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第6讲 整式的概念
知识点1：字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．
1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．
2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．
3.出现除式时，用分数表示．
4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．
【典例】
1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（　　）
A. 将原价降低20元之后，再打8折
B. 将原价打8折之后，再降低20元
C. 将原价降低20元之后，再打2折
D. 将原价打2折之后，再降低20元
【解析】解：代数式a﹣20的意义是比a的80%少20元．
故选B
【方法总结】
根据四则运算法则，代数式（a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】
1．（2018秋 杭州期末）代数式的意义是（　　）
A．a除以b减1
B．b减1除a
C．b与1的差除以a
D．a除以b与1的差所得的商
【解答】解：代数式表示a除以b与1的差所得的商．
故选：D．
2．（2018秋 怀柔区期末）请你用实例解释下列代数式的意义．
（1）﹣4+3；
（2）3a；
（3）（）3．
【解答】解：（1）﹣4+3表示气温从﹣4℃，上升3℃后的温度；
（2）3a表示一辆车以akm/h的速度行驶3小时的路程；
（3）（）3表示棱长为的正方体的体积．
　
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．
2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个
【解析】解：a，b，c的指数分别为：
1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；
2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；
3、1、3；3、2、2；3、3、1；
4、1、2；4、2、1；
5、1、1；
共15种情况，
故选C
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．
2.下列说法正确的是（　　）
A． ﹣a是单项式，它的系数为1
B． +3xy﹣3y2+5是一个多项式
C． 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【解析】解：A、﹣a是单项式，它的系数为﹣1，故选项错误；
B、+3xy﹣3y2+5有字母在分母上，故不是一个多项式，故选项错误；
C、多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、﹣2xy、y2的和，故选项错误；
D、如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3是正确的．
故选D．
【方法总结】
１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数应为负．
２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．
３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．
3.对于多项式2x2+，按x的升幂排列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：按x的升幂排列为，
故选A
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：
1.列出每一项，系数要包含前面的符号；
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1．（2019春 南岗区期末）下列说法错误的是（　　）
A．单项式的系数是
B．单项式3a2b2的次数是4
C．多项式a3﹣1的常数项是1
D．多项式4x2﹣3是二次二项式
【解答】解：A、单项式的系数是，不符合题意；
B、单项式3a2b2的次数是4，不符合题意；
C、多项式a3﹣1的常数项是﹣1，符合题意；
D、多项式4x2﹣3是二次二项式，不符合题意，
故选：C．
2．（2018秋 南关区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．﹣的系数是﹣2 B．x2+x﹣1的常数项为1
C．22ab3的次数是6次 D．2x﹣5x2+7是二次三项式
【解答】解：A．﹣的系数是﹣，此选项错误；
B．x2+x﹣1的常数项为﹣1，此选项错误；
C．22ab3的次数是4次，此选项错误；
D．2x﹣5x2+7是二次三项式，此选项正确；
故选：D．
3．（2018秋 凉山州期末）下列说法正确的是（　　）
A．单项式﹣的次数是8
B．最小的非负数是0
C．0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身
D．如果a＝b，那么＝
【解答】解：A、单项式﹣的次数是6，故此选项错误；
B、最小的非负数是0，正确；
C、0的绝对值、相反数都等于它本身，0没有倒数，故此选项错误；
D、如果a＝b，那么＝（c≠0），故此选项错误；
故选：B．
4．（2018秋 蒸湘区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．﹣的系数是﹣2 B．ab3的次数是3次
C．2x2+x﹣1的常数项为1 D．是多项式
【解答】解：A．﹣的系数是﹣，此选项错误；
B．ab3的次数是4次，此选项错误；
C．2x2+x﹣1的常数项为﹣1，此选项错误；
D．是多项式，此选项正确；
故选：D．
5．（2018秋 雨花区校级期末）在代数式x﹣y，3a，x2﹣y+，，xyz，0，π，中有（　　）
A．3个多项式，4个单项式 B．2个多项式，5个单项式
C．8个整式 D．3个多项式，5个单项式
【解答】解：在所列代数式中，单项式有3a，xyz，0，π这4个，
多项式有x﹣y，x2﹣y+，这3个，共7个整式，
故选：A．
6．（2018秋 醴陵市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．xy﹣x+y﹣4的项是xy，x，y，4
B．单项式m的系数为0，次数为0
C．单项式2a2b的系数是2，次数是2
D．1是单项式
【解答】解：A、xy﹣x+y﹣4的项是xy，﹣x，+y，﹣4，故A错误；
B、单项式m的系数为1，次数为1，故B错误；
C、单项式2a2b的系数是2，次数是3，故C错误；
D、1是单项式，故D正确．
故选：D．
7．（2018秋 成都期末）在代数式﹣15a3b，，4a2b2﹣2ab﹣6，﹣a，，0中，单项式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：在代数式﹣15a3b，，4a2b2﹣2ab﹣6，﹣a，，0中，单项式有：﹣15a3b，，﹣a，0共4个．
故选：C．
知识点3：同类项　
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【典例】
已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______
【解析】解：∵﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，
∴m﹣1=1，2n﹣3=n+3．解得：m=2，n=6，
∴m﹣n=2﹣6=﹣4．
【方法总结】
根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1．（2019 磴口县校级一模）如果2xa+1y3与x5yb﹣1是同类项，那么的值是（　　）
A． B． C．1 D．3
【解答】解：∵2xa+1y3与x5yb﹣1是同类项，
∴a+1＝5，b﹣1＝3，
解得：a＝4，b＝4，
∴的值是：1．
故选：C．
2．（2018秋 建邺区校级期末）下列各组中，同类项是（　　）
A．52与25 B．a2b与﹣b2a
C．0.2ab与﹣a2b D．a2b3与﹣a3b2
【解答】解：A、52与25，是同类项，符合题意；
B、a2b与﹣b2a，相同字母的次数不相同，不是同类项；
C、0.2ab与﹣a2b，相同字母的次数不相同，不是同类项；
D、a2b3与﹣a3b2，相同字母的次数不相同，不是同类项；
故选：A．
3．（2018秋 鼓楼区校级期末）下列各组代数式中，不是同类项的是（　　）
A．12a3b与 B．m3n2与﹣n3m2
C．2abx3与πabx3 D．6a2m与﹣9a2m
【解答】解：A．12a3b与是同类项；
B．m3n2与﹣n3m2，相同字母的指数不相同，不是同类项；
C．2abx3与πabx3是同类项；
D．6a2m与﹣9a2m是同类项；
故选：B．
4．（2018秋 惠城区校级期末）如果单项式x2ym+2与是xny同类项，则m、n的值是（　　）
A．m＝2，n＝2 B．m＝﹣1，n＝2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝﹣1
【解答】解：∵单项式x2ym+2与是xny同类项，
∴n＝2，m+2＝1，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
5．（2019 巴彦淖尔模拟）若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（　　）
A．3，5 B．2，3 C．2，5 D．3，﹣2
【解答】解：∵单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，
∴2m﹣1＝3，n＝5，
解得：m＝2，
故m，n的值分别为：2，5．
故选：C．
6．（2018秋 腾冲市期末）下列各组整式中，不是同类项的是（　　）
A．﹣ab与ba B．52与25
C．0.2a2b与﹣ D．a2b与﹣a3b2
【解答】解：A、所含字母相同；相同字母的指数相同，是同类项，故A不符合题意；
B、常数也是同类项，故B不符合题意；
C、所含字母相同；相同字母的指数相同，是同类项，故C不符合题意；
D、相同字母的指数不同不是同类项，故D符合题意．
故选：D．
7．（2018秋 上城区期末）下列各组单项式中，是同类项的为（　　）
A．2ab3与2a3b B．2ab3与3b3a
C．6a2b与﹣9a2bc D．2a与2b
【解答】解：A、2ab3与2a3b，所含字母相同，相同字母的指数不相等，这两个单项式是同类项，故本选项错误；
B、∵2ab3与3b3a中，所含字母相同，相同字母的指数相等，∴这两个单项式是同类项，故本选项正确；
C、∵6a2b与﹣9a2bc中，所含字母不同，∴这两个单项式不是同类项，故本选项错误；
D、∵2a与2b中，所含字母不同，∴这两个单项式不是同类项，故本选项错误．
故选：B．
8．（2018秋 十堰期末）若单项式﹣3xnym与单项式4x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵单项式﹣3xnym与单项式4x4﹣nyn﹣1是同类项，
∴n＝4﹣n，m＝n﹣1，
解得：n＝2，m＝1，
则m+n＝2+1＝3．
故选：B．
综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离（即：AB的长度）为（2a+b）米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了（3a﹣b）米．问小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为________米．
【解析】解：（3a﹣b）﹣（2a+b）
=3a﹣b﹣2a﹣b
=a﹣2b（米）．
故小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为 （a﹣2b）米．
故答案为：（a﹣2b）．
【难度】中
【结束】
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________．
【解析】解：多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3的各项分别是：a3、﹣3ab2、3a2b、﹣b3．
按字母b降幂排序为﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3
故答案是：﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3．
3.已知|a+2|+（b﹣3）2=0，那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少？
【解析】由题意得
因为|a+2|+（b﹣3）2=0，
∴a+2=0，b﹣3=0，即a=﹣2，b=3，
∴﹣xa+byb﹣a=﹣x﹣2+3y3﹣（﹣2）=﹣xy5，
∴单项式﹣xa+byb﹣a的次数是6．
4.若x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，求a、n的值．
【解析】解：∵x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，
∴=，2+|n﹣3|=3，
∴a=﹣，n=2或4．
5.已知|a|=﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
【解析】解：由|a|=﹣a，得
a＜0，
六次单项式 x5y|a|，得
5﹣a=6，
解得a=﹣1，
当a=﹣1时，
a2003﹣a2002+1=﹣1﹣1+1=﹣1．
6.已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，与单项式3x2ny5﹣m的次数相同．求m，n的值．
【解析】解：∵﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，
∴m+1=4，m=3，
∴ 5﹣m=2
∵单项式3x2ny5﹣m的次数是6，
2n+2=6
∴2n=4，n=2．
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少？每个单项式的次数有什么关系？
【解析】解：多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中x按照降幂排列，从n次到0次，共n+1项，且该多项式中y按照升幂排列，从0次到n次，共n+1项，
所以该多项式的项数为n+1，
每个单项式的次数都相等，均为n．
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
【解析】解：（1）∵多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同，
∴m+1+2=3，2n+3﹣m=5，
解得：m=2，n=2；
（2）按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1．
9.已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值．
【解析】解：∵m是绝对值最小的有理数，
∴m=0．
∵﹣2a2by+1与3axb3是同类项，
∴x=2，y=2
将m=0、x=2，y=2代入2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2得：
原式=2×22﹣3×2×2+6×22﹣0+0﹣0=20．
10.如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．
【解析】解：∵﹣a|m﹣3|b与是同类项，
∴|m﹣3|=1，|4n|=1，
解得：m=4或2，n=，
又∵m、n互为负倒数，
∴m=4，n=﹣
∴n﹣mn﹣m=﹣﹣（﹣1）﹣4=．
11.设m和n均不为0，3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，求的值．
【解析】解：∵3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，
∴2+2m+n=2，
∴2m+n=0，
∴n=﹣2m，
∴===．第6讲 整式的概念
知识点1：字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．
1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．
2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．
3.出现除式时，用分数表示．
4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．
【典例】
1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（　　）
A. 将原价降低20元之后，再打8折
B. 将原价打8折之后，再降低20元
C. 将原价降低20元之后，再打2折
D. 将原价打2折之后，再降低20元
【方法总结】
根据四则运算法则，代数式（a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】
1．（2018秋 杭州期末）代数式的意义是（　　）
A．a除以b减1
B．b减1除a
C．b与1的差除以a
D．a除以b与1的差所得的商
2．（2018秋 怀柔区期末）请你用实例解释下列代数式的意义．
（1）﹣4+3；
（2）3a；
（3）（）3．
　
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．
2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．
2.下列说法正确的是（　　）
A． ﹣a是单项式，它的系数为1
B． +3xy﹣3y2+5是一个多项式
C． 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和
D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【方法总结】
１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数应为负．
２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．
３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．
3.对于多项式2x2+，按x的升幂排列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：
1.列出每一项，系数要包含前面的符号；
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1．（2019春 南岗区期末）下列说法错误的是（　　）
A．单项式的系数是
B．单项式3a2b2的次数是4
C．多项式a3﹣1的常数项是1
D．多项式4x2﹣3是二次二项式
2．（2018秋 南关区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．﹣的系数是﹣2 B．x2+x﹣1的常数项为1
C．22ab3的次数是6次 D．2x﹣5x2+7是二次三项式
3．（2018秋 凉山州期末）下列说法正确的是（　　）
A．单项式﹣的次数是8
B．最小的非负数是0
C．0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身
D．如果a＝b，那么＝
4．（2018秋 蒸湘区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．﹣的系数是﹣2 B．ab3的次数是3次
C．2x2+x﹣1的常数项为1 D．是多项式
5．（2018秋 雨花区校级期末）在代数式x﹣y，3a，x2﹣y+，，xyz，0，π，中有（　　）
A．3个多项式，4个单项式 B．2个多项式，5个单项式
C．8个整式 D．3个多项式，5个单项式
6．（2018秋 醴陵市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．xy﹣x+y﹣4的项是xy，x，y，4
B．单项式m的系数为0，次数为0
C．单项式2a2b的系数是2，次数是2
D．1是单项式
7．（2018秋 成都期末）在代数式﹣15a3b，，4a2b2﹣2ab﹣6，﹣a，，0中，单项式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点3：同类项　
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【典例】
已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______
【方法总结】
根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。
【随堂练习】
1．（2019 磴口县校级一模）如果2xa+1y3与x5yb﹣1是同类项，那么的值是（　　）
A． B． C．1 D．3
2．（2018秋 建邺区校级期末）下列各组中，同类项是（　　）
A．52与25 B．a2b与﹣b2a
C．0.2ab与﹣a2b D．a2b3与﹣a3b2
3．（2018秋 鼓楼区校级期末）下列各组代数式中，不是同类项的是（　　）
A．12a3b与 B．m3n2与﹣n3m2
C．2abx3与πabx3 D．6a2m与﹣9a2m
4．（2018秋 惠城区校级期末）如果单项式x2ym+2与是xny同类项，则m、n的值是（　　）
A．m＝2，n＝2 B．m＝﹣1，n＝2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝﹣1
5．（2019 巴彦淖尔模拟）若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（　　）
A．3，5 B．2，3 C．2，5 D．3，﹣2
6．（2018秋 腾冲市期末）下列各组整式中，不是同类项的是（　　）
A．﹣ab与ba B．52与25
C．0.2a2b与﹣ D．a2b与﹣a3b2
7．（2018秋 上城区期末）下列各组单项式中，是同类项的为（　　）
A．2ab3与2a3b B．2ab3与3b3a
C．6a2b与﹣9a2bc D．2a与2b
8．（2018秋 十堰期末）若单项式﹣3xnym与单项式4x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
综合集训
1.如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离（即：AB的长度）为（2a+b）米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了（3a﹣b）米．问小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为________米．
2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________．
3.已知|a+2|+（b﹣3）2=0，那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少？
4.若x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，求a、n的值．
5.已知|a|=﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
6.已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，与单项式3x2ny5﹣m的次数相同．求m，n的值．
7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少？每个单项式的次数有什么关系？
8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．
（1）求m、n的值；
（2）把这个多项式按x的降幂排列．
9.已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值．
10.如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．
11.设m和n均不为0，3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，求的值．

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