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第7讲 整式的加减
知识点1 合并同类项
根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
【典例】
1.下列计算正确的是（　　）
A. 3a﹣2a=1 B. x2y﹣2xy2=﹣xy2 C. 3ax﹣2xa=ax D. 3a2+5a2=8a4
【解析】解：A、3a﹣2a=a，故此选项错误；
B、x2y和﹣2xy2不能合并，故此选项错误；
C、3ax﹣2xa=ax，故此选项正确；
D、3a2+5a2=8a2，故此选项错误；
故选C
【方法总结】
1.合并同类项首先找到同类项，即满足两个“相同”的项，跟字母的先后顺序无关.
2.合并同类项只需把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
【随堂练习】
1．（2019 东河区二模）若单项式am﹣1b与a2bn的和仍是单项式，则mn的值是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
【解答】解：∵单项式am﹣1b与a2bn的和仍是单项式，
∴m﹣1＝2，n＝1，
解得：m＝3，n＝1，
则原式＝3，
故选：B．
2．（2019 凉州区校级二模）若单项式am﹣1b2与a2bn的和是单项式，则mn的值是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
【解答】解：∵单项式am﹣1b2与a2bn的和仍是单项式，
∴单项式am﹣1b2与a2bn是同类项，
∴m﹣1＝2，n＝2，
∴m＝3，n＝2，
∴mn＝9．
故选：D．
3．（2019 长宁区二模）化简m3+m3的结果等于（　　）
A．m6 B．2m6 C．2m3 D．m9
【解答】解：m3+m3＝2m3．
故选：C．
4．（2018秋 龙华区校级期末）已知单项式3xmy3与4x2yn的和是单项式，则|m﹣n|的值是（　　）
A．2 B．1 C．5 D．﹣1
【解答】解：∵单项式3xmy3与4x2yn的和是单项式，
∴3xmy3与4x2yn是同类项，
∴m＝2，n＝3，
则|m﹣n|＝|2﹣3|＝1，
故选：B．
5．（2018秋 贵阳期末）若单项式xmy2与﹣2x3yn的和仍是单项式，则nm的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．8
【解答】解：∵单项式xmy2与﹣2x3yn的和仍是单项式，
∴单项式xmy2与﹣2x3yn是同类项，
则m＝3，n＝2，
∴nm＝23＝8，
故选：D．
6．（2018秋 桥西区期末）若单项式am+4b2与的和是单项式，则mn的值是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．4
【解答】解：∵单项式am+4b2与的和是单项式，
∴单项式am+4b2与是同类项，
则m+4＝2，n＝2，
解得m＝﹣2，n＝2，
∴mn＝（﹣2）2＝4，
故选：D．
7．（2019 柳江区模拟）下列计算的结果中正确的是（　　）
A．3x+y＝3xy B．5x2﹣2x2＝3
C．2y2+3y2＝5y4 D．2xy3﹣2y3x＝0
【解答】解：A、3x+y，无法计算，故此选项错误；
B、5x2﹣2x2＝3x2，故此选项错误；
C、2y2+3y2＝5y2，故此选项错误；
D、2xy3﹣2y3x＝0，正确．
故选：D．
知识点2 去括号与添括号
1.去括号法则：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面各项的符号都不改变.
括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面各项的符号都要改变.
2.添括号法则：
添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.
【典例】
1.下列去括号错误的是（　　）
A. 3a2﹣（2a﹣b+5c）=3a2﹣2a+b﹣5c
B. 5x2+（﹣2x+y）﹣（3z﹣a）=5x2﹣2x+y﹣3z+a
C. 2m2﹣3（m﹣1）=2m2﹣3m﹣1
D. ﹣（2x﹣y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2
【解析】解：A、3a2﹣（2a﹣b+5c）=3a2﹣2a+b﹣5c，故A正确，与要求不符；
B、5x2+（﹣2x+y）﹣（3z﹣a）=5x2﹣2x+y﹣3z+a，故B正确，与要求不符；
C、2m2﹣3（m﹣1）=2m2﹣（3m﹣3）=2m2﹣3m+3，故C错误，与要求相符；
D、﹣（2x﹣y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2 ，故D正确，与要求不符．
故选C
【方法总结】
1.括号前面有系数的在去括号时可以先把数字乘到括号里面，再根据去括号法则进行运算.
2.两个层次的括号同时存在时，可以按照从里到外先去小括号，再去中括号；也可以将小括号看成一个整体先去中括号再去小括号.
【随堂练习】
1．（2018秋 顺德区期末）去括号2﹣（x﹣y）＝（　　）
A．2﹣x﹣y B．2+x+y C．2﹣x+y D．2+x﹣y
【解答】解：2﹣（x﹣y）＝2﹣x+y．
故选：C．
2．（2018秋 槐荫区期末）下列各项去括号正确的是（　　）
A．﹣3（m+n）﹣mn＝﹣3m+3n﹣mn
B．﹣（5x﹣3y）+4（2xy﹣y2）＝﹣5x+3y+8xy﹣4y2
C．ab﹣5（﹣a+3）＝ab+5a﹣3
D．x2﹣2（2x﹣y+2）＝x2﹣4x﹣2y+4
【解答】解：A、﹣3（m+n）﹣mn＝﹣3m﹣3n﹣mn，错误，故本选项不符合题意；
B、﹣（5x﹣3y）+4（2xy﹣y2）＝﹣5x+3y+8xy﹣4y2，正确，故本选项符合题意；
C、ab﹣5（﹣a+3）＝ab+5a﹣15，错误，故本选项不符合题意；
D、x2﹣2（2x﹣y+2）＝x2﹣4x+2y﹣4，错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2018秋 乐亭县期末）若式子2mx2﹣2x+8﹣（3x2﹣nx）的值与x无关，mn（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵式子2mx2﹣2x+8﹣（3x2﹣nx）的值与x无关，
∴2m﹣3＝0，﹣2+n＝0，
解得：m＝，n＝2，
故mn＝（）2＝．
故选：D．
4．（2018秋 惠东县期末）下列变形中，不正确的是（　　）
A．a﹣b﹣（ c﹣d ）＝a﹣b﹣c﹣d B．a﹣（b﹣c+d ）＝a﹣b+c﹣d
C．a+b﹣（﹣c﹣d ）＝a+b+c+d D．a+（b+c﹣d ）＝a+b+c﹣d
【解答】解：A、a﹣b﹣（ c﹣d ）＝a﹣b﹣c+d，此选项错误；
B、a﹣（b﹣c+d ）＝a﹣b+c﹣d，此选项正确；
C、a+b﹣（﹣c﹣d ）＝a+b+c+d，此选项正确；
D、a+（b+c﹣d ）＝a+b+c﹣d，此选项正确；
故选：A．
5．（2018秋 定兴县期末）下列运算中“去括号”正确的是（　　）
A．a+（b﹣c）＝a﹣b﹣c B．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
C．m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+q D．x2﹣（﹣x+y）＝x2+x+y
【解答】解：A、原式＝a+b﹣c，错误；
B、原式＝a﹣b﹣c，正确；
C、原式＝m﹣2p+2q，错误；
D、原式＝x2+x﹣y，错误，
故选：B．
6．（2018秋 沙坪坝区校级期中）下列各式，去括号正确的是（　　）
A．x2﹣（2y﹣z）＝x2﹣2y﹣z B．a﹣[﹣（﹣b+c）]＝a﹣b+c
C．m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+q D．a+（b﹣c﹣2d）＝a+b﹣c+2d
【解答】解：A、x2﹣（2y﹣z）＝x2﹣2y+z，故此选项错误；
B、a﹣[﹣（﹣b+c）]＝a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，正确；
C、m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+2q，故此选项错误；
D、a+（b﹣c﹣2d）＝a+b﹣c﹣2d，故此选项错误；
故选：B．
7．（2018春 五华县期末）关于x，y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含二次项，则k＝（　　）
A．4 B． C．3 D．
【解答】解：∵关于x，y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含二次项，
∴﹣3k+9＝0，
解得：k＝3．
故选：C．
知识点3：整式的加减
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。然后去括号，再合并同类项.
【典例】
1.已知一个多项式加上x2﹣3得到﹣x2+x，那么这个多项式为（　　）
A. x+3 B. x﹣3 C. ﹣2x2+x﹣3 D. ﹣2x2+x+3
【解析】解：根据题意得：设这个式子为A
A+（x2﹣3）=﹣x2+x
A=﹣x2+x﹣x2+3=﹣2x2+x+3，
故选D
【方法总结】
多项式与多项式、单项式相加减运算中，可以先把所求的未知整式作为整体，用某个大写字母表示，根据已知条件列出等式，最后通过对等式的变形、计算求出未知整式。
【典例】
1.一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则另一边长为____
【解析】解：由题意可知：长方形的长和宽之和为：=3a+4b，
∴另一边长为：3a+4b﹣（2a﹣b）=3a+4b﹣2a+b=a+5b，
【方法总结】
解决整式加减的实际问题时，需要将整式运算与实际问题相结合，首先找出实际问题公式、等量关系，将给定的整式带入对应的位置，求出未知的量即可。
2.若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|2b|=_____
【解析】解：由图形可得：a＜b＜0，
则|a﹣b|+|2b|=﹣a+b﹣2b=﹣a﹣b
【方法总结】
整式的加减与绝对值相结合时，首先根据数轴上点的位置确定各字母的大小关系，再判断绝对值号里面整式的正负，并去绝对值号化成一般整式.
【随堂练习】
1．（2019春 南京期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm（x＞y），
则根据题意得：3y+x＝7，
阴影部分周长和为：2（6﹣3y+6﹣x）+2×7
＝12+2（﹣3y﹣x）+12+14
＝38+2×（﹣7）
＝24（cm）
故选：B．
2．（2019 慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l1，图③中两个阴影部分图形的周长和为l2，若，则m，n满足（　　）
A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n
【解答】解：
图②中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为m，宽为n的长方形的周长，即图②中阴影部分的图形的周长l1为2m+2n
图③中，设小长形卡片的宽为x，长为y，则y+2x＝m
所求的两个长方形的周长之各为：2m+2（n﹣y）+2（n﹣2x），
整理得，2m+4n﹣2m＝4n
即l2为4n
∵，
∴2m+2n＝×4n
整理得，
故选：C．
3．（2019 鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
【解答】解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
4．（2018秋 新乐市期末）如图，两个三角形的面积分别为16，9，若两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：设空白部分的面积为x，
则x+a＝16，x+b＝9，
所以（x+a）﹣（x+b）＝a﹣b＝7，
故选：B．
二．解答题（共2小题）
5．（2019 姑苏区校级模拟）已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．
【解答】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，
∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，
由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，
解得：m＝2，n＝﹣1，
则原式＝1﹣2＝﹣1．
6．（2018秋 沙坪坝区校级期中）材料题：
材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．
材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．
（1）证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除．
（2）一个四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数对3同余，求这个四位k阶数．
【解答】解：（1）证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k），
它与个位数的差为：n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k）﹣n
＝n+10n+10k+100n+200k+1000n+3000k﹣n
＝1110n+3210k＝6（185n+535k）
∵6（185n+535k）是6的倍数，
∴6（185n+535k）能被6整除．即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除．
（2）设这个任意四位阶梯数的个位为n，则该四位阶梯数表示为：n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k），
2[n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k）]﹣10m﹣2＝2222n+6420k﹣10m﹣2＝11（101n+583k）+7k﹣10m﹣2，7k﹣10m﹣2是11的倍数；
（1111n+3210k）÷3与（10m+2）÷3的余数相同．
综上，这个四位数是6420.1357，8765，5432
　
知识点4：化简求值
【典例】
1.已知a﹣b=3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）=_____
【解析】解：∵a﹣b=3，c+d=2，
∴原式=b+c﹣a+d
=﹣（a﹣b）+（c+d）
当a﹣b=3，c+d=2时
原式=﹣3+2=﹣1，
故选B
【方法总结】
对复杂多项式化简求值首先将多项式去括号、合并同类项进行化简、加减运算，找到化简结果与已知条件的关系，代入求值即可。
2.若|x+y+2|+（xy﹣1）2 =0，则（3x﹣xy+1）﹣（xy﹣3y﹣2）=_____
【解析】解：由|x+y+2|+（xy﹣1）2=0，得
x+y+2=0 （xy﹣1）2=0
即 x+y=﹣2 xy=1
（3x﹣xy+1）﹣（xy﹣3y﹣2）
=3x﹣xy+1﹣xy+3y+2
=3x+3y﹣2xy+3
=3（x+y）﹣2xy+3
将x+y=﹣2 xy=1代入，
原式=﹣6﹣2+3=﹣5，
故选C
【方法总结】
绝对值与平方都具有非负性，几个非负数之和为0，则每个非负数都为0.
【随堂练习】
1．（2018秋 邗江区期末）已知a﹣b＝3，c+d＝2，则（a+c）﹣（b﹣d）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【解答】解：∵a﹣b＝3，c+d＝2，
∴原式＝a+c﹣b+d＝（a﹣b）+（c+d）＝3+2＝5．
故选：C．
二．填空题（共1小题）
2．（2019春 蜀山区期中）已知（a+b）2＝7，|ab|＝3，则（a2+b2）﹣ab＝　﹣或　．
【解答】解：∵|ab|＝3，
∴ab＝3或ab＝﹣3，
当（a+b）2＝7，ab＝3时，
原式＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝×（7﹣2×3）﹣3
＝﹣3
＝﹣；
当（a+b）2＝7，ab＝﹣3时，
原式＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝×[7﹣2×（﹣3）]﹣（﹣3）
＝×13+3
＝；
综上，（a2+b2）﹣ab的值为﹣或，
故答案为：﹣或．
三．解答题（共4小题）
3．（2018秋 遵义期末）化简与求值
（1）化简：2m2﹣2m﹣m2﹣3；
（2）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣3（ab2+1），其中a＝﹣2，b＝2
【解答】解：（1）2m2﹣2m﹣m2﹣3＝m2﹣2m﹣3；
（2）2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣3（ab2+1）
＝2a2b+2ab2﹣2a2b+2﹣3ab2﹣3
＝﹣ab2﹣1
把a＝﹣2，b＝2代入上式可得：
原式＝﹣（﹣2）×4﹣1＝7．
4．（2018秋 二道区期末）有这样一道题：“计算﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）+（2x3﹣3x2y﹣2xy2）的值，其中x＝，y＝﹣3”甲同学把“x＝”错抄成“x＝﹣”，但他计算的结果也是正确的．你能说这是怎么回事吗？并求出正确的结果．
【解答】解：﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）+（2x3﹣3x2y﹣2xy2）
＝﹣x3+2xy2﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3+2x3﹣3x2y﹣2xy2
＝﹣2y3，
由于所得的结果与x的取值没有关系，故他将y的值代入计算后，所得的结果也正确，
当y＝﹣3时，原式＝﹣2×（﹣3）3＝﹣2×（﹣27）＝54．
5．（2018秋 惠城区期末）先化简，再求值：3x2y﹣2x3﹣2（x2y﹣x3），其中x＝﹣3，y＝2
【解答】解：3x2y﹣2x3﹣2（x2y﹣x3）
＝3x2y﹣2x3﹣2x2y+2x3，
＝x2y，
∵x＝﹣3，y＝2，
∴原式＝（﹣3）2×2＝18．
6．（2018秋 端州区期末）先化简后求值：M＝（﹣2x2+x﹣4）﹣（﹣2x2﹣），其中x＝2．
【解答】解：M＝﹣2x2+x﹣4+2x2+x﹣1
＝x﹣5，
当x＝2时，原式＝×2﹣5＝3﹣5＝﹣2．
综合运用
1.若x+y=2017，xy=2016，则整式（x+2y﹣3xy）﹣（﹣2x﹣y+xy）+2xy﹣1=________．
【解析】解：原式=x+2y﹣3xy+2x+y﹣xy+2xy﹣1
=3x+3y﹣2xy﹣1
=3（x+y）﹣2xy﹣1，
当x+y=2017，xy=2016时，
原式=3×2017﹣2×2016﹣1
=6051﹣4032﹣1
=2018．
故答案为2018．
2.合并同类项
（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2
（2）a2﹣ab+a2+ab﹣b2．
【解析】解：（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2
=（3﹣1）x2﹣（2﹣3）x﹣（1+5）
=2x2+x﹣6；
（2）a2﹣ab+a2+ab﹣b2
=（+）a2+（﹣+1）ab﹣b2
=a2+ab﹣b2．
3.有人说代数式（a2﹣3﹣3a+a3）﹣（2a3+4a2+a﹣8）+（a3+3a2+4a﹣4）的值与a无关，你认为正确吗？请说明你得出的结论和理由．
【解析】解：正确．
∵原式=a2﹣3﹣3a+a3﹣2a3﹣4a2﹣a+8+a3+3a2+4a﹣4
=（1﹣2+1）a3+（1﹣4+3）a2﹣（3+1﹣4）a+1
=1，
∴代数式的值与a无关．
4.已知：A=x2﹣2xy+y2，B=x2+2xy+y2
（1）求A+B；
（2）如果2A﹣3B+C=0，那么C的表达式是什么？
【解析】解：（1）A+B=（x2﹣2xy+y2）+（x2+2xy+y2）
=x2﹣2xy+y2+x2+2xy+y2
=2x2+2y2；
（2）因为2A﹣3B+C=0，
所以C=3B﹣2A=3（x2+2xy+y2）﹣2（x2﹣2xy+y2）
=3x2+6xy+3y2﹣2x2+4xy﹣2y2
=x2+10xy+y2
5.已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．解答下列各题：
（1）判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）
a﹣b_______0，b﹣c_______0，c﹣a_______0，b+c_______0
（2）化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|+|b+c|．
【解析】解：（1）根据数轴可知：﹣1＜c＜0＜b＜1＜a＜2，
∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，b+c＜0；
（2）原式=（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）﹣（b+c）
=a﹣b+b﹣c+c﹣a﹣b﹣c
=﹣b﹣c；
故答案为：（1）＞；＞；＜；＜
6.一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B”求得的结果为9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x﹣2，求正确答案．
【解析】解：根据题意得A+2B=9x2﹣2x+7，B=x2+3x﹣2
A=9x2﹣2x+7﹣2B
=9x2﹣2x+7﹣2（x2+3x﹣2）
=9x2﹣2x+7﹣2x2﹣6x+4
=（9﹣2）x2﹣（2+6）x+4+7
=7x2﹣8x+11．
所以2A+B=2（7x2﹣8x+11）+x2+3x﹣2
=14x2﹣16x+22+x2+3x﹣2
=15x2﹣13x+20．
7.已知代数式mx2﹣mx﹣2与3x2+mx+m的和是单项式，求代数式m2﹣2m+1的值．
【解析】解：mx2﹣mx﹣2+3x2+mx+m=（m+3）x2+m﹣2，
∵和为单项式，
∴m+3=0或m﹣2=0，即m=﹣3或m=2，
当m=﹣3时， m2﹣2m+1=9+6+1=16；
当m=2时，m2﹣2m+1=4﹣4+1=1．
8.先化简下式，再求值：
2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．
【解答】解：原式=2x2 ﹣[（﹣x2+2xy）﹣2y2] ﹣2x2+2xy﹣4y2
=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2
=x2﹣2y2，
当x=，y=﹣1时，原式=﹣2=﹣．
9.先化简，再求值：3m2n﹣[mn2﹣（4mn2﹣6m2n）+m2n]+4mn2，其中m=﹣2，n=3．
【解析】解：原式=3m2n﹣（mn2﹣2mn2+3m2n+m2n）+4mn2
=3m2n﹣mn2+2mn2﹣3m2n﹣m2n+4mn2
=﹣m2n+5mn2
当m=﹣2，n=3时，
原式=﹣（﹣2）2×3+5×（﹣2）×32
=﹣102．
10.一辆公交车上原来有（6a﹣6b）人，中途下去一半，又上来若干人，使车上共有乘客（10a﹣6b）人，问上车的乘客是多少人？当a=3，b=2时，上车的乘客是多少人？
【解析】解：由题意可得，
（10a﹣6b）﹣[（6a﹣6b）﹣（6a﹣6b）]
=10a﹣6b﹣3a+3b
=7a﹣3b，
即上车的乘客是（7a﹣3b）人，
当a=3，b=2时，7a﹣3b=7×3﹣3×2=15（人），
即当a=3，b=2时，上车的乘客是15人．第7讲 整式的加减
知识点1 合并同类项
根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
【典例】
1.下列计算正确的是（　　）
A. 3a﹣2a=1 B. x2y﹣2xy2=﹣xy2 C. 3ax﹣2xa=ax D. 3a2+5a2=8a4
【方法总结】
1.合并同类项首先找到同类项，即满足两个“相同”的项，跟字母的先后顺序无关.
2.合并同类项只需把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
【随堂练习】
1．（2019 东河区二模）若单项式am﹣1b与a2bn的和仍是单项式，则mn的值是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
2．（2019 凉州区校级二模）若单项式am﹣1b2与a2bn的和是单项式，则mn的值是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
3．（2019 长宁区二模）化简m3+m3的结果等于（　　）
A．m6 B．2m6 C．2m3 D．m9
4．（2018秋 龙华区校级期末）已知单项式3xmy3与4x2yn的和是单项式，则|m﹣n|的值是（　　）
A．2 B．1 C．5 D．﹣1
5．（2018秋 贵阳期末）若单项式xmy2与﹣2x3yn的和仍是单项式，则nm的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．8
6．（2018秋 桥西区期末）若单项式am+4b2与的和是单项式，则mn的值是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．4
7．（2019 柳江区模拟）下列计算的结果中正确的是（　　）
A．3x+y＝3xy B．5x2﹣2x2＝3
C．2y2+3y2＝5y4 D．2xy3﹣2y3x＝0
知识点2 去括号与添括号
1.去括号法则：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面各项的符号都不改变.
括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面各项的符号都要改变.
2.添括号法则：
添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.
【典例】
1.下列去括号错误的是（　　）
A. 3a2﹣（2a﹣b+5c）=3a2﹣2a+b﹣5c
B. 5x2+（﹣2x+y）﹣（3z﹣a）=5x2﹣2x+y﹣3z+a
C. 2m2﹣3（m﹣1）=2m2﹣3m﹣1
D. ﹣（2x﹣y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2
【方法总结】
1.括号前面有系数的在去括号时可以先把数字乘到括号里面，再根据去括号法则进行运算.
2.两个层次的括号同时存在时，可以按照从里到外先去小括号，再去中括号；也可以将小括号看成一个整体先去中括号再去小括号.
【随堂练习】
1．（2018秋 顺德区期末）去括号2﹣（x﹣y）＝（　　）
A．2﹣x﹣y B．2+x+y C．2﹣x+y D．2+x﹣y
2．（2018秋 槐荫区期末）下列各项去括号正确的是（　　）
A．﹣3（m+n）﹣mn＝﹣3m+3n﹣mn
B．﹣（5x﹣3y）+4（2xy﹣y2）＝﹣5x+3y+8xy﹣4y2
C．ab﹣5（﹣a+3）＝ab+5a﹣3
D．x2﹣2（2x﹣y+2）＝x2﹣4x﹣2y+4
3．（2018秋 乐亭县期末）若式子2mx2﹣2x+8﹣（3x2﹣nx）的值与x无关，mn（　　）
A． B． C． D．
4．（2018秋 惠东县期末）下列变形中，不正确的是（　　）
A．a﹣b﹣（ c﹣d ）＝a﹣b﹣c﹣d B．a﹣（b﹣c+d ）＝a﹣b+c﹣d
C．a+b﹣（﹣c﹣d ）＝a+b+c+d D．a+（b+c﹣d ）＝a+b+c﹣d
5．（2018秋 定兴县期末）下列运算中“去括号”正确的是（　　）
A．a+（b﹣c）＝a﹣b﹣c B．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
C．m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+q D．x2﹣（﹣x+y）＝x2+x+y
6．（2018秋 沙坪坝区校级期中）下列各式，去括号正确的是（　　）
A．x2﹣（2y﹣z）＝x2﹣2y﹣z B．a﹣[﹣（﹣b+c）]＝a﹣b+c
C．m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+q D．a+（b﹣c﹣2d）＝a+b﹣c+2d
7．（2018春 五华县期末）关于x，y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含二次项，则k＝（　　）
A．4 B． C．3 D．
知识点3：整式的加减
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。然后去括号，再合并同类项.
【典例】
1.已知一个多项式加上x2﹣3得到﹣x2+x，那么这个多项式为（　　）
A. x+3 B. x﹣3 C. ﹣2x2+x﹣3 D. ﹣2x2+x+3
【方法总结】
多项式与多项式、单项式相加减运算中，可以先把所求的未知整式作为整体，用某个大写字母表示，根据已知条件列出等式，最后通过对等式的变形、计算求出未知整式。
【典例】
1.一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则另一边长为____
【方法总结】
解决整式加减的实际问题时，需要将整式运算与实际问题相结合，首先找出实际问题公式、等量关系，将给定的整式带入对应的位置，求出未知的量即可。
2.若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|2b|=_____
【方法总结】
整式的加减与绝对值相结合时，首先根据数轴上点的位置确定各字母的大小关系，再判断绝对值号里面整式的正负，并去绝对值号化成一般整式.
【随堂练习】
1．（2019春 南京期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
2．（2019 慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l1，图③中两个阴影部分图形的周长和为l2，若，则m，n满足（　　）
A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n
3．（2019 鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
4．（2018秋 新乐市期末）如图，两个三角形的面积分别为16，9，若两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
二．解答题（共2小题）
5．（2019 姑苏区校级模拟）已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．
6．（2018秋 沙坪坝区校级期中）材料题：
材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．
材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．
（1）证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除．
（2）一个四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数对3同余，求这个四位k阶数．
　
知识点4：化简求值
【典例】
1.已知a﹣b=3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）=_____
【方法总结】
对复杂多项式化简求值首先将多项式去括号、合并同类项进行化简、加减运算，找到化简结果与已知条件的关系，代入求值即可。
2.若|x+y+2|+（xy﹣1）2 =0，则（3x﹣xy+1）﹣（xy﹣3y﹣2）=_____
【方法总结】
绝对值与平方都具有非负性，几个非负数之和为0，则每个非负数都为0.
【随堂练习】
1．（2018秋 邗江区期末）已知a﹣b＝3，c+d＝2，则（a+c）﹣（b﹣d）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
二．填空题（共1小题）
2．（2019春 蜀山区期中）已知（a+b）2＝7，|ab|＝3，则（a2+b2）﹣ab＝　﹣　．
三．解答题（共4小题）
3．（2018秋 遵义期末）化简与求值
（1）化简：2m2﹣2m﹣m2﹣3；
（2）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣3（ab2+1），其中a＝﹣2，b＝2
4．（2018秋 二道区期末）有这样一道题：“计算﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）+（2x3﹣3x2y﹣2xy2）的值，其中x＝，y＝﹣3”甲同学把“x＝”错抄成“x＝﹣”，但他计算的结果也是正确的．你能说这是怎么回事吗？并求出正确的结果．
5．（2018秋 惠城区期末）先化简，再求值：3x2y﹣2x3﹣2（x2y﹣x3），其中x＝﹣3，y＝2
6．（2018秋 端州区期末）先化简后求值：M＝（﹣2x2+x﹣4）﹣（﹣2x2﹣），其中x＝2．
综合运用
1.若x+y=2017，xy=2016，则整式（x+2y﹣3xy）﹣（﹣2x﹣y+xy）+2xy﹣1=________．
2.合并同类项
（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2
（2）a2﹣ab+a2+ab﹣b2．
3.有人说代数式（a2﹣3﹣3a+a3）﹣（2a3+4a2+a﹣8）+（a3+3a2+4a﹣4）的值与a无关，你认为正确吗？请说明你得出的结论和理由．
4.已知：A=x2﹣2xy+y2，B=x2+2xy+y2
（1）求A+B；
（2）如果2A﹣3B+C=0，那么C的表达式是什么？
5.已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．解答下列各题：
（1）判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）
a﹣b_______0，b﹣c_______0，c﹣a_______0，b+c_______0
（2）化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|+|b+c|．
6.一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B”求得的结果为9x2﹣2x+7，已知B=x2+3x﹣2，求正确答案．
7.已知代数式mx2﹣mx﹣2与3x2+mx+m的和是单项式，求代数式m2﹣2m+1的值．
8.先化简下式，再求值：
2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．
9.先化简，再求值：3m2n﹣[mn2﹣（4mn2﹣6m2n）+m2n]+4mn2，其中m=﹣2，n=3．
10.一辆公交车上原来有（6a﹣6b）人，中途下去一半，又上来若干人，使车上共有乘客（10a﹣6b）人，问上车的乘客是多少人？当a=3，b=2时，上车的乘客是多少人？

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