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第6讲反比例函数
1反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
　
1．（2017秋 宝丰县期末）若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值是（　　）
A．±1 B．﹣1 C．0 D．1
　
2．（2017秋 银海区期末）若函数y=kxk﹣2是反比例函数，则k=（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．3
3．（2017秋 民乐县校级月考）已知函数y=（k﹣1）x是反比例函数，则k=（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．任意实数数
　
4．（2016 罗定市一模）如果函数y=m是一个经过二、四象限的反比例函数，则求m的值和反比例函数的解析式．
　
5．（2016秋 靖远县校级月考）函数y=（m﹣2）x是反比例函数，则m的值是多少？
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
　
1．（2018 广州）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
　
2．（2017 永安市一模）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k=______．
3．（2016 锦州二模）如图，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）的图象与⊙O的一个交点，若图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的表达式为　_____．
　
4.（2018 保定二模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：
（1）函数的自变量x的取值范围是_______；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=_____；
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出函数的一条性质．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 1 2 m 4 5 …
y … 2 3 ﹣1 0 …
　
　
　
5．（2017 自贡）【探究函数y=x+的图象与性质】
（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是______；
（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是______；
（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0
∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+______
∵（﹣）2≥0
∴y≥______　．
[拓展运用]
（4）若函数y=，则y的取值范围______．
【解答】解：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）函数y=x+的图象大致是C；
（3）解：∵x＞0
∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4
∵（﹣）2≥0
∴y≥4．
（4）①当x＞0，y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（﹣）2+1
∵（﹣）2≥0，
∴y≥1．
②x＜0，y==x+﹣5═﹣[（）2+（）2+5]=﹣（﹣）2﹣11=
∵﹣（﹣）2≤0，
∴y≤﹣11．
故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1或y≤﹣11，
　
6．（2017 房山区一模）有这样一个问题：探究函数y=+的图象和性质．
小奥根据学习函数的经验，对函数y=+的图象和性质进行了探究．
下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+的自变量x的取值范围是______；
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ 2 m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）．结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________
　
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
1．（2018 朝阳区校级一模）如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y=（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
　　
2．（2018 河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，5），Q（m，n）在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；点Q为图象上的动点，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、D，两垂线相交于点E，随着m的增大，四边形OCQD与四边形OAPB不重合的面积变化为（　　）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．先减小后增大再减小 D．先增大后减小再增大
3．（2017秋 秦都区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
　
4．（2017 龙岩模拟）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y=的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
　　
5.（2016 延平区一模）如图，反比例函数y=（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连结OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．
（1）填空：①点B坐标为　______；②S1_____　S2（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当S1+S2=2时，求： k的值及点D、E的坐标； 试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．
　
4反比例函数的实际应用
1．（2016 广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
2．（2017秋 邵阳县校级月考）已知一菱形的面积为12cm2，对角线长分别为xcm和ycm，则y与x的函数关系式为______
3．（2016春 灌云县期末）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　_____．
　
4．（2017春 灌云县月考）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
y（单位：度） 100 200 400 500 …
x（单位：米） 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是______．
　
5．（2017秋 蓬江区校级月考）已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数关系式_______．
　
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（　　）
A．9 B．18 C．25 D．9
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
二．解答题（共4小题）
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．第6讲反比例函数
1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
　
1．（2017秋 宝丰县期末）若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值是（　　）
A．±1 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：∵y=（m﹣1）是反比例函数，
∴．
解之得m=﹣1．
故选：B．
　
2．（2017秋 银海区期末）若函数y=kxk﹣2是反比例函数，则k=（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．3
【解答】解：根据题意，得
k﹣2=﹣1，且k≠0，
解得，k=1．
故选：A．
3．（2017秋 民乐县校级月考）已知函数y=（k﹣1）x是反比例函数，则k=（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．任意实数数
【解答】解：∵函数y=（k﹣1）x是反比例函数，
∴k2﹣2=﹣1，k﹣1≠0，
解得：k=﹣1．
故选：C．
　
4．（2016 罗定市一模）如果函数y=m是一个经过二、四象限的反比例函数，则求m的值和反比例函数的解析式．
【解答】解：∵反比例函数y=m是图象经过二、四象限，
∴m2﹣5=﹣1，m＜0，解得m=﹣2，
∴解析式为y=．
　
5．（2016秋 靖远县校级月考）函数y=（m﹣2）x是反比例函数，则m的值是多少？
【解答】解：∵y=（m﹣2）x是反比例函数，
∴3﹣m2=﹣1，m﹣2≠0，
解得：m=﹣2．
故m的值为﹣2．
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
　
1．（2018 广州）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当y=ax+b经过第一、二、三象限时，a＞0、b＞0，
由直线和x轴的交点知：﹣＞﹣1，即b＜a，∴a﹣b＞0，
所以双曲线在第一、三象限．故选项B不成立，选项A正确．
当y=ax+b经过第二、一、四象限时，a＜0，b＞0，
此时a﹣b＜0，双曲线位于第二、四象限，故选项C、D均不成立；
故选：A．
　
2．（2017 永安市一模）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k=______．
【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，
则圆的面积为10π×4=40π．
因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，
根据勾股定理，OP==a．
于是π（a）2=40π，a=±2，（负值舍去），故a=2．
P点坐标为（6，2）．
将P（6，2）代入y=，
得：k=6×2=12．
故答案是：12．
3．（2016 锦州二模）如图，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）的图象与⊙O的一个交点，若图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的表达式为　_____．
【解答】解：∵反比例函数y=（k＞0）的图象是中心对称图形，
∴阴影部分的面积为圆的面积的4四之一，
即π OP2=5π，解得OP=2，
∵（3a）2+a2=（2）2，解得a=，
∴P（3，），
把P（3，）代入y=得k=3×=6，
∴反比例函数的表达式为y=．
故答案为y=．
　
4.（2018 保定二模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：
（1）函数的自变量x的取值范围是_______；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=_____；
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出函数的一条性质．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 1 2 m 4 5 …
y … 2 3 ﹣1 0 …
【解答】解：（1）∵x+1≠0，
∴x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
（2）当y==时，x=3．
故答案为：3．
（3）描点、连线画出图象如图所示．
（4）观察函数图象，发现：函数在x＜﹣1和x＞﹣1上均单调递增．
　
　
　
5．（2017 自贡）【探究函数y=x+的图象与性质】
（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是______；
（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是______；
（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0
∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+______
∵（﹣）2≥0
∴y≥______　．
[拓展运用]
（4）若函数y=，则y的取值范围______．
【解答】解：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）函数y=x+的图象大致是C；
（3）解：∵x＞0
∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4
∵（﹣）2≥0
∴y≥4．
（4）①当x＞0，y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（﹣）2+1
∵（﹣）2≥0，
∴y≥1．
②x＜0，y==x+﹣5═﹣[（）2+（）2+5]=﹣（﹣）2﹣11=
∵﹣（﹣）2≤0，
∴y≤﹣11．
故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1或y≤﹣11，
　
6．（2017 房山区一模）有这样一个问题：探究函数y=+的图象和性质．
小奥根据学习函数的经验，对函数y=+的图象和性质进行了探究．
下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+的自变量x的取值范围是______；
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ 2 m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）．结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________
【解答】解：（1）∵x在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当x=3时，m=+=．
（3）连点成线，画出函数图象，如图所示．
（4）观察函数图象，可知：当x＞2 时，y随x的增大而增大．
故答案为：当x＞2 时，y随x的增大而增大．
　
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
1．（2018 朝阳区校级一模）如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y=（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：把P（2，3），M（a，2）代入y=得k=2×3=2a，解得k=6，a=3，
设直线OM的解析式为y=mx，
把M（3，2）代入得3m=2，解得m=，
所以直线OM的解析式为y=x，当x=2时，y=×2=，
所以C点坐标为（2，），
所以△OAC的面积=×2×=．
故选：B．
　　
2．（2018 河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，5），Q（m，n）在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；点Q为图象上的动点，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、D，两垂线相交于点E，随着m的增大，四边形OCQD与四边形OAPB不重合的面积变化为（　　）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．先减小后增大再减小 D．先增大后减小再增大
【解答】解：矩形OAPB，矩形OCQD的面积不变．当点Q在点P的左边时，随着m的增大，两矩形重合部分的小矩形的长不变，宽变大，所以重合面积变大，所以不重合的面积变小；当Q在P的右侧时，重合部分宽不变，而长减小，因而重合面积减小，所以不重合的面积变大．所以随着m的增大，四边形OCQD与四边形OAPB不重合的面积变化为先减小后增大；
故选：B．
3．（2017秋 秦都区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB= OB AB=×2×m=5，
∴m=5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y=，得k=10；
（2）∵当x=8时，y=，
又∵反比例函数y=在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤．
　
4．（2017 龙岩模拟）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D（1，4）是BC中点，反比例函数y=的图象经过点D，并交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）求五边形OAEDC的面积S．
【解答】解：（1）把D（1，4）代入y=得，k=1×4=4；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴D（1，4）是BC中点，
∴BC=2CD=2，
∴B点坐标为：（2，4），
∵k=4，
∴y=，
把x=2代入y=得y==2，
∴E（2，2），
∴BE=2，
∴S△EBD=×2×1=1，
∴S=2×4﹣1=7，
∴五边形OAEDC的面积为：7．
　　
5.（2016 延平区一模）如图，反比例函数y=（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连结OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．
（1）填空：①点B坐标为　______；②S1_____　S2（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当S1+S2=2时，求： k的值及点D、E的坐标； 试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．
【解答】解：（1）①根据长方形OABC中，OA=2，OC=4，
则点B坐标为（4，2），
②∵反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，
利用△OAD、△OCE的面积分别为S1=AD AO，S2= CO EC，xy=k，得出，
S1=AD AO=k，S2= CO EC=k，
∴S1=S2；
（2）当S1+S2=2时，∵S1=S2，
∴S1=S2=1=，
∴k=2，
∵S1=AD AO=AD×2=1，
∴AD=1，
∵S2= CO EC=×4×EC=1，
∴EC=，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4﹣1=3，
BE=2﹣=，
∴DO2=AO2+AD2=4+1=5，
DE2=DB2+BE2=9+=，
OE2=CO2+CE2=16+=，
∴D的坐标为（3，4），E的坐标为（4，）
∴DO2+DE2=OE2，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO2=5，
∴DO=，
∵DE2=，
∴DE=，
∴△ODE的面积为：×DO×DE=××=，
故答案为：（1）①（4，2）；②=．
　
4反比例函数的实际应用
1．（2016 广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
【解答】解：由题意vt=80×4，
则v=．
故选：B．
　
2．（2017秋 邵阳县校级月考）已知一菱形的面积为12cm2，对角线长分别为xcm和ycm，则y与x的函数关系式为______
【解答】解：由题意得：y与x的函数关系式为y==．
故本题答案为：y=．
3．（2016春 灌云县期末）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　_____．
【解答】解：∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，
∴该水池的蓄水量为8×6=48（立方米），
∵Qt=48，
∴t=．
故答案为：t=．
　
4．（2017春 灌云县月考）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
y（单位：度） 100 200 400 500 …
x（单位：米） 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是______．
【解答】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y=，
∵y=400，x=0.25，
∴400=，
解得：k=100，
∴y关于x的函数关系式是y=．
故答案为：y=．
　
5．（2017秋 蓬江区校级月考）已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数关系式_______．
【解答】解：由题意得：h与r的函数关系式是：h==，半径应大于0．
故本题答案为：h=（r＞0）．
　
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴xy＝﹣2，
∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，
故选：B．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，
可知函数解析式为y＝﹣，
则xy＝﹣2，
A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；
B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；
C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；
故选：B．
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（　　）
A．9 B．18 C．25 D．9
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，
设OE＝a，则OD＝2a，DE＝a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴a a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a＝5舍去．
∴点D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
设C（x，），
∵点A为线段BC的中点，
∴，
解得．
故选：C．
二．解答题（共4小题）
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y＝kx+b上，得，
解得：，
∴直线的解析式为：y＝x+1．
（2）设直线AB与y轴交于点C．
在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，
∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
∴k1＝8，m＝﹣2，则B（﹣4，﹣2），
由题意得，
解得：k2＝2，b＝6；
∴一次函数解析式为：y＝2x+6．
综上所述，m的值为﹣2，一次函数解析式为y＝2x+6；
（2）∵一次函数y＝2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∴△AOB的面积＝×6×4+×6×1＝15．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴当y1≥5时，x≥1．
此时，0＜y2≤5．
（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由题意得，△＝n2+4m（m+n）＝（m+2n）2＝0，即m+2n＝0．
∴＝﹣2．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）A（1，m）、B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数y2＝，可得
m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入一次函数y1＝kx+b，可得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
∴M（0，4），N（4，0）．
∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝××＝4．
（2）从图象看出0＜x＜1或x＞3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3．
（3）如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，
过C作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，交于点D，则
Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝2
∴PA+PB的最小值为2．

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