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第4讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
（2）（﹣1）+（-）；
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【解析】解：（1）4+（-6）
=﹣（6﹣4）
=﹣2．
（2）（﹣1）+（-）
=-（+）
=-（+）
=﹣；
（3）-2-（﹣3.5）
=-2+3.5
=3.5-2
=1.5；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）
=9+3
=12；
（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
=（1.4﹣1.6﹣4.3）﹣（﹣1.5）
=﹣4.5+1.5
=﹣3．
【难度】中
【结束】
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
（2）；
（3）；
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.
【解析】解：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5
=（﹣2.4）+3.5+（﹣4.6）+3.5
=[（﹣2.4）+（﹣4.6）]+（3.5+3.5）
=-7+7
=0；
（2）
=
=
=-10+
=﹣8．
（3）原式=
=（﹣2009）+（﹣）+（﹣2008）+（﹣）+4018++（﹣1）+（﹣）
=[（﹣2009）+（﹣2008）+4018+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1．
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）
=（1﹣2）+（3﹣4）…+（2015﹣2016）+（2017﹣2018）
=﹣1+（-1）+（-1）+…+（-1）（共1009个-1）
=﹣1009．
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．（2018秋 青岛期末）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
【解答】解：（1）2+3+4＝9，
9﹣6﹣4＝﹣1，
9﹣6﹣2＝1，
9﹣2﹣7＝0，
9﹣4﹣0＝5，
如图所示：
（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，
﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，
﹣2+1+4＝3，
如图所示：
x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，
y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，
x+y＝5+8＝13．
2．（2017秋 朝阳区期末）观察下面的等式：
﹣1＝﹣|﹣+2|+3；
3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3；
1﹣1＝﹣|1+2|+3；
（﹣）﹣1＝﹣|+2|+3；
（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3
回答下列问题：
（1）填空：　﹣3　﹣1＝﹣|5+2|+3；
（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是　0　；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．
【解答】解：观察可知：a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3，
则（1）﹣3﹣1＝﹣|5+2|+3；
（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是0；
（3）由a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3，可得|4﹣a|＝4﹣a，
则4﹣a≥0，解得a≤4，
即y的最大值是4，
此时的等式是4﹣1＝﹣|﹣2+2|+3．
故答案为：﹣3；0．
3．（2018秋 新疆期末）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？
【解答】解：（1）7﹣（﹣10）＝17（辆）；
（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）＝696（辆），
答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆；
（2）本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
（3）；
（4）．
【解析】解：（1）（﹣2）×（﹣8）=2×8，=16；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）=8÷=8×，=；
（3）11÷×（﹣），=﹣11×7×，=﹣28；
（4）（﹣1.5）×÷（﹣）×，=×××，=．
【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．
2.计算：
（1）×（﹣）××；
（2）29（﹣）；
（3）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）.
【解析】解：（1）原式=（×）×（﹣×）=×（﹣）=﹣．
（2）原式=（30﹣）×（﹣12）=30×（﹣12）﹣×（﹣12）=﹣360+=﹣359；
（3）原式=（﹣）×[（﹣5）+13﹣3]=（﹣）×5=﹣11．
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．（2018秋 南开区校级月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；
②若两个数（除零）互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；故原命题错误；
③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数；故原命题错误；
④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．
故选：A．
2．（2018春 泗洪县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：根据分析，可得
则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．
故选：B．
二．填空题（共1小题）
3．（2018秋 南开区校级月考）10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为　　．
【解答】解：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，由于原10个有理数互不相等，
可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，
而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数正好有10个，
∴这10项分别是：，，，，，，，，，，
它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，
那么，如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．
所以，10个真分数相加得出结果为5，于是所求的10个有理数之和为．
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
4．（2018秋 邓州市期中）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0，
∴a＝﹣10，b＝90，
即a的值是﹣10，b的值是90；
（2）①由题意可得，
点C对应的数是：90﹣[90﹣（﹣10）]÷（3+2）×2＝90﹣100÷5×2＝90﹣40＝50，
即点C对应的数为：50；
②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）﹣20]÷（3+2）
＝80÷5
＝16（秒），
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）+20]÷（3+2）
＝120÷5
＝24（秒），
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
知识点3 乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
（2）在中，叫做底数，叫做指数；
（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【解析】解：∵折一次厚度是这张纸的21倍，折两次厚度就是这张纸的22倍，折三次厚度就是这张纸的23倍，
∴这张纸连续对折8次时厚度就是这张纸的28倍，
又∵这张纸的厚度为0.09mm，
∴连续对折8次时这张纸的厚度是：0.09×28=0.09×256，
=23.04（mm）．
对折15次后纸的厚度为0.09×215=2949.12（mm）≈2.9m，
所以对折15次后，所得的厚度可以超过自己的身高．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
2.若，则yx=__________．
【解析】解：根据题意得，
解得，
则yx=（）2=．
故答案是：．
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可求解．
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【答案】
【解析】解：（1）将102000000000000用科学记数法表示为：1.02×1014；
（2）将690000用科学记数法表示为：6.9×105；
（3）∵102000000000000÷300000=340000000（s），
∴将340000000用科学记数法表示为：3.4×108．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．（2018秋 翠屏区期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是　8　．
【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，
即3×449+5＝1352（偶数），
需再进行F②运算，
即1352÷23＝169（奇数），
再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），
再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），
再进行F②运算，即8÷23＝1，
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，
即第1次运算结果为1352，…，
第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，
可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，
从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，
这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．
故答案为：8．
二．解答题（共3小题）
2．（2018秋 农安县期末）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012的值．
【解答】解：由已知可得，a+b＝0，cd＝1，x＝±2；
当x＝2时，
x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012
＝22﹣（0+1）×2+02011+（﹣1）2012
＝4﹣2+0+1
＝3
当x＝﹣2时，
x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012
＝（﹣2）2﹣（0+1）×（﹣2）+02011+（﹣1）2012
＝4+2+0+1
＝7
3．（2019 柳州模拟）阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22015．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22015，将等式两边同时乘以2得：
2S＝2+22+23+24+…+22015+22016
将下式减去上式得2S﹣S＝22016﹣1
即S＝1+2+22+23+24+…+22015＝22016﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘以2，得
2S＝2+22+23+24+…+211
将下式减去上式，得
2S﹣S＝211﹣1
即S＝1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n，
将等式两边同时乘以3，得
3S＝3+32+33+34+…+3n+1，
将下式减去上式，得
3S﹣S＝3n+1﹣1
即2S＝3n+1﹣1
得S＝1+3+32+33+34+…+3n＝．
4．（2018 凉山州模拟）我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
【解答】解：101011＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝43，
所以二进制中的数101011等于十进制中的43．
综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
【解析】解：∵|a|=2，c是最大的负整数，
∴a=±2，c=﹣1．
当a=2时，a+b﹣c=2+（﹣3）﹣（﹣1）=2﹣3+1=0；
当a=﹣2时，a+b﹣c=﹣2+（﹣3）﹣（﹣1）=﹣2﹣3+1=﹣4．
故答案为0或-4.
2.2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=____．
【解析】解：原式=2.5﹣2.25﹣1.75﹣0.5
=2.5﹣0.5﹣（2.25+1.75）
=2﹣4
=﹣2，
故答案为：﹣2．
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
【解析】解：105 000=1.05×105．
故答案为：1.05×105．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．
【解析】解：1米长的绳子，第一次剪去一半后剩下；
第二次剪去剩下的一半后剩下的一半是；
第三次再剪去的一半后剩下；
第三次再剪去的一半剩下．
第n次后剩下（）n=．
故答案为：，．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
【解析】解：∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1=2（条），
对折3次比对折2次折痕多7﹣3=4=22（条），
对折4次比对折3次折痕多15﹣7=8=23（条），
……
∴对折10次比对折9次折痕多29条，
故答案为：29．
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
【解析】解：原式=﹣0.5+6+7+4.75
=（﹣0.5+7）+（6）
=（﹣0.5+7.5）+（6）
=7+11
=18．
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
【解析】解：（1）18﹣9+7﹣14﹣3+11﹣6﹣8+6+15=+17．
则养护小组最后到达的地方在出发点的东边，17千米处；
（2）养护过程中，通过计算绝对值可知该小组距离出发点的距离依次为18,9,16,2,1,10,4,4,2,17，
所以养护过程中，最远处离出发点是18千米；
（3）（18+9+7+14+3+11+6+8+6+15）a=97a.
答：这次养护小组的汽车共耗油97a升．
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（2）9×15；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【解析】解：（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）
=﹣（100×0.01）×（14×6）
=﹣1×84
=﹣84；
（2）9×15
=（10﹣）×15
=10×15﹣×15
=150﹣
=149；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）
=﹣100×0.125﹣0.125×35.5+14.5×（﹣0.125）
=0.125×（﹣100﹣35.5﹣14.5）
=×（﹣150）
=﹣；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…×（19﹣20）
=（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）（共19个-1）
=﹣1．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.
【解析】解：依题意得：（x+3）2=0，|3x+y+m|=0，
即x+3=0，3x+y+m=0，
∴x=﹣3，
∴﹣9+y+m=0，即m=9﹣y，
根据y的平方等于它本身，可知y=0或1.
当y=0时，有m=9-0=9，m=9；
当y=1时，有m=9-1=8，m=8.
∴m的值为9或8.
1第4讲 有理数的加减乘除乘方运算
知识点1 加减运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
.
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合；
把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合；
既有小数又有分数的运算要统一后再结合；
把带分数拆分后再结合；
分组结合；
先拆项后结合.
【典例】
1.计算：
（1）4+（﹣6）；
（2）（﹣1）+（-）；
（3）-2-（﹣3.5）；
（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
【方法总结】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
注意：绝对值有括号的作用.
2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；
（2）；
（3）；
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.
【方法总结】
（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．
本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.
【随堂练习】
1．（2018秋 青岛期末）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
2．（2017秋 朝阳区期末）观察下面的等式：
﹣1＝﹣|﹣+2|+3；
3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3；
1﹣1＝﹣|1+2|+3；
（﹣）﹣1＝﹣|+2|+3；
（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3
回答下列问题：
（1）填空：　　﹣1＝﹣|5+2|+3；
（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是　　；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．
3．（2018秋 新疆期末）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？
知识点2 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
多个有理数相乘：
（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
，
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
【典例】
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；
（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
（3）；
（4）．
【方法总结】
（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；
（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．
2.计算：
（1）×（﹣）××；
（2）29（﹣）；
（3）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）.
【方法总结】
（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；
（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；
（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．
本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．
【随堂练习】
1．（2018秋 南开区校级月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2018春 泗洪县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二．填空题（共1小题）
3．（2018秋 南开区校级月考）10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为　　．
三．解答题（共1小题）
4．（2018秋 邓州市期中）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
知识点3 乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
（2）在中，叫做底数，叫做指数；
（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿 .
【典例】
1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
【方法总结】
根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．
本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
2.若，则yx=__________．
【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可求解．
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
【方法总结】
用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．（2018秋 翠屏区期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是　　．
二．解答题（共3小题）
2．（2018秋 农安县期末）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012的值．
3．（2019 柳州模拟）阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22015．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22015，将等式两边同时乘以2得：
2S＝2+22+23+24+…+22015+22016
将下式减去上式得2S﹣S＝22016﹣1
即S＝1+2+22+23+24+…+22015＝22016﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）
4．（2018 凉山州模拟）我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
综合运用
1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．
2.2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=____．
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？
8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（2）9×15；
（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.
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