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第5讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右进行；
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1.计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]；
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×；
（3）×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×+1|.
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣×（2﹣9）=﹣1-×（-7）=-1+=；
（2）原式=﹣4+|﹣3|﹣24××=﹣4+3﹣=﹣．
（3）原式=﹣×（﹣8）÷4﹣2×|（﹣1）×+1|=1×﹣2×=﹣=﹣．
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（2017秋 徐州期末）计算：
（1）﹣12018+|﹣4|+2×（﹣3）；
（2）（）×（﹣24）
【解答】解：（1）原式=﹣1+4﹣6=﹣3；
（2）原式=15+4﹣14=5．
　
2．（2017秋 大余县期末）计算：
（1）23×（1﹣）×0.5
（2）﹣22+[18﹣（﹣3）×2]÷4
【解答】解：（1）23×（1﹣）×0.5
=8××
=3；
（2）﹣22+[18﹣（﹣3）×2]÷4
=﹣4+[18+6]÷4
=﹣4+24÷4
=﹣4+6
=2．
　
3．（2017秋 沾化区期末）计算题
（1）（﹣5）
（2）|﹣|÷（）﹣．
【解答】解：（1）原式=﹣15+8×（﹣）
=﹣15+（﹣10）
=﹣25；
（2）原式=﹣17+（﹣17）﹣（﹣）
=﹣34+
=﹣33．
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.
【典例】
1.计算：
（1）﹣14﹣（﹣+）×24；
（2）×（﹣5）+（﹣）×9﹣×8；
（3）|4﹣4|+（）﹣（+5）．
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣（﹣+×24）=﹣1﹣（16-18+4）=﹣1﹣2
=﹣3．
（2）原式=（-）×5+（﹣）×9+（﹣）×8=﹣×（5+9+8）=﹣×22=﹣7；
（3）原式=|﹣|+（﹣+﹣）×12﹣4﹣5=+（﹣）×12++（﹣）×12﹣4﹣5
=﹣6+8﹣2﹣4﹣5=﹣8．
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.
【解析】解：（1）1+3+5+7+9+…+19=（）2=100；
故答案为100.
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）
=（）2，
=（n+2）2；
故答案为：（n+2）2；
（3）1001+1003+1005+…+2009+2017，
=（）2﹣（）2，
=10092﹣5002，
=1018081﹣250000，
=768081．
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（2018 包河区二模）观察下列关于自然数的等式：
①2×0+1=12，
②4×2+1=32，
③8×6+1=72，
④16×14+1=152；
…
（1）请按规律写出第⑤个式子：_______；
（2）根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性．
【解答】解：（1）律写出第⑤个式子为：32×30+1=312；
故答案为：32×30+1=312；
（2）根据题意得：第n个等式为2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2；
左边=22n﹣2n+1+1，右边=22n﹣2n+1+1，
∵左边=右边，
∴2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2．
　
2．（2017秋 鄄城县期末）阅读材料，求1+3+32+33+34+……+32017的值．
解：设S=1+3+32+33+34+…+32017……………①
①×3得：3S=3+32+33+34+35+……+32018……………②
②﹣①得：2S=32018﹣1
所以S=
请你仿上述方法计算：
（1）1+2+22+23+……+22017
（2）1+5+52+53+……+5n（其中n为正整数）．
【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+……+22017①，
则有2S=2+22+23+……+22018②，
②﹣①得：S=22018﹣1，
则1+2+22+23+……+22017=22018﹣1；
（2）设S=1+5+52+53+……+5n①，
则有5S=5+52+53+……+5n+1②，
②﹣①得：4S=5n+1﹣1，
则1+5+52+53+……+5n=（5n+1﹣1）．
　
3．（2018春 工业园区期末）观察下列等式：
①1×3+1=4； ②3×5+1=16； ③5×7+1=36；…
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第④个等式为______；
（2）写出第n个等式，并验证其正确性．
【解答】解：（1）∵第①个等式为1×3+1=4×12，
第②个等式为3×5+1=16=4×22，
第③个等式为5×7+1=36=4×32，
……
∴第④个等式为7×9+1=4×42=64，
故答案为：7×9+1=64；
（2）由（1）知第n个等式为：（2n﹣1）（2n+1）+1=4n2，
∵左边=4n2﹣1+1=4n2=右边，
∴（2n﹣1）（2n+1）+1=4n2．
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．
【解析】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，
∴a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0，
∴x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017
=（﹣1）2+（0+1）（﹣1）+02017+（﹣1）2017﹣02017
=1﹣1+0﹣1﹣0
=﹣1
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（2017秋 岳池县期中）小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，则+1+m﹣cd的值为多少？
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数．
∴a+b=0，cd=1
又∵|m|=2
∴m=2或﹣2
当m=2时，原式=0+1+2﹣1=2，
当m=﹣2时，原式=0+1﹣2﹣1=﹣2．
　
2．（2017秋 澜沧县期中）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值最小的数．求：代数式的值．
【解答】解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值最小的数，
所以a+b=0，cd=1，m=0，
所以原式=0+2017﹣0=2017．
　
3．（2017秋 临泽县校级期中）已知：有理数m所表示的点到原点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．
求：2（a+b）﹣（﹣3cd）﹣|m|的值．
【解答】解：∵有理数m所表示的点到原点距离4个单位，
∴m=4或﹣4；
根据题意得：a+b=0，cd=1，
当m=4时，原式=﹣2；当m=﹣4时，原式=﹣2，
则原式的值为﹣2．
知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【解析】解：（1）20﹣4=16（个）；
故答案为：16．
（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+6）+0
=10﹣12﹣4+8﹣1+6
=7，
∴140+7=147（个）．
故本周实际生产玩具147个；
故答案为： 147．
（3）147×5+（10+8+6）×3+（12+4+1）×（﹣3）
=735+24×3+17×（﹣3）
=735+72﹣51
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资总额是756元；
（4）147×5+7×3
=735+21
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．
【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2017秋 资中县期中）国庆黄金周期间，小明一家去峨眉山旅游．现已知峨眉山地区海拔每升高50米，气温就下降0.3℃，位于峨眉山山脚的报国寺海拔高度约为530米，峨眉山山顶的金顶海拔高度约为3080米，某天山脚的报国寺最低气温为14℃，此时山顶的金顶气温为多少？
【解答】解：由题意可得，
此时山顶的金顶气温为：14+（3080﹣530）÷50×（﹣0.3）=﹣1.3（℃），
答：此时山顶的金顶气温为﹣1.3℃．
　
　
　
　
2.（2017春 胶州市期中）在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10﹣来表示，请解答下列问题：
（1）若在该地有一座600m高的小山，则山顶的温度是多少？
（2）若在某处测得温度为7.6℃，则该项处的高度约为多少？
（3）在该地随着高度的升高，每升高1m，温度是怎样变化的？
【解答】解：（1）根据题意得：T=10﹣=10﹣4=6℃；
（2）根据题意得：7.6=10﹣，解得：d=360m；
（3）由题意得：（10﹣）﹣（10﹣）=﹣℃，
则每升高1m，温度会降低℃．
　
3．（2017秋 卫辉市期中）参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司规定的报销细则如下表．
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分 超过500至1000元的部分 超过1000至3000元的部分 … 0 60 80 …
①某人住院治疗花去医疗费800元，那么此人能得到保险公司报销的金额是多少元？
②某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是多少元？
【解答】解：①（800﹣500）×60%=180（元）；
所以，此人能得到保险公司报销的金额是180元；
②设此人的医疗费为x元．
如果医疗费是3000元，报销金额就是500×60%+2000×80%=1900（元）；
如果医疗费是1000元，报销金额就是500×60%=300（元）
所以此人住院的医疗费1000＜x＜3000，
报销金额500×60%+（x﹣1000）×80%=1260，
解得x=2200．
此人住院的医疗费是2200元．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【解析】解：把5代入计算程序中得：[5+（﹣1）]÷（﹣2）=4÷（﹣2）=﹣2＜0，
把﹣2代入计算程序中得：[（﹣2）+（﹣1）]÷（﹣2）=﹣3÷（﹣2）=＞0，
则输出的结果为，
故答案为.
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（2018 湘西州）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是　____．（用科学计算器计算或笔算）
【解答】解：将x=2代入得：3×（2）2﹣10=12﹣10=2．
故答案为：2．
　
2．（2018 朝阳区二模）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行程序框图，如果输入a，b的值分别为3，9，那么输出a的值为____．
【解答】解：当a=3、b=9时，b=9﹣3=6；
此时a=3、b=6，b=6﹣3=3，
则a=b=3，
所以输出a的值为3，
故答案为：3．
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；
（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，_________________．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【解析】解：（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，都得这个数的绝对值，
故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．
（2）原式=（﹣5） 12=﹣17；
（3）加法的交换律仍然适用，
例如：（﹣3） （﹣5）=8，（﹣5） （﹣3）=8，
所以（﹣3） （﹣5）=（﹣5） （﹣3），
故加法的交换律仍然适用．
【方法总结】
（1）根据题目给出的 （加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出 （加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的 （加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a b= b a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a b c= a （b c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（2017秋 宁江区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求（﹣2）☆3的值；
（2）若（☆3）=8，求a的值．
【解答】解：（1）（﹣2）☆3=﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）=﹣32；
（2）☆3=×32+2××3+=8a+8=8，
解得：a=0．
　
2．（2017秋 漳州期末）对于有理数a、b，定义运算：a b=ab﹣2a﹣2b+1．
（1）计算：5 4的值；
（2）计算：[（﹣2） 6] 3的值；
（3）定义的新运算“ ”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．
【解答】解：（1）5 4=5×4﹣2×4﹣2×5+1
=20﹣8﹣10+1
=21﹣18
=3；
（2）原式=[﹣2×6﹣2×（﹣2）﹣2×6+1] 3
=（﹣12+4﹣12+1） 3
=﹣19 3
=﹣19×3﹣2×（﹣19）﹣2×3+1
=﹣24；
（3）成立，
∵a b=ab﹣2a﹣2b+1、b a=ab﹣2b﹣2a+1，
∴a b=b a，
∴定义的新运算“ ”交换律还成立．
　
3．（2017秋 乐陵市期末）我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．
定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b．
例如：因为53=125，所以log5125=3；因为112=121，所以log11121=2．
（1）填空：log66=____，log381=_____．
（2）如果log2（m﹣2）=3，求m的值．
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMN=logaM logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
【解答】解：（1）∵61=6，34=81，
∴log66=1，log381=4，
故答案为：1、4；
（2）∵log2（m﹣2）=3，
∴m﹣2=23，解得：m=10；
（3）不正确，
设ax=M，ay=N，
则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵ax ay=ax+y，
∴ax+y=M N，
∴logaMN=x+y，
即logaMN=logaM+logaN．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．
【解析】解：[2×3+（﹣2）2]÷5
=[6+4]÷5
=10÷5
=2.
故答案为：2．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．
【解析】解：若x为偶数，可得x=3，即x=6；
若x为奇数，可得（x+1）=3，即x=5，
故答案为：5或6
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+值为_________.
【解析】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，
当m=2时，原式=2﹣1+0=1；
当m=﹣2时，原式=﹣2﹣1+0=﹣3，
故答案为 1或﹣3.
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）；
（2）（）÷（﹣）×；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷×[2﹣（﹣3）2]；
（4）.
【解析】解：（1）原式=-|﹣6|+3-2×（-3）
=﹣6+3+6
=3；
（2）原式=﹣×（﹣）×=1；
（3）原式=﹣1﹣÷×（2﹣9）
=﹣1﹣×7×（2﹣9）
=﹣1﹣×7×（﹣7）
=﹣1﹣（﹣）
=﹣1+
=．
（4）原式=
=
=
=
=2.2．
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：=1﹣，=﹣，=﹣，=﹣，……
那么：
（1）=；
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；
（3）计算：+++……．
【解析】解：（1）=﹣；
（2）根据题意得：=﹣；
（3）原式=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
【解析】解：（1）∵13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102，
∴13+23+33+43+53=152．
（2）左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数．
（3）13+23+33+43+…+1003
=（1+2+3+4+…+100）2
=50502
=25502500．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
【解析】解：180×5+（200﹣180）×7，
=900+140，
=1040（元）．
∵1040＞1000，
∴准备1000元的水费不够．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把（a≠0）记作a ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③=，（﹣）⑤=；
（2）关于除方，下列说法错误的是，
【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1 =1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣）⑩=_________________．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．
【解析】解：【概念学习】
（1）2③=2÷2÷2=，
（﹣）⑤=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）=﹣8
故答案为：，﹣8；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1 都等于1； 所以选项B正确；
C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
故选C；
【深入思考】
（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=（﹣3）×；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×；
（﹣）⑩=（﹣）×；
故答案为：（﹣3）×；5×；（﹣）×；
（2）a =a×n；
（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33，
=144÷[（﹣）×（﹣3）3]×[（﹣2）×（﹣）4]﹣[（﹣）×（﹣3）5]÷33，
=144÷9×﹣（﹣3）4÷33，
=16×（﹣）﹣3，
=﹣2﹣3，
=﹣5．
1第5讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右进行；
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1.计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]；
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×；
（3）×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×+1|.
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（2017秋 徐州期末）计算：
（1）﹣12018+|﹣4|+2×（﹣3）；
（2）（）×（﹣24）
2．（2017秋 大余县期末）计算：
（1）23×（1﹣）×0.5
（2）﹣22+[18﹣（﹣3）×2]÷4
　
3．（2017秋 沾化区期末）计算题
（1）（﹣5）
（2）|﹣|÷（）﹣．
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.
【典例】
1.计算：
（1）﹣14﹣（﹣+）×24；
（2）×（﹣5）+（﹣）×9﹣×8；
（3）|4﹣4|+（）﹣（+5）．
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（2018 包河区二模）观察下列关于自然数的等式：
①2×0+1=12，
②4×2+1=32，
③8×6+1=72，
④16×14+1=152；
…
（1）请按规律写出第⑤个式子：_______；
（2）根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性．
2．（2017秋 鄄城县期末）阅读材料，求1+3+32+33+34+……+32017的值．
解：设S=1+3+32+33+34+…+32017……………①
①×3得：3S=3+32+33+34+35+……+32018……………②
②﹣①得：2S=32018﹣1
所以S=
请你仿上述方法计算：
（1）1+2+22+23+……+22017
（2）1+5+52+53+……+5n（其中n为正整数）．
　
3．（2018春 工业园区期末）观察下列等式：
①1×3+1=4； ②3×5+1=16； ③5×7+1=36；…
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第④个等式为______；
（2）写出第n个等式，并验证其正确性．
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（2017秋 岳池县期中）小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，则+1+m﹣cd的值为多少？
　
2．（2017秋 澜沧县期中）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值最小的数．求：代数式的值．
　
3．（2017秋 临泽县校级期中）已知：有理数m所表示的点到原点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．
求：2（a+b）﹣（﹣3cd）﹣|m|的值．
知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2017秋 资中县期中）国庆黄金周期间，小明一家去峨眉山旅游．现已知峨眉山地区海拔每升高50米，气温就下降0.3℃，位于峨眉山山脚的报国寺海拔高度约为530米，峨眉山山顶的金顶海拔高度约为3080米，某天山脚的报国寺最低气温为14℃，此时山顶的金顶气温为多少？
　
　
　
2.（2017春 胶州市期中）在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10﹣来表示，请解答下列问题：
（1）若在该地有一座600m高的小山，则山顶的温度是多少？
（2）若在某处测得温度为7.6℃，则该项处的高度约为多少？
（3）在该地随着高度的升高，每升高1m，温度是怎样变化的？
　
3．（2017秋 卫辉市期中）参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司规定的报销细则如下表．
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分 超过500至1000元的部分 超过1000至3000元的部分 … 0 60 80 …
①某人住院治疗花去医疗费800元，那么此人能得到保险公司报销的金额是多少元？
②某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是多少元？
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（2018 湘西州）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是　____．（用科学计算器计算或笔算）
　
2．（2018 朝阳区二模）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行程序框图，如果输入a，b的值分别为3，9，那么输出a的值为____．
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；
（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，_________________．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【方法总结】
（1）根据题目给出的 （加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出 （加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的 （加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a b= b a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a b c= a （b c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（2017秋 宁江区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求（﹣2）☆3的值；
（2）若（☆3）=8，求a的值．
　
2．（2017秋 漳州期末）对于有理数a、b，定义运算：a b=ab﹣2a﹣2b+1．
（1）计算：5 4的值；
（2）计算：[（﹣2） 6] 3的值；
（3）定义的新运算“ ”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．
　
3．（2017秋 乐陵市期末）我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．
定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b．
例如：因为53=125，所以log5125=3；因为112=121，所以log11121=2．
（1）填空：log66=____，log381=_____．
（2）如果log2（m﹣2）=3，求m的值．
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMN=logaM logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+值为_________.
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）；
（2）（）÷（﹣）×；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷×[2﹣（﹣3）2]；
（4）.
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：=1﹣，=﹣，=﹣，=﹣，……
那么：
（1）=；
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；
（3）计算：+++……．
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把（a≠0）记作a ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③=，（﹣）⑤=；
（2）关于除方，下列说法错误的是，
【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1 =1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣）⑩=_________________．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．
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