图象在第一、三象限．
5．（2017秋 南京期末）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}=﹣1，min{2，2}=2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y=min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．
（1）设y1=x，y2=，则函数y=min{x，}的图象应该是　B　中的实线部分．
（2）请在图1中用粗实线描出函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
①______；②_________；③________；
（3）函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于_______对称．
【解答】解：（1）当x≤﹣1时，x≤；当﹣1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；
∴函数y=min{x，}的图象应该是
故选：B；
（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：
性质为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0．
故答案为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；
（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，
故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=1．
故答案为：直线x=1．
　
6．（2018春 邗江区期中）（1）在下列表格中填上相应的值
x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 6 …
… ﹣1 ﹣2 3 1 …
平滑曲线举例
（2）若将上表中的变量用y来代替（即有y=），请以表中的x，y的值为点的坐标，在下方的平面直角坐标系描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点；
（3）在（2）的条件下，可将y看作是x的函数，请你结合你所画的图象，写出该函数图象的两个性质：___________　
（4）结合图象，借助之前所学的函数知识，直接写出不等式的解集：_______________
【解答】解：（1）把x=﹣4，x=﹣2，x=﹣1，x=1，x=3，x=4代入解析式y=，可得：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 6 …
… ﹣1 ﹣ ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 1 …
（2）如图所示：
（3）从函数图象对称性来说：该函数图形是一个轴对称（中心对称）（即是轴对称又是中心对称）图形；
或该函数经过一、三象限；
或该函数在每个象限内，y随x增大而增小（x＞0 或x＜0，y随x增大而增小）；
或与x轴y轴无交点；
（4）根据图象可得：不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜2，
故答案为：（3）该函数经过一、三象限；该函数在每个象限内，y随x增大而增小（x＞0 或x＜0，y随x增大而增小）；（4）x＜﹣3或0＜x＜2．
　
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
　
1．（2018 惠山区校级一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　）
A．8 B．3 C．2 D．4
【解答】解：如图，延长DA交y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y=上，
∴x=，
∴矩形ABCD中心的坐标为（，）
∴BC=2（）=﹣2m，
∵S矩形ABCD=8，
∴（﹣2m） n=8．
4k﹣2mn=8，
∵点A（m，n）在y=上，
∴mn=k，
∴4k﹣2k=8
解得：k=4
故选：D．
2．（2018 永定区一模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=（　　）
A．6 B．9 C． D．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴=k，
设E的坐标为（a，y），
∴ay=k
∴E（a，），
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣k﹣k﹣ （b﹣）=12，
∴4k﹣k﹣+=12
k=
故选：D．
　　
3．（2017 黄冈模拟）如图，点A为函数图象上一点，连结OA，交函数的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积．
【解答】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，
∴=ak，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=x上，
∴= b，解得，=3或=﹣3（舍去），
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC=﹣=18﹣6=12．
　　
4．（2017秋 芦溪县月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=（x＞0）图象上，当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积．
【解答】解：当点B在x轴上时，如图1，
作AC⊥OB于C，
∵△AOB是等边三角形，
设OC=x，
∴AC=x，
∴A（x，x），
∵顶点A在反比例函数y=（x＞0）图象上，
∴x =4，
∴x=2，
∴A（2，2）；
当点B在y轴上时，如图2，
作AC⊥y轴于C，
∵△AOB是等边三角形，
设OC=y，
∴AC=y，
∴A（y，y），
∵顶点A在反比例函数y=（x＞0）图象上，
∴y y=4，
∴y=2，
∴A（2，2）；
S△AOB=2××4=4．
4反比例函数的实际应用
　
1．（2016春 钦南区校级期中）A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的　反比例　函数，t可以写成v的函数关系式是　_______．
【解答】解：t=，符合反比例函数的一般形式．
2．（2016秋 新宁县期中）一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为______．
【解答】解：由题意得：人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=300÷15x=．
故本题答案为：y=．
　
3．（2018 绥化模拟）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
【解答】解：（1）设，
由题意知，
所以k=96，
故；
（2）当v=1m3时，；
（3）当p=140kPa时，．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
4．（2016春 南充期中）已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是10cm，高是xcm．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=2cm时，求y的值．
【解答】解：（1）由题意得，10xy=100，
∴y=（x＞0）；
（2）当x=2cm时，y==5（cm）．
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴xy＝﹣2，
∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，
故选：B．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，
可知函数解析式为y＝﹣，
则xy＝﹣2，
A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；
B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；
C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；
故选：B．
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（　　）
A．9 B．18 C．25 D．9
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，
设OE＝a，则OD＝2a，DE＝a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴a a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a＝5舍去．
∴点D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
设C（x，），
∵点A为线段BC的中点，
∴，
解得．
故选：C．
二．解答题（共4小题）
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y＝kx+b上，得，
解得：，
∴直线的解析式为：y＝x+1．
（2）设直线AB与y轴交于点C．
在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，
∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
∴k1＝8，m＝﹣2，则B（﹣4，﹣2），
由题意得，
解得：k2＝2，b＝6；
∴一次函数解析式为：y＝2x+6．
综上所述，m的值为﹣2，一次函数解析式为y＝2x+6；
（2）∵一次函数y＝2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∴△AOB的面积＝×6×4+×6×1＝15．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴当y1≥5时，x≥1．
此时，0＜y2≤5．
（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由题意得，△＝n2+4m（m+n）＝（m+2n）2＝0，即m+2n＝0．
∴＝﹣2．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）A（1，m）、B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数y2＝，可得
m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入一次函数y1＝kx+b，可得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
∴M（0，4），N（4，0）．
∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝××＝4．
（2）从图象看出0＜x＜1或x＞3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3．
（3）如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，
过C作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，交于点D，则
Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝2
∴PA+PB的最小值为2．

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