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第4讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
（2）（﹣1）+（-）；
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【解析】解：（1）4+（-6）
=﹣（6﹣4）
=﹣2．
（2）（﹣1）+（-）
=-（+）
=-（+）
=﹣；
（3）-2-（﹣3.5）
=-2+3.5
=3.5-2
=1.5；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）
=9+3
=12；
（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
=（1.4﹣1.6﹣4.3）﹣（﹣1.5）
=﹣4.5+1.5
=﹣3．
【难度】中
【结束】
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
（2）；
（3）；
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.
【解析】解：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5
=（﹣2.4）+3.5+（﹣4.6）+3.5
=[（﹣2.4）+（﹣4.6）]+（3.5+3.5）
=-7+7
=0；
（2）
=
=
=-10+
=﹣8．
（3）原式=
=（﹣2009）+（﹣）+（﹣2008）+（﹣）+4018++（﹣1）+（﹣）
=[（﹣2009）+（﹣2008）+4018+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1．
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）
=（1﹣2）+（3﹣4）…+（2015﹣2016）+（2017﹣2018）
=﹣1+（-1）+（-1）+…+（-1）（共1009个-1）
=﹣1009．
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．（2018秋 江阴市期末）已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
【解答】解：∵|b|＝8，
∴b＝±8，
又∵a＝5，a+b＜0，
∴b＝﹣8，
则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，
故选：D．
2．（2018秋 滨州期末）若a与b互为相反数，则a+b等于（　　）
A．0 B．﹣2a C．2a D．﹣2
【解答】解：若a与b互为相反数，则a+b＝0，
故选：A．
3．（2018秋 怀柔区期末）在下列变形中，错误的是（　　）
A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5
B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3﹣﹣5
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
【解答】解：A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5，本选项正确；
B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3++5，本选项错误；
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，本选项正确；
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，本选项正确；
故选：B．
4．（2019 江岸区校级模拟）|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（　　）
A．a，b的绝对值相等
B．a，b异号
C．a+b的和是非负数
D．a、b同号或a、b其中一个为0
【解答】解：A、当a、b的绝对值相等时，如a＝1，b＝﹣1，|a|+|b|＝2，|a+b|＝0，即|a|+|b|≠|a+b|，故本选项不符合题意；
B、当a、b异号时，如a＝1，b＝﹣3，|a|+|b|＝4，|a+b|＝2，即|a|+|b|≠|a+b|，故本选项不符合题意；
C、当a+b的和是非负数时，如：a＝﹣1，b＝3，|a|+|b|＝4，|a+b|＝2，即即|a|+|b|≠|a+b|，故本选项不符合题意；
D、当a、b同号或a、b其中一个为0时，|a|+|b|＝|a+b|，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（2018秋 淮安期末）若|x|＝7，|y|＝3，且x＞y，则y﹣x等于（　　）
A．﹣4 B．﹣10 C．4或10 D．﹣4或﹣10
【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝3，
∴x＝±7，y＝±3，
∵x＞y，
∴x＝7，y＝3或x＝7，y＝﹣3，
∴当x＝7，y＝3时，y﹣x＝﹣4；
当x＝7，y＝﹣3时，y﹣x＝﹣10，
故选：D．
　
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
（3）；
（4）．
【解析】解：（1）（﹣2）×（﹣8）=2×8，=16；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）=8÷=8×，=；
（3）11÷×（﹣），=﹣11×7×，=﹣28；
（4）（﹣1.5）×÷（﹣）×，=×××，=．
【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．
2.计算：
（1）×（﹣）××；
（2）29（﹣）；
（3）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）.
【解析】解：（1）原式=（×）×（﹣×）=×（﹣）=﹣．
（2）原式=（30﹣）×（﹣12）=30×（﹣12）﹣×（﹣12）=﹣360+=﹣359；
（3）原式=（﹣）×[（﹣5）+13﹣3]=（﹣）×5=﹣11．
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．（2019 颍上县一模）如果x的倒数是，那么x的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：由题意，得x＝﹣．
故选：A．
2．（2018秋 道里区期末）下列说法错误的有（　　）
①任何数都有倒数；
②在一个比例中，若两内项之积为20，则两外项为4和5；
③比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数，比值不变；
④直径是半径的2倍；
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
【解答】解：①0没有倒数，此结论错误；
②在一个比例中，若两内项之积为20，则两外项之积为20，此结论错误；
③比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数，比值改变，此结论错误；
④只有在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，此结论错误；
故选：A．
3．（2018秋 晋安区期末）若2019×24＝m，则2019×25的值可表示为（　　）
A．m+1 B．m+24 C．m+2019 D．m+25
【解答】解：∵2019×24＝m，
∴2019×25
＝2019×（24+1）
＝2019×24+2019
＝m+2019，
故选：C．
4．（2018秋 岳池县期末）下列说法正确的是（　　）
A．绝对值是它本身的数只有0
B．如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0
C．整数只包括正整数和负整数
D．﹣1是最大的负有理数
【解答】解：A、绝对值是它本身的数是非负数，故此选项错误；
B、如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0，正确；
C、整数只包括正整数和负整数、0，故此选项错误；
D、﹣1是最大的负整数，故此选项错误．
故选：B．
5．（2018秋 湘桥区期末）如图，下列结论正确的是（　　）
A．c＞a＞b B． C．|a|＜|b| D．abc＞0
【解答】解：A、由数轴得：a＜b＜c，故选项A不正确；
B、∵0＜b＜1＜c，
∴＞，
故选项B正确；
C、由数轴得：|a|＞|b|，
故选项C不正确；
D、∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
故选项D不正确；
故选：B．
6．（2018秋 龙岗区期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（　　）
A． B．49！ C．2450 D．2！
【解答】解：＝＝50×49＝2450
故选：C．
二．填空题（共1小题）
7．（2019 南京一模）在﹣3、4、﹣2、5四个数中，任意两个数之积的最小值为　﹣15　．
【解答】解：（﹣3）×4＝﹣12，（﹣3）×（﹣2）＝6，（﹣3）×5＝﹣15；
4×（﹣2）＝﹣8，4×5＝20，（﹣2）×5＝﹣10，
∵﹣15＜﹣12＜﹣10＜﹣8＜6＜20，
∴在﹣3、4、﹣2、5四个数中，任意两个数之积的最小值为﹣15．
故答案为：﹣15．
知识点3 乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
（2）在中，叫做底数，叫做指数；
（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【解析】解：∵折一次厚度是这张纸的21倍，折两次厚度就是这张纸的22倍，折三次厚度就是这张纸的23倍，
∴这张纸连续对折8次时厚度就是这张纸的28倍，
又∵这张纸的厚度为0.09mm，
∴连续对折8次时这张纸的厚度是：0.09×28=0.09×256，
=23.04（mm）．
对折15次后纸的厚度为0.09×215=2949.12（mm）≈2.9m，
所以对折15次后，所得的厚度可以超过自己的身高．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
2.若，则yx=__________．
【解析】解：根据题意得，
解得，
则yx=（）2=．
故答案是：．
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可求解．
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【答案】
【解析】解：（1）将102000000000000用科学记数法表示为：1.02×1014；
（2）将690000用科学记数法表示为：6.9×105；
（3）∵102000000000000÷300000=340000000（s），
∴将340000000用科学记数法表示为：3.4×108．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．（2019春 峄城区期末）将9.52变形正确的是（　　）
A．9.52＝92+0.52
B．9.52＝（10+0.5）×（10﹣0.5）
C．9.52＝92+9×0.5+0.52
D．9.52＝102﹣2×10×0.5+0.52
【解答】解：9.52＝（10﹣0.5）2＝102﹣2×10×0.5+0.52；
故选：D．
2．（2019 武汉模拟）对于数133，规定第一次操作为13+33+33＝55，第二次操作为53+53＝250，如此反复操作，则第2019次操作后得到的数是（　　）
A．25 B．250 C．55 D．133
【解答】解：第一次操作：13+33+33＝55
第二次操作：53+53＝250
第三次操作：23+53+03＝133
∴三次操作后是一个循环
∵2019÷3＝673，即2019被3整除
∴2019次操作后的数与第三次操作后的得数相同，为133
故选：D．
3．（2019 鼓楼区校级模拟）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则7×6！的值为（　　）
A．42！ B．7! C．6×7！ D．6×7！
【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝7×6×5×4×3×2×1＝7！，
故选：B．
4．（2018秋 秦淮区期末）下列各组数中，结果相等的是（　　）
A．+32与+23 B．﹣23 与（﹣2）3
C．﹣32与（﹣3）2 D．|﹣3|3与（﹣3）3
【解答】解：A、+32＝9≠+23＝8，错误；
B、﹣23＝﹣8＝（﹣2）3，正确；
C、﹣32＝﹣9≠（﹣3）2＝9，错误；
D、|﹣3|3＝27≠（﹣3）3＝﹣27．错误；
故选：B．
5．（2018秋 凉山州期末）m为任意有理数，下列说法错误的是（　　）
A．（m+1）2的值总是正的 B．m2+1的值总是正的
C．|m+1|的值为非负数 D．|m|+1的值不小于1
【解答】解：A、当m＝﹣1时，（m+1）2的值是0，错误；
B、m2+1的值总是正的，正确；
C、|m+1|的值为非负数，正确；
D、|m|+1的值不小于1，正确；
故选：A．
6．（2019春 九龙坡区校级月考）已知|a|＝3，b2＝25，且a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．2或8 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣8 D．﹣2或8
【解答】解：∵|a|＝3，b2＝25，且a+b＜0，
∴a＝﹣3，b＝﹣5或a＝3，b＝﹣5，
∴a﹣b＝2或8，
故选：A．
　
综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
【解析】解：∵|a|=2，c是最大的负整数，
∴a=±2，c=﹣1．
当a=2时，a+b﹣c=2+（﹣3）﹣（﹣1）=2﹣3+1=0；
当a=﹣2时，a+b﹣c=﹣2+（﹣3）﹣（﹣1）=﹣2﹣3+1=﹣4．
故答案为0或-4.
2.2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=____．
【解析】解：原式=2.5﹣2.25﹣1.75﹣0.5
=2.5﹣0.5﹣（2.25+1.75）
=2﹣4
=﹣2，
故答案为：﹣2．
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
【解析】解：105 000=1.05×105．
故答案为：1.05×105．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．
【解析】解：1米长的绳子，第一次剪去一半后剩下；
第二次剪去剩下的一半后剩下的一半是；
第三次再剪去的一半后剩下；
第三次再剪去的一半剩下．
第n次后剩下（）n=．
故答案为：，．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
【解析】解：∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1=2（条），
对折3次比对折2次折痕多7﹣3=4=22（条），
对折4次比对折3次折痕多15﹣7=8=23（条），
……
∴对折10次比对折9次折痕多29条，
故答案为：29．
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
【解析】解：原式=﹣0.5+6+7+4.75
=（﹣0.5+7）+（6）
=（﹣0.5+7.5）+（6）
=7+11
=18．
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
【解析】解：（1）18﹣9+7﹣14﹣3+11﹣6﹣8+6+15=+17．
则养护小组最后到达的地方在出发点的东边，17千米处；
（2）养护过程中，通过计算绝对值可知该小组距离出发点的距离依次为18,9,16,2,1,10,4,4,2,17，
所以养护过程中，最远处离出发点是18千米；
（3）（18+9+7+14+3+11+6+8+6+15）a=97a.
答：这次养护小组的汽车共耗油97a升．
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（2）9×15；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【解析】解：（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）
=﹣（100×0.01）×（14×6）
=﹣1×84
=﹣84；
（2）9×15
=（10﹣）×15
=10×15﹣×15
=150﹣
=149；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）
=﹣100×0.125﹣0.125×35.5+14.5×（﹣0.125）
=0.125×（﹣100﹣35.5﹣14.5）
=×（﹣150）
=﹣；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…×（19﹣20）
=（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）（共19个-1）
=﹣1．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.
【解析】解：依题意得：（x+3）2=0，|3x+y+m|=0，
即x+3=0，3x+y+m=0，
∴x=﹣3，
∴﹣9+y+m=0，即m=9﹣y，
根据y的平方等于它本身，可知y=0或1.
当y=0时，有m=9-0=9，m=9；
当y=1时，有m=9-1=8，m=8.
∴m的值为9或8.
1第4讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
（2）（﹣1）+（-）；
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
（2）；
（3）；
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．（2018秋 江阴市期末）已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
2．（2018秋 滨州期末）若a与b互为相反数，则a+b等于（　　）
A．0 B．﹣2a C．2a D．﹣2
3．（2018秋 怀柔区期末）在下列变形中，错误的是（　　）
A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5
B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3﹣﹣5
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c
D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
4．（2019 江岸区校级模拟）|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（　　）
A．a，b的绝对值相等
B．a，b异号
C．a+b的和是非负数
D．a、b同号或a、b其中一个为0
5．（2018秋 淮安期末）若|x|＝7，|y|＝3，且x＞y，则y﹣x等于（　　）
A．﹣4 B．﹣10 C．4或10 D．﹣4或﹣10
　
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
（3）；
（4）．
【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．
2.计算：
（1）×（﹣）××；
（2）29（﹣）；
（3）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）.
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．（2019 颍上县一模）如果x的倒数是，那么x的值为（　　）
A． B． C．1 D．
2．（2018秋 道里区期末）下列说法错误的有（　　）
①任何数都有倒数；
②在一个比例中，若两内项之积为20，则两外项为4和5；
③比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数，比值不变；
④直径是半径的2倍；
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
3．（2018秋 晋安区期末）若2019×24＝m，则2019×25的值可表示为（　　）
A．m+1 B．m+24 C．m+2019 D．m+25
4．（2018秋 岳池县期末）下列说法正确的是（　　）
A．绝对值是它本身的数只有0
B．如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0
C．整数只包括正整数和负整数
D．﹣1是最大的负有理数
5．（2018秋 湘桥区期末）如图，下列结论正确的是（　　）
A．c＞a＞b B． C．|a|＜|b| D．abc＞0
6．（2018秋 龙岗区期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（　　）
A． B．49！ C．2450 D．2！
二．填空题（共1小题）
7．（2019 南京一模）在﹣3、4、﹣2、5四个数中，任意两个数之积的最小值为　　．
知识点3 乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
（2）在中，叫做底数，叫做指数；
（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
2.若，则yx=__________．
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可求解．
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．（2019春 峄城区期末）将9.52变形正确的是（　　）
A．9.52＝92+0.52
B．9.52＝（10+0.5）×（10﹣0.5）
C．9.52＝92+9×0.5+0.52
D．9.52＝102﹣2×10×0.5+0.52
2．（2019 武汉模拟）对于数133，规定第一次操作为13+33+33＝55，第二次操作为53+53＝250，如此反复操作，则第2019次操作后得到的数是（　　）
A．25 B．250 C．55 D．133
3．（2019 鼓楼区校级模拟）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则7×6！的值为（　　）
A．42！ B．7! C．6×7！ D．6×7！
4．（2018秋 秦淮区期末）下列各组数中，结果相等的是（　　）
A．+32与+23 B．﹣23 与（﹣2）3
C．﹣32与（﹣3）2 D．|﹣3|3与（﹣3）3
5．（2018秋 凉山州期末）m为任意有理数，下列说法错误的是（　　）
A．（m+1）2的值总是正的 B．m2+1的值总是正的
C．|m+1|的值为非负数 D．|m|+1的值不小于1
6．（2019春 九龙坡区校级月考）已知|a|＝3，b2＝25，且a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．2或8 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣8 D．﹣2或8
　
综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
2.2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=____．
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（2）9×15；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.
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