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2022年四川省广安市中考数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，年中国与奥运再次牵手，年注定是不平凡的一年．数字的倒数是( )
A. B. C. D.
下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截止年月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超亿人口，请将亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
如图所示，几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
下列说法正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 相似三角形的面积的比等于相似比
C. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
某校九年级个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量单位：如下：
则这组数据的中位数和众数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的函数的解析式是( )
A. B. C. D.
如图，菱形的边长为，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的中点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径，圆锥的高，圆柱的高，则下列说法错误的是( )
A. 圆柱的底面积为
B. 圆柱的侧面积为
C. 圆锥的母线长为
D. 圆锥的侧面积为
已知抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：；；；若、、是抛物线上的三点，则其中正确结论的个数有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
比较大小： ______选填“”、“”或“”
已知，则代数式的值为______．
若点在第四象限，则点在第______象限．
若，则以、为边长的等腰三角形的周长为______．
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米，水面下降______米，水面宽米．
如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为弧、弧、弧、弧的圆心依次按点、、、循环，则弧的长是______结果保留．
三、解答题（本大题共10小题，共72分）
计算：．
先化简：，再从、、、中选择一个适合的数代入求值．
如图，一次函数、为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第二象限交于点，与轴负半轴交于点，且．
求反比例函数和一次函数的解析式，
根据图象直接写出：当时，不等式的解集．
如图，点是外一点，连接、，与交于点下列三个等式：请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知：______，______．
求证：______．
某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间单位：，随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图和条形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
本次随机调查的学生共有______人，图中的值为______．
请补全条形统计图．
体育活动时间不足小时的四人中有名女生、、和名男生为了解他们在家体育活动的实际情况，从这人中随机抽取人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，
某企业下属、两厂向甲乙两地运送水泥共吨，厂比厂少运送吨，从厂运往甲乙两地的运费分别为元吨和元吨，从厂运往甲乙两地的运费分别为元吨和元吨．
求、两厂各运送多少吨水；
现甲地需要水泥吨，乙地需要水泥吨．受条件限制，厂运往甲地的水泥最多吨．设从厂运往甲地吨水泥，、两厂运往甲乙两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口处向正北方向走了米，到达菜园处锄草，再从处沿正西方向到达果园处采摘水果，再向南偏东方向走了米，到达手工坊处进行手工制作，最后从处回到门口处，手工坊在基地门口北偏西方向上．求菜园与果园之间的距离．结果保留整数
参考数据：，，，，，
数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，
如图，为的直径，、是上的两点，延长至点，连接，．
求证：是的切线．
若，，求的半径．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为，点坐标为．
求此抛物线的函数解析式．
点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，探究是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
点为该抛物线对称轴上的动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的到数为．
故选：．
直接运用倒数的定义求解即可．
本题考查了倒数的定义，即乘积是的两个数互为倒数．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以选项运算不正确，故A选项不符合题意；
B.因为，所以选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C.因为与不是同类二次根式，不能进行合并计算，所以选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D.因为，所以选项运算正确，故D选项符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B.应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；
C.应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
D.应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握应用科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：几何体左视图为：
．
故选：．
应用简单组合体的三视图的判定方法进行判定即可得出答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的判定方法进行求解是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不合题意；
B.相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故此选项不合题意；
C.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故此选项符合题意；
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论分别分析得出答案．
此题主要考查了矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论，正确掌握相关性质与方法是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、、、、，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】
【解析】解：将函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数关系式为，
故选：．
根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
8.【答案】
【解析】解：如图，取是中点，连接，．
四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，，，
，关于对称，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，取是中点，连接，首先证明四边形是平行四边形，推出，再证明，由，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
9.【答案】
【解析】解：底面圆半径，
圆柱的底面积为，所以选项不符合题意；
圆柱的高，
圆柱的侧面积，所以选项不符合题意；
底面圆半径，即，圆锥的高，
圆锥的母线长，所以选项符合题意；
圆锥的侧面积，所以选项符合题意．
故选：．
利用圆的面积公式对选项进行判断；利用圆柱的侧面积底面圆的周长高可对选项进行判断；根据勾股定理可对选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对选项进行判断．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
，
抛物线交轴于负半轴，
，
，故正确，
抛物线经过，
，
，
，故错误，
，故错误，
观察图象可知，，故正确，
故选：．
正确，根据抛物线的位置，判断出，，的符号，可得结论；
错误，利用对称轴公式，抛物线经过，求出，与的关系，判断即可；
正确．利用图象法判断即可．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
利用平方法比较大小即可．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．
12.【答案】
【解析】方法一：解：
又，
原式
．
方法二：解：
．
又，
原式．
方法一：直接将进行因式分解为，再根据，可得，由此可得原式．
方法二：将原式分为三部分，即，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式从而得出原式的值．
本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：．
13.【答案】二
【解析】解：点在第四象限，
，
，
，
点在第二象限，
故答案为：二．
根据点在第四象限，求出的取值范围，得到，进而得到点所在的象限．
本题考查了点的坐标，根据点在第四象限，求出的取值范围是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：，，，
，，
，，
设三角形的第三边为，
当时，三角形的周长，
当时，三角形的周长，
故答案为：或．
先求，再求第三边即可．
本题考查等腰三角形周长计算，求出，后确定腰和底是求解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：以水平面所在的直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，为原点，
由题意可得：米，坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
把点坐标代入抛物线解析式得，
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，，
水面下降米，
故答案为：．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把代入抛物线解析式得出，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
，，，，
，
弧的半径为，
弧的长．
故答案为：．
根据题意可得，，，，可发现规律半径每次增加，根据，可判定弧的圆心是点，即可算出弧的半径为，根据弧长计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应用弧长的计算方法进行求解是解决本题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先计算零指数幂和负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，继而计算加减即可．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的规定及绝对值的性质．
18.【答案】解：原式
，
，
，，
当时，原式，
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：把点代入函数为常数，得：，
反比例函数的解析式．
，
，
，
点的坐标为，
把，代入得，
解得，
一次函数的解析式；
当时，不等式的解集为．
【解析】利用待定系数法即可解答；
根据图象即可求得．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
20.【答案】
【解析】解：，．
又，
≌，
．
先组成一个真命题，利用三角形全等的判定求解．
本题考查真假命题，及全等三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】
【解析】解：本次随机调查的学生共有人，
，即；
故答案为：，；
的人数为人，
补全图形如下：
列表如下：
共有种可能的结果，恰好抽到两名女生的有种结果，
所以抽到两名女生的概率为．
由的人数及其所占百分比求出总人数，根据百分比之和为可得的值；
总人数乘以对应的百分比可得答案；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
22.【答案】解：设厂运送水泥吨，则厂运送水泥吨，
根据题意得：，
解得：，
此时，
答：厂运送水泥吨，厂运送水泥吨；
设从厂运往甲地水泥吨，则厂运往乙地水泥 吨，厂运往甲地水泥吨，厂运往乙地水泥吨，
由题意得：，
厂运往甲地的水泥最多吨，
，
解得；，
，
随的增大而增大，
当时，总费用最低，
最低运费为：元，
最低运送方案为厂运往甲地水泥吨，运往乙地水泥吨：厂运往甲地水泥吨，厂运往乙地水泥吨，最低运费为元．
【解析】设厂运送水泥吨，则厂运送水泥吨，根据、两厂向甲乙两地运送水泥共吨列出方程，解方程即可；
设从厂运往甲地水泥吨，则厂运往乙地水泥 吨，厂运往甲地水泥吨，厂运往乙地水泥吨，然后根据题意列出总费用关于的函数解析式，并根据函数的性质求最值，以及此时的值．
此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
23.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
根据题意，米，，
米，
米，
米，
米，，
米，
米，
米，
菜园与果园之间的距离为米．
【解析】过点作于点，过点作于点，可知四边形是矩形，根据题意，在中，根据和求出和的长，再在中，根据求出的长，进一步即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形运用三角函数是解题的关键．
24.【答案】解：图形如图所示：

【解析】利用轴对称图形，中心对称图形的性质，画出图形即可．
本题考查利用作图设计图案，等边三角形的判定和性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
的半径为．
【解析】连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：抛物线的图象经过点，点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
存在．
理由：如图中，设，连接．
令，则，
解得或，
，，
，
，
，
，
时，的面积最大，最大值为，此时；
如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点则；
，，
，
当时，是等腰直角三角形，
，
，
当时，是等腰直角三角形，可得，
当时，设，设的中点为，连接，则，
，
，
解得或，
，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【解析】把点，两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；
存在．如图中，设，连接构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；
如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点则，分三种情形：，，，分别求解可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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