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第15讲 幂的运算
知识点1 同底数幂的乘法
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（m，n是正整数）
（2）推广：（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
【典例】
【题干】如果a2n﹣1 an+2=a7，则n的值是_____
【答案】2
【解析】解：∵a2n﹣1 an+2=a2n﹣1+n+2
=a3n+1，
a2n﹣1 an+2=a7，
∴ a3n+1= a7，
∴3n+1=7，
解得n=2．
【方法总结】
本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相加，确定积的次数，再列方程即可求得m的值．
2.已知am=3，an=6，ak=4，求am+n+k的值．
【答案】略．
【解析】解：am+n+k=am an ak
∵am=3，an=6，ak=4，
∴am+n+k=am an ak
=3×6×4
=72．
故am+n+k的值为72．
【方法总结】
本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将am+n+k变形为am an ak，然后将am=3，an=6，ak=4，代入am an ak，求解即可．
3.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013①，将等式两边同时乘2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014②
将②减去①得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【答案】（1）略；
（2）略．
【解析】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210①，
将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+…+210+211②，
将②减去①得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；
（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，
两边同时乘3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
②﹣①得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），
则1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1﹣1）．
【方法总结】
此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键． 解答此题常用的方法是“a倍的错位相减”即可求解．如：求1+a+a2+a3+a4+…+an(a不等于0)的和．
解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
两边同时乘a得：aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②﹣①得：aS﹣S=an+1﹣1，
即S=（an+1﹣1），
则1+a+a2+a3+a4+…+an=（an+1﹣1）．
注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．
【随堂练习】
1．（2018 红桥区一模）计算（﹣a）3 a2的结果等于_____．
【解答】解：（﹣a）3 a2
=﹣a3 a2
=﹣a5，
故答案为：﹣a5．
　
2．（2018春 海港区期中）（1）运用同底数幂的乘法可以得到a a a2 a2=a6，再写出两个不同的算式（a2 a a3与a a2 a3算同一个算式），只运用同底数幂的乘法计算，可以得到a6（指数为正整数）：____=a6，___=a6．
（2）按照（1）的要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到a6的不同算式共有____个．
【解答】解：（1）a a5=a6，a2 a4=a6，
（2）a a a a a a=a6，
a a a a a2=a6，
a a a a3=a6，
a a a4=a6，
a a5=a6，
a a a2 a2=a6，
a a2 a3=a6，
a2 a2 a2=a6，
a2 a4=a6，
a3 a3=a6，
故运算结果可以得到a6的不同算式共有10个．
故答案为：a a5；a2 a4；10．
知识点2 幂的乘方
1．幂的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
【典例】
1.若81x=312，则x=__________．
【答案】3．
【解析】解：81x=34x，
∵81x=312，
∴34x=312，
即34x=312，
∴4x=12，
x=3，
故答案为：3．
【方法总结】
本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．
2.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_______
【答案】a2b3
【解析】解：∵32x+3y=32x 33y
=（3x）2 （3y）3
∴当3x=a，3y=b时，
原式=（3x）2 （3y）3
=a2b3，
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2 （3y）3是解答本题的关键．
3.比较3555，4444，5333的大小．
【解析】解：∵3555=35×111=（35）111=243111，
4444=44×111=（44）111=256111，
5333=53×111=（53）111=125111，
又∵256＞243＞125，
∴256111＞243111＞125111，
即4444＞3555＞5333．
【方法总结】
本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
知识点3 积的乘方
1．积的乘方
（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=an bn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【典例】
1.用简便方法计算下列各题：
（1）（）2016×（﹣1.25）2017
（2）（2）10×（﹣）10×（）11．
【答案】（1）略；
（2）略．
【解析】解：（1）（）2016×（﹣1.25）2017
=（）2016×（﹣）2017
=（）2016×（﹣）2016 ×（﹣）
=[×（﹣1.25）]2016×（﹣）
=（）2016×（﹣）
=﹣；
（2）（2）10×（﹣）10×（）11
=（）10×（﹣）10×（）11
=（）10×（﹣）10×（）10×
=[×（﹣）×]10×
=．
【方法总结】
此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是和﹣，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是、﹣、，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．
2.（1）已知an=3，bn=5，求（a2b）n的值；
（2）若2n=3，3n=4，求36n．
【解析】解：（1）∵（a2b）n=（a2）n bn
=a2×n bn
= （an）2 bn；
∴（a2b）n = （an）2 bn
∴（a2b）n = （an）2 bn
=32×5
=45；
（2）36n═（62）n
=（6n）2
=【（2×3）n】2
=（2n×3n）2
=（3×4）2
=144．
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a2b）n 转变为（an）2 bn，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．
【随堂练习】
1．（2017春 宜兴市月考）设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小．小明想到了如下方法：m=2100=（24）25=1625，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小．
【解答】解：x=430=（43）10=6410，y=340=（34）10=8110，
∵64＜81，
∴6410＜8110，
∴x＜y．
　
2．（2018 铜仁市模拟）计算：=___．
【解答】解：原式=（﹣3）2×（﹣3）2015×（﹣）2015
=9×[（﹣3）×（﹣）]2015
=9×12015
=9×1
=9，
故答案为：9．
知识点4 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
2．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00无意义．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
【典例】
【题干】（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=______
【答案】（a+b+c）4
【解析】解：（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1
=（a+b+c）n+3﹣n+1
=（a+b+c）4．
【方法总结】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．
2.若2018m=5，2018n=4，则20183m﹣2n等于____
【答案】
【解析】解：∵20183m﹣2n=20183m÷20182n
=（2018m）3÷（2018n）2
∴20183m﹣2n=（2018m）3÷（2018n）2
∵2018m=5，2018n=4，
∴20183m﹣2n=（2018m）3÷（2018n）2，
=53÷42，
=．
【方法总结】
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将20183m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成20183m÷20182n的形式，再利用幂的乘方法则，将20183m，20182n分别用（2018m）3、（2018n）2代换，即20183m÷20182n转化成为（2018m）3÷（2018n）2，然后将2018m=5，2018n=4代入（2018m）3÷（2018n）2即可求解．
【随堂练习】
1．（2016春 金堂县期末）已知m=，n=，那么2016m﹣n=_____．
【解答】解：∵m===，
∴m=n，
∴2016m﹣n=20160=1．
故答案为：1．
　
2．（2018春 兴化市期中）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若9×27x=317，求x的值；
（2）已知ax=﹣2，ay=3，求a3x﹣2y的值；
（3）若x=×25m+×5m+，y=×25m+5m+1，请比较x与y的大小．
【解答】解：（1）∵9×27x=317，
∴33x+2=317，
∴3x+2=17，
∴x=5；
（2）∵ax=﹣2，ay=3，
∴a3x﹣2y=（a3x）÷（a2y）=（ax）3÷（ay）2=（﹣2）3÷32=﹣8÷9=﹣；
（3）令5m=t，则25m=（52）m=（5m）2=t2，
∴x=×25m+×5m+=，y=，
∴y﹣x==＞0，
∴x＜y．
　
3．（2018春 蚌埠期末）已知（am）n=a6，（am）2÷an=a3
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）求4m2+n2的值．
【解答】解：（1）∵（am）n=a6，（am）2÷an=a3，
∴amn=a6、a2m﹣n=a3，
则mn=6、2m﹣n=3；
（2）当mn=6、2m﹣n=3时，
4m2+n2=（2m﹣n）2+4mn
=32+4×6
=9+24
=33．
综合运用
1.已知ma+b ma﹣b=m12，则a的值为_________．
【答案】6．
【解析】解：∵ma+b ma﹣b=m12，
∴ma+b+a-b=m12，
∴a+b+a-b=12即2a=12．
解得：a=6．
2.若102 10n﹣1=106，则n的值为_________．
【答案】5．
【解析】解：∵102 10n﹣1=106，
∴102+n﹣1=106，
∴2+n﹣1=6，
解得n=5，
故答案为：5．
3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
【答案】略．
【解析】解：2a+b+3=2a×2b×23
∵2a=5，2b=3，
∴2a+b+3=2a×2b×23
=5×3×8
=120．
4.已知2x+3y﹣2=0，求9x 27y的值．
【答案】略．
【解析】解：∵9x 27y=（32）x （33）y
=32x 33y
=32x+3y
∴9x 27y=32x+3y
∵2x+3y﹣2=0，
∴2x+3y=2，
∴9x 27y=32x+3y
=32
=9．
5.根据已知求值：
（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．
【答案】略．
【解析】解：（1）∵a3m+2n=a3m a2n
=（am）3 （an）2
∴a3m+2n =（am）3 （an）2；
∵am=2，an=5，
∴a3m+2n =（am）3 （an）2
=23×52
=200；
（2）∵ 3×9m×27m=31×（32）m×（33）m
=31×32m×33m
=31+5m，
∴3×9m×27m=31+5m，
∵3×9m×27m=321，
∴31+5m=321，
∴1+5m=21，解得m=4．
6.用简便方法计算下列各题
（1）（）2015×（﹣1.25）2016．
（2）（3）12×（）11×（﹣2）3．
【答案】略．
【解析】解：（1）
=
=
=[]2015×（﹣）
=﹣1×（﹣）
=；
（2）原式=×（）11×（）11×（﹣8）
=×（）11×（）11
=﹣25×
=﹣25．
7.计算
（1）（m﹣n）2 （n﹣m）3 （n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3 a3+（2a3）2；
【答案】（1）略；
（2）略；
（3）略．
【解析】解：（1）（m﹣n）2 （n﹣m）3 （n﹣m）4
=（n﹣m）2+3+4，
=（n﹣m）9；
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
=b2n×3 b3×4n÷b5×（n+1）
=b6n b12n÷b5n+5
=b6n+12n÷b5n+5
=b6n+12n﹣(5n+5)
=b6n+12n﹣5n-5
=b13n﹣5；
（3）（a2）3﹣a3 a3+（2a3）2
=a2×3﹣a3+3+22 （a3）2
=a2×3﹣a3+3+22 a3×2
=a6﹣a6+4a6
=4a6；
17第15讲 幂的运算
知识点1 同底数幂的乘法
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（m，n是正整数）
（2）推广：（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
【典例】
【题干】如果a2n﹣1 an+2=a7，则n的值是_____
【方法总结】
本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相加，确定积的次数，再列方程即可求得m的值．
2.已知am=3，an=6，ak=4，求am+n+k的值．
【方法总结】
本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将am+n+k变形为am an ak，然后将am=3，an=6，ak=4，代入am an ak，求解即可．
3.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
【方法总结】
此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键． 解答此题常用的方法是“a倍的错位相减”即可求解．如：求1+a+a2+a3+a4+…+an(a不等于0)的和．
解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
两边同时乘a得：aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②﹣①得：aS﹣S=an+1﹣1，
即S=（an+1﹣1），
则1+a+a2+a3+a4+…+an=（an+1﹣1）．
注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．
【随堂练习】
1．（2018 红桥区一模）计算（﹣a）3 a2的结果等于_____．
　
2．（2018春 海港区期中）（1）运用同底数幂的乘法可以得到a a a2 a2=a6，再写出两个不同的算式（a2 a a3与a a2 a3算同一个算式），只运用同底数幂的乘法计算，可以得到a6（指数为正整数）：____=a6，___=a6．
（2）按照（1）的要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到a6的不同算式共有____个．
知识点2 幂的乘方
1．幂的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
【典例】
1.若81x=312，则x=__________．
【方法总结】
本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．
2.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_______
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2 （3y）3是解答本题的关键．
3.比较3555，4444，5333的大小．
【方法总结】
本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
知识点3 积的乘方
1．积的乘方
（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=an bn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【典例】
1.用简便方法计算下列各题：
（1）（）2016×（﹣1.25）2017
（2）（2）10×（﹣）10×（）11．
【方法总结】
此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是和﹣，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是、﹣、，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．
2.（1）已知an=3，bn=5，求（a2b）n的值；
（2）若2n=3，3n=4，求36n．
【方法总结】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a2b）n 转变为（an）2 bn，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．
【随堂练习】
1．（2017春 宜兴市月考）设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小．小明想到了如下方法：m=2100=（24）25=1625，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小．
　
2．（2018 铜仁市模拟）计算：=___．
知识点4 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
2．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00无意义．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
【典例】
【题干】（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=______
【方法总结】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．
2.若2018m=5，2018n=4，则20183m﹣2n等于____
【方法总结】
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将20183m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成20183m÷20182n的形式，再利用幂的乘方法则，将20183m，20182n分别用（2018m）3、（2018n）2代换，即20183m÷20182n转化成为（2018m）3÷（2018n）2，然后将2018m=5，2018n=4代入（2018m）3÷（2018n）2即可求解．
【随堂练习】
1．（2016春 金堂县期末）已知m=，n=，那么2016m﹣n=_____．
　
2．（2018春 兴化市期中）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若9×27x=317，求x的值；
（2）已知ax=﹣2，ay=3，求a3x﹣2y的值；
（3）若x=×25m+×5m+，y=×25m+5m+1，请比较x与y的大小．
　
3．（2018春 蚌埠期末）已知（am）n=a6，（am）2÷an=a3
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）求4m2+n2的值．
综合运用
1.已知ma+b ma﹣b=m12，则a的值为_________．
2.若102 10n﹣1=106，则n的值为_________．
3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
4.已知2x+3y﹣2=0，求9x 27y的值．
5.根据已知求值：
（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．
6.用简便方法计算下列各题
（1）（）2015×（﹣1.25）2016．
（2）（3）12×（）11×（﹣2）3．
7.计算
（1）（m﹣n）2 （n﹣m）3 （n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3 a3+（2a3）2；
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