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第1讲 图形的展开与折叠
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（　　）
A. B. C. D.
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．（2019 益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是　　
A． B．
C． D．
2．（2019 白云区二模）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是　　
A． B．
C． D．
3．（2019 济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是　　
A． B．
C． D．
4．（2019 南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是　　
A． B． C． D．
5．（2019 通州区三模）下列几何体中，侧面展开图是矩形的是　　
A． B．
C． D．
6．（2019 顺义区二模）如图是一个几何体的展开图，这个几何体是　　
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
7．（2019 龙湾区二模）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出，宽留出，则该六棱柱的侧面积是　　
A． B． C． D．
8．（2019 鄞州区一模）如图，一个正六棱柱的表面展开后正好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出，宽留出，则该六棱柱的侧面积是　　
A． B． C． D．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（　　）
A. B. C. D.
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．（2019 鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（2019 河南一模）“流浪地球”是2019年春节档冲出的一匹黑马，备受关注．将图中的图形剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，则剪去哪个小正方形不能构成正方体　　
A．带 B．着 C．地 D．流
3．（2018秋 丹东期末）以下各图均由彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是　　
A． B．
C． D．
4．（2018秋 建宁县期末）将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形是　　
A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥
5．（2018秋 双流区期末）下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是　　
A． B．
C． D．
6．（2019 滨州一模）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是　　
A． B．
C． D．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（　　）
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．（2019春 南岗区期末）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是　　
A．共 B．山 C．绿 D．建
2．（2019春 红河州期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是　　
A．美 B．丽 C．红 D．河
3．（2019 河南二模）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法　　
A．5 B．4 C．3 D．6
4．（2019 普洱一模）下列正方体展开图中，与“治”字相对面的字为　　
A．乱 B．扫 C．黑 D．除
5．（2019 长春模拟）如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则“扫”的对面是　　
A．黑 B．除 C．恶 D．☆
6．（2019 高阳县一模）一个正方体的六个面上分别标有，，，，，中的一个数，各个面上所标数字都不相同，如图是这个正方体的三种放置方法，则数字对面的数字是　　
A． B． C． D．
7．（2019 阜宁县一模）“教不严师之惰”这六个字分别写在某个正方体纸盒的六个面上，小王将这个正方体展开成如图所示的平面图，那么在原正方体中，和“教”相对的字是　　
A．严 B．师 C．之 D．惰
8．（2019 和平区一模）如图是一个正方体纸盒的展开图每个面上都标注了字母或数字，在正方体展开前标注的面的对面上所标注的数字是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
第1页（共11页）第1讲 图形的展开与折叠
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（　　）
A. B. C. D.
【解析】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，可得如图所示的正方体的展开图是．
故选A
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．（2019 益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故错误；
、三棱柱的侧面展开图是矩形，故错误；
、圆锥的侧面展开图是扇形，故正确；
、三棱锥的侧面展开图是三角形，故错误．
故选：．
2．（2019 白云区二模）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项符合．
故选：．
3．（2019 济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：选项和带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项能折叠成原几何体的形式；
选项折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：．
4．（2019 南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．
故选：．
5．（2019 通州区三模）下列几何体中，侧面展开图是矩形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、侧面展开图是矩形，故正确；
、侧面展开图是扇形，故错误；
、侧面展开图是三角形，故错误；
、侧面展开图是梯形，故错误．
故选：．
6．（2019 顺义区二模）如图是一个几何体的展开图，这个几何体是　　
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【解答】解：由图可知，这个几何体是四棱柱．
故选：．
7．（2019 龙湾区二模）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出，宽留出，则该六棱柱的侧面积是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设正六棱柱的底面边长为，高为，
挪动前长为，宽为，
挪动后长为，宽为，
由题意得：，，
，，
六棱柱的侧面积是；
故选：．
8．（2019 鄞州区一模）如图，一个正六棱柱的表面展开后正好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出，宽留出，则该六棱柱的侧面积是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设正六棱柱的地面边长为，高为，
挪动前长为，宽为，
挪动后长为，宽为，
由题意得：，，
，，
六棱柱的侧面积是；
故选：．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（　　）
A. B. C. D.
【解析】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长方体盒子．
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．（2019 鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项与此也不符，
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项与此也不符，正确的是．
故选：．
2．（2019 河南一模）“流浪地球”是2019年春节档冲出的一匹黑马，备受关注．将图中的图形剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，则剪去哪个小正方形不能构成正方体　　
A．带 B．着 C．地 D．流
【解答】解：根据正方体展开图可得应剪去标有文字“着”或“带”或“流”的小正方形．
但不能剪去“地”，剪去后不能构成正方体，
故选：．
3．（2018秋 丹东期末）以下各图均由彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、是正方体的展开图，不符合题意；
、是正方体的展开图，不符合题意；
、是正方体的展开图，不符合题意；
、不是正方体的展开图，缺少一个底面，符合题意．
故选：．
4．（2018秋 建宁县期末）将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形是　　
A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥
【解答】解：．若减去②③，则余下的部分图形恰好能折成一个正方体，符合题意；
．若减去①⑥，则余下的部分图形不能折成一个正方体，不符合题意；
．若减去①⑦，则余下的部分图形不能折成一个正方体，不符合题意；
．若减去②⑥，则余下的部分图形不能折成一个正方体，不符合题意；
故选：．
5．（2018秋 双流区期末）下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以、选项错误；
当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以选项错误，选项正确．
故选：．
6．（2019 滨州一模）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、不能折叠成正方体，故选项错误；
、不能折成圆锥，故选项错误；
、不能折成三棱柱，故选项错误；
、能折成圆柱，故选项正确．
故选：．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（　　）
【解析】解：根据四个图形的点数，可推断出来，点4对面是点2；点5对面是点1；点6对面是点3．
则图b中四个底面正方形中的点数是1，3，6，6，
1+3+6+6=16，
则图b中四个底面正方形中的点数之和为16．
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．（2019春 南岗区期末）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是　　
A．共 B．山 C．绿 D．建
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
有“水”字一面的相对面上的字是“建”．
故选：．
2．（2019春 红河州期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是　　
A．美 B．丽 C．红 D．河
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
有“建”字一面的相对面上的字是“红”．
故选：．
3．（2019 河南二模）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法　　
A．5 B．4 C．3 D．6
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“1”与“5”是相对面，
“2”与“4”是相对面，
所以，要添加的是“3”的相对面，
要添加一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有4种不同的添法．
故选：．
4．（2019 普洱一模）下列正方体展开图中，与“治”字相对面的字为　　
A．乱 B．扫 C．黑 D．除
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
与“治”字相对面的字为乱．
故选：．
5．（2019 长春模拟）如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则“扫”的对面是　　
A．黑 B．除 C．恶 D．☆
【解答】解：将其折成正方体后，则“扫”的对面是除．
故选：．
6．（2019 高阳县一模）一个正方体的六个面上分别标有，，，，，中的一个数，各个面上所标数字都不相同，如图是这个正方体的三种放置方法，则数字对面的数字是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，
与相邻的面的数字有、、、，
的对面数字是．
故选：．
7．（2019 阜宁县一模）“教不严师之惰”这六个字分别写在某个正方体纸盒的六个面上，小王将这个正方体展开成如图所示的平面图，那么在原正方体中，和“教”相对的字是　　
A．严 B．师 C．之 D．惰
【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，所以在原正方体中，和“教”相对的字是严．
故选：．
8．（2019 和平区一模）如图是一个正方体纸盒的展开图每个面上都标注了字母或数字，在正方体展开前标注的面的对面上所标注的数字是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，所以在正方体展开前标注的面的对面上所标注的数字是3．
故选：．
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
【解析】解：设该长方体的高为x cm，则长方体的宽为2x cm，
2x+2x+x+x=18，解得x=3，
所以该长方体的高为3 cm，则长方体的宽为6 cm，长为18﹣6=12 cm，
所以它的体积为3×6×12=216（cm3）．
故答案为216．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“1”相对，面“b”与面“3”相对，“2”与面“﹣2”相对．
因为相对面上两个数都互为相反数，
所以a=﹣1，b=﹣3，
故a+b=﹣4．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
【解析】解：观察图象可知点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，且四次一循环，
∵2017÷4=504…1，
∴滚动第2017次后与第一次相同，
∴朝上一面的点数为5，
故答案为：5．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
【解析】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，
∴2x﹣3=﹣5，y=﹣x，
解得x=﹣1，y=1，
∴2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3．
故答案为：﹣3．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
【解析】解：（1）请写出对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱，
故答案为：圆锥，三棱柱，圆柱；
（2）圆柱的表面积为πr2+πr2+2πrh=4π+4π+32π=40πcm2，
故答案为：40πcm2．
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
【解析】解：答案如下：
或
或等．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
【解析】解：（1）这个几何体的名称是六棱柱；
（2）侧面积=（2+4）ab=6ab
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
【解析】解：（1）根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块，多余部分如图所示：
（2）表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2．
体积=62×8=288cm3．
【难度】中
【结束】
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【解析】解（1）由图可得，小明一共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a=880，
解得a=100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000立方厘米．
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