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第4讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
（2）（﹣1）+（-）；
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
（2）；
（3）；
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．（2018秋 顺德区期末）如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　　．
2．（2018秋 梁平区期末）若|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，那么a﹣b＝　　．
3．（2018秋 李沧区期末）我们知道，在三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在如图的三阶幻方中已经填入了两个数9和15，则图中最右上角的数n应该是　．
4．（2018秋 安仁县期末）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝　　．
二．解答题（共1小题）
5．（2018秋 高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
（3）；
（4）．
【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．
2.计算：
（1）×（﹣）××；
（2）29（﹣）；
（3）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）.
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．（2018秋 金湖县期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　）
A．1 B．3 C． D．
二．填空题（共2小题）
2．（2018秋 嵊州市期末）已知a、b、c为非零实数，请你探究以下问题：
（1）当a＞0时，＝　　；当ab＜0时，＝　　．
（2）若a+b+c＝0．那么+++的值为　　．
3．（2019 昆明模拟）若|a|＝3，|b|＝5，且a、b异号，则a b＝　　．
三．解答题（共1小题）
4．（2019 重庆模拟）阅读材料题：
求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：91﹣56＝35
56﹣35＝21
35﹣21＝14
21﹣14＝7
14﹣7＝7
所以，91与56的最大公约数是7
请用以上方法解决下列问题：
（1）求108与45的最大公约数；
（2）求三个数78、104、143的最大公约数．
知识点3 乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
（2）在中，叫做底数，叫做指数；
（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
2.若，则yx=__________．
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可求解．
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．（2019春 瑞安市期中）已知2n+218+1是一个有理数的平方，则n不能为（　　）
A．﹣20 B．10 C．34 D．36
2．（2018秋 九龙坡区期末）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，则6（a+b）+m2﹣3xy的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．（2018秋 李沧区期末）计算24+24+24+24的结果等于（　　）
A．26 B．84 C．216 D．28
4．（2018秋 黔东南州期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x4+cdx2﹣的值为（　　）
A．15 B．20 C．﹣20 D．20或﹣20
综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
2.2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=____．
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（2）9×15；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.
1第4讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
（2）（﹣1）+（-）；
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【解析】解：（1）4+（-6）
=﹣（6﹣4）
=﹣2．
（2）（﹣1）+（-）
=-（+）
=-（+）
=﹣；
（3）-2-（﹣3.5）
=-2+3.5
=3.5-2
=1.5；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）
=9+3
=12；
（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
=（1.4﹣1.6﹣4.3）﹣（﹣1.5）
=﹣4.5+1.5
=﹣3．
【难度】中
【结束】
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
（2）；
（3）；
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.
【解析】解：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5
=（﹣2.4）+3.5+（﹣4.6）+3.5
=[（﹣2.4）+（﹣4.6）]+（3.5+3.5）
=-7+7
=0；
（2）
=
=
=-10+
=﹣8．
（3）原式=
=（﹣2009）+（﹣）+（﹣2008）+（﹣）+4018++（﹣1）+（﹣）
=[（﹣2009）+（﹣2008）+4018+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1．
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）
=（1﹣2）+（3﹣4）…+（2015﹣2016）+（2017﹣2018）
=﹣1+（-1）+（-1）+…+（-1）（共1009个-1）
=﹣1009．
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．（2018秋 顺德区期末）如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　﹣1　．
【解答】解：6+1+2﹣1﹣5＝3，
6+1+2﹣6﹣3＝0，
6+1+2﹣0﹣5＝4．
根据题意得：6+1+2＝6+x+4，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
2．（2018秋 梁平区期末）若|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，那么a﹣b＝　﹣8或﹣2　．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3，
∴a＝±5，b＝±3．
又∵a+b＜0，
∴a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3．
当a＝﹣5，b＝3时，a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8；
当a＝﹣5，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣5+3＝﹣2．
故答案为：﹣8或﹣2．
3．（2018秋 李沧区期末）我们知道，在三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在如图的三阶幻方中已经填入了两个数9和15，则图中最右上角的数n应该是　12　．
【解答】解：如图设相应的方格中数为x1，x2，x3，x4，
由已知得：n+x1+x2＝x1+x3+9（1），n+x3+x4＝x2+x4+15（2）
（1）+（2）得：2n+x1+x2+x3+x4＝9+15+x1+x2+x3+x4．
∴2n＝9+15，即n＝12．
答：图中最右上角的数n应该是12．
故答案为：12．
4．（2018秋 安仁县期末）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝　2或0　．
【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，
∵a＞b＞c，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3或a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
则a+b﹣c＝2或0．
故答案为：2或0
二．解答题（共1小题）
5．（2018秋 高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝
若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合
若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝
若，得x＝2，＜2，不符合
若，得x＝﹣7，＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝
若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合
若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
（3）；
（4）．
【解析】解：（1）（﹣2）×（﹣8）=2×8，=16；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）=8÷=8×，=；
（3）11÷×（﹣），=﹣11×7×，=﹣28；
（4）（﹣1.5）×÷（﹣）×，=×××，=．
【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．
2.计算：
（1）×（﹣）××；
（2）29（﹣）；
（3）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）.
【解析】解：（1）原式=（×）×（﹣×）=×（﹣）=﹣．
（2）原式=（30﹣）×（﹣12）=30×（﹣12）﹣×（﹣12）=﹣360+=﹣359；
（3）原式=（﹣）×[（﹣5）+13﹣3]=（﹣）×5=﹣11．
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．（2018秋 金湖县期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　）
A．1 B．3 C． D．
【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×
＝1，
故选：A．
二．填空题（共2小题）
2．（2018秋 嵊州市期末）已知a、b、c为非零实数，请你探究以下问题：
（1）当a＞0时，＝　1　；当ab＜0时，＝　﹣1　．
（2）若a+b+c＝0．那么+++的值为　0　．
【解答】解：（1）当a＞0时，＝＝1；
当ab＜0时，＝＝﹣1．
故答案为：1；﹣1．
（2）∵a+b+c＝0，a、b、c均不为0，
∴a、b、c两正一负或两负一正．
当a、b、c两正一负时，abc＜0，
+++＝1+1﹣1﹣1＝0；
当a、b、c两负一正时，abc＞0，
+++＝﹣1﹣1+1+1＝0
故答案为：0．
3．（2019 昆明模拟）若|a|＝3，|b|＝5，且a、b异号，则a b＝　﹣15　．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5．
∵a、b异号，
∴a＝3，b＝﹣5或a＝﹣3，b＝5．
∴ab＝﹣15．
故答案为：﹣15．
三．解答题（共1小题）
4．（2019 重庆模拟）阅读材料题：
求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：91﹣56＝35
56﹣35＝21
35﹣21＝14
21﹣14＝7
14﹣7＝7
所以，91与56的最大公约数是7
请用以上方法解决下列问题：
（1）求108与45的最大公约数；
（2）求三个数78、104、143的最大公约数．
【解答】解：（1）∵108﹣45＝63
63﹣45＝18
45﹣18＝27
27﹣18＝9
18﹣9＝9
∴108与45的最大公约数是9．
（2）∵104﹣78＝26，
78﹣26＝52，
52﹣26＝26，
∴104与78的最大公约数是26．
∵143﹣104＝39，
104﹣39＝65，
65﹣39＝26，
39﹣26＝13，
26﹣13＝13，
∴143与104最大公约数是13．
∴78、104、143的最大公约数是13．
知识点3 乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
（2）在中，叫做底数，叫做指数；
（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【解析】解：∵折一次厚度是这张纸的21倍，折两次厚度就是这张纸的22倍，折三次厚度就是这张纸的23倍，
∴这张纸连续对折8次时厚度就是这张纸的28倍，
又∵这张纸的厚度为0.09mm，
∴连续对折8次时这张纸的厚度是：0.09×28=0.09×256，
=23.04（mm）．
对折15次后纸的厚度为0.09×215=2949.12（mm）≈2.9m，
所以对折15次后，所得的厚度可以超过自己的身高．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
2.若，则yx=__________．
【解析】解：根据题意得，
解得，
则yx=（）2=．
故答案是：．
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可求解．
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【答案】
【解析】解：（1）将102000000000000用科学记数法表示为：1.02×1014；
（2）将690000用科学记数法表示为：6.9×105；
（3）∵102000000000000÷300000=340000000（s），
∴将340000000用科学记数法表示为：3.4×108．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．（2019春 瑞安市期中）已知2n+218+1是一个有理数的平方，则n不能为（　　）
A．﹣20 B．10 C．34 D．36
【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n+218+1＝218+2 29+1＝（29+1）2，
此时n＝9+1＝10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1＝2n+2 217+1＝（217+1）2，
此时n＝2×17＝34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1＝（29）2+2 29 2﹣10+（2﹣10）2＝（29+2﹣10）2，
此时n＝﹣20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、﹣20，不能取到的数是36．
故选：D．
2．（2018秋 九龙坡区期末）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，则6（a+b）+m2﹣3xy的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：∵a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，
∴a+b＝0，xy＝1，m＝±1，
∴m2＝1，
∴6（a+b）+m2﹣3xy
＝6×0+1﹣3×1
＝0+1﹣3
＝﹣2，
故选：A．
3．（2018秋 李沧区期末）计算24+24+24+24的结果等于（　　）
A．26 B．84 C．216 D．28
【解答】解：24+24+24+24＝2×24+2×24
＝25+25
＝2×25
＝26，
故选：A．
4．（2018秋 黔东南州期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x4+cdx2﹣的值为（　　）
A．15 B．20 C．﹣20 D．20或﹣20
【解答】解：根据题意知a+b＝0，cd＝1，x＝±2，
则原式＝（±2）4+1×（±2）2﹣
＝16+4
＝20，
故选：B．
综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
【解析】解：∵|a|=2，c是最大的负整数，
∴a=±2，c=﹣1．
当a=2时，a+b﹣c=2+（﹣3）﹣（﹣1）=2﹣3+1=0；
当a=﹣2时，a+b﹣c=﹣2+（﹣3）﹣（﹣1）=﹣2﹣3+1=﹣4．
故答案为0或-4.
2.2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=____．
【解析】解：原式=2.5﹣2.25﹣1.75﹣0.5
=2.5﹣0.5﹣（2.25+1.75）
=2﹣4
=﹣2，
故答案为：﹣2．
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
【解析】解：105 000=1.05×105．
故答案为：1.05×105．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．
【解析】解：1米长的绳子，第一次剪去一半后剩下；
第二次剪去剩下的一半后剩下的一半是；
第三次再剪去的一半后剩下；
第三次再剪去的一半剩下．
第n次后剩下（）n=．
故答案为：，．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
【解析】解：∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1=2（条），
对折3次比对折2次折痕多7﹣3=4=22（条），
对折4次比对折3次折痕多15﹣7=8=23（条），
……
∴对折10次比对折9次折痕多29条，
故答案为：29．
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
【解析】解：原式=﹣0.5+6+7+4.75
=（﹣0.5+7）+（6）
=（﹣0.5+7.5）+（6）
=7+11
=18．
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
【解析】解：（1）18﹣9+7﹣14﹣3+11﹣6﹣8+6+15=+17．
则养护小组最后到达的地方在出发点的东边，17千米处；
（2）养护过程中，通过计算绝对值可知该小组距离出发点的距离依次为18,9,16,2,1,10,4,4,2,17，
所以养护过程中，最远处离出发点是18千米；
（3）（18+9+7+14+3+11+6+8+6+15）a=97a.
答：这次养护小组的汽车共耗油97a升．
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（2）9×15；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【解析】解：（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）
=﹣（100×0.01）×（14×6）
=﹣1×84
=﹣84；
（2）9×15
=（10﹣）×15
=10×15﹣×15
=150﹣
=149；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）
=﹣100×0.125﹣0.125×35.5+14.5×（﹣0.125）
=0.125×（﹣100﹣35.5﹣14.5）
=×（﹣150）
=﹣；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…×（19﹣20）
=（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）（共19个-1）
=﹣1．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.
【解析】解：依题意得：（x+3）2=0，|3x+y+m|=0，
即x+3=0，3x+y+m=0，
∴x=﹣3，
∴﹣9+y+m=0，即m=9﹣y，
根据y的平方等于它本身，可知y=0或1.
当y=0时，有m=9-0=9，m=9；
当y=1时，有m=9-1=8，m=8.
∴m的值为9或8.
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