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第7讲 二次函数的图象与性质
1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
　
1．（2017秋 大安市期末）函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
　
2．（2017秋 杜尔伯特县期末）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
3．（2017秋 渝中区校级期中）若y=（3﹣m）是二次函数，则m的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
　
4．（2017秋 海淀区校级期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　　）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
1．（2018 潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
　
2．（2018 泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
3．（2018 青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2018 顺德区模拟）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
　
5．（2018 丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．
（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；
（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）
　　
6．（2017秋 潍坊期末）有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
①当函数y=（x﹣1）+x时，y随x增大而___　（填“增大”或“减小”）；
②当函数y=（x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为______
（2）当函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，
下表为其y与x的几组对应值．
　x … ﹣ 0 1 2 3 4 　 …
　y … ﹣ ﹣3 1 2 3 7 　 …
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：_______．
　
3二次函数的解析式
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
1．（2018 宁晋县模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
2．（2018 静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．
　　
3．（2018 惠州一模）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
　
4．（2018 南关区校级一模）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为　 　．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有　 　（只填序号）．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是　 　．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝　 　．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？第7讲 二次函数的图象与性质
1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
　
1．（2017秋 大安市期末）函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【解答】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
故选：B．
　
2．（2017秋 杜尔伯特县期末）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，
∴2﹣a≠0，即a≠2，
故选：B．
3．（2017秋 渝中区校级期中）若y=（3﹣m）是二次函数，则m的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
【解答】解：由题意，得
m2﹣7=2，且3﹣m≠0，
解得m=﹣3，
故选：C．
　
4．（2017秋 海淀区校级期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　　）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
【解答】解：∵关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，
∴m=2，
则3m+2=8，
故此解析式的一次项系数是：8．
故选：B．
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
1．（2018 潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
　
2．（2018 泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
　　
3．（2018 青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
4．（2018 顺德区模拟）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
　
5．（2018 丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．
（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；
（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）
【解答】解：（1）当h=﹣1时，y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，
则顶点D的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）∵y=x2﹣2hx+h=（x﹣h）2+h﹣h2，
∴x=h时，函数有最小值h﹣h2．
①如果h≤﹣1，那么x=﹣1时，函数有最小值，此时m=（﹣1）2﹣2h×（﹣1）+h=1+3h；
②如果﹣1＜h＜1，那么x=h时，函数有最小值，此时m=h﹣h2；
③如果h≥1，那么x=1时，函数有最小值，此时m=12﹣2h×1+h=1﹣h．
　　
6．（2017秋 潍坊期末）有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
①当函数y=（x﹣1）+x时，y随x增大而___　（填“增大”或“减小”）；
②当函数y=（x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为______
（2）当函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，
下表为其y与x的几组对应值．
　x … ﹣ 0 1 2 3 4 　 …
　y … ﹣ ﹣3 1 2 3 7 　 …
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：_______．
【解答】解：（1）①∵y=（x﹣1）+x=x﹣，
k=＞0，
∴y随x增大而增大，
故答案为：增大；
②解方程组得：，，
所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2），
故答案为：（1，1），（2，2）；
（2）①
②该函数的性质：
①y随x的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限；
③函数的图象与x轴y轴各有一个交点等，
故答案为：y随x的增大而增大．
　
3二次函数的解析式
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
1．（2018 宁晋县模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
【解答】解：∵F（2，2），G（4，2），
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H（3，1）点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+1，
把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）2+1．
故选：C．
2．（2018 静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，
将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+5，
（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3
∴B（5，3），
令x=0，y=﹣（x﹣3）2+5=，则C（0，），
△ABC的面积=×（5﹣1）×（3﹣）=5．
　　
3．（2018 惠州一模）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），
∴a （﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2．
（2）由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；
（3）把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；
（4）把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=±，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．
　
4．（2018 南关区校级一模）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
【解答】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y=ax2上，
∴1=a，
∴抛物线的解析式为y=x2；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（2，0）、B（1，1）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC=×2×4=4．
　
综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为　y＝（x+2）2﹣3　．
【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案是：y＝（x+2）2﹣3．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有　③④⑤　（只填序号）．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点有两个，
∴b2﹣4ac＞0，②错误；
③∵，
∴b＝2a，
由图象可知：9a﹣3b+c＜0，
∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值，
∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），
∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），
∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；
⑤∵对称轴x＝﹣1，
∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴结论⑤正确．
综合以上可得：③④⑤．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m≤2　．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤2．
故答案为：m≤2．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是　y＝（x﹣1）2+3　．
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移2个单位，再向上移3个单位所得对应点的坐标为（1，3），所以新图象对应的解析式为y＝（x﹣1）2+3．
故答案为y＝（x﹣1）2+3．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝　2　．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．
故答案为：2．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a 2 （﹣2），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数解析式为y＝mx+n．
把A（﹣1，0），C（2，3）代入，
得，解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，x+1）．
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
∴S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ×3
＝（﹣x2+x+2）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝ 时，△APC的面积最大，最大值为．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设乙种笔记本每本的售价为x元，则甲种笔记本每本的售价为（x+2）元，
根据题意可得 20（x+2）+30x＝340，解得 x＝6，x+2＝8，
答：该网店甲种笔记本每本的售价为8元，乙种笔记本每本的售价为6元；
（2）①若购进甲种笔记本m本，则乙种笔记本为（200﹣m）本，
根据题意可得，
，
解得60＜m≤80，
∵m为整数，
∴m的值为61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77、78、79、80，
∴进货方案有20种；
②根据题意可得W＝（8﹣4）m+（6﹣3.5）（200﹣m）＝1.5m+500，
∵1.5＞0，
∴W随m的增大而增大，且60＜m≤80，
∴当m＝80时，W最大，W最大值为W＝1.5×80+500＝620（元），
答：当m＝80时，所获利润最大，最大利润为620元．

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