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第5讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右进行；
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1.计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]；
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×；
（3）×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×+1|.
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣×（2﹣9）=﹣1-×（-7）=-1+=；
（2）原式=﹣4+|﹣3|﹣24××=﹣4+3﹣=﹣．
（3）原式=﹣×（﹣8）÷4﹣2×|（﹣1）×+1|=1×﹣2×=﹣=﹣．
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（2017秋 罗平县期末）计算
（1）[1﹣（﹣+）×24]÷（﹣5）；
（2）﹣12018+|2﹣11|×（﹣）2﹣（﹣2）÷
【解答】解：（1）[1﹣（﹣+）×24]÷（﹣5）
=[1﹣×24+×24﹣×24]÷（﹣5）
=[1﹣15+4﹣14]÷（﹣5）
=﹣23÷（﹣5）
=；
（2）﹣12018+|2﹣11|×（﹣）2﹣（﹣2）÷
=﹣1+9×+6
=﹣1+1+6
=6．
　
2．（2017秋 江阴市期末）计算：
（1）（+）+（﹣）﹣|﹣3|
（2）﹣22+3×（﹣1）2017﹣9÷（﹣3）
【解答】解：（1）原式=﹣﹣3=﹣3；
（2）原式=﹣4﹣3+3=﹣4．
　
3．（2017秋 滨海新区期末）计算：
（Ⅰ）4×（）×5；
（Ⅱ）2﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5）
【解答】解：（Ⅰ）原式=20×（）=10﹣6+8=12；
（Ⅱ）原式=2﹣8÷2×（﹣2）=2+8=10．
　
4．（2017秋 鄂城区期末）计算：
（1）×（﹣9）﹣36×（）
（2）（）×（﹣6）+（﹣）2÷（﹣）3
【解答】解：（1）×（﹣9）﹣36×（）
=﹣6﹣36×+36×﹣36×
=﹣6﹣20+27﹣3
=﹣2；
（2）（）×（﹣6）+（﹣）2÷（﹣）3
=﹣×（﹣6）+÷（﹣）
=1﹣2
=﹣1．
　
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.
【典例】
1.计算：
（1）﹣14﹣（﹣+）×24；
（2）×（﹣5）+（﹣）×9﹣×8；
（3）|4﹣4|+（）﹣（+5）．
【解析】解：（1）原式=﹣1﹣（﹣+×24）=﹣1﹣（16-18+4）=﹣1﹣2
=﹣3．
（2）原式=（-）×5+（﹣）×9+（﹣）×8=﹣×（5+9+8）=﹣×22=﹣7；
（3）原式=|﹣|+（﹣+﹣）×12﹣4﹣5=+（﹣）×12++（﹣）×12﹣4﹣5
=﹣6+8﹣2﹣4﹣5=﹣8．
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.
【解析】解：（1）1+3+5+7+9+…+19=（）2=100；
故答案为100.
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）
=（）2，
=（n+2）2；
故答案为：（n+2）2；
（3）1001+1003+1005+…+2009+2017，
=（）2﹣（）2，
=10092﹣5002，
=1018081﹣250000，
=768081．
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（2018 合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S=∴31+32+33+34+35+36=
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_____粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：
1．计算：+++…+（仿照材料写出求解过程）
2．计算：+++…+=________（直接写出结果）
【解答】解：（一）（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放263粒米；
故答案为：263；
（2）根据题意得：S=1+21+22+…+264，①
则有2S=21+22+…+265，②
②﹣①得：S=265﹣1；
（二）1、设S=+++…+，①
则有4S=1++++…+，②
②﹣①得：3S=1﹣，
则S=﹣；
2、根据题意得：原式=1+1+…+1﹣（+++…+）=n﹣+，
故答案为：n﹣+
　
2．（2017秋 宿州期末）观察下列计算，，，……
（1）第 5 个式子是_________；
（2）第 n 个式子是_________；
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算
【解答】解：（1）第5个式子是=﹣；
（2）第n个式子是=﹣；
（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
故答案为：（1）=﹣；=﹣
　
3．（2017秋 娄星区期末）观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣．
可得：++=1﹣+﹣+﹣
=1﹣
=
（1）猜想并写出：=_____﹣_______．
（2）利用上述猜想计算：+++…+．　　　
（3）探究并计算：+++…+．
【解答】解：（1）=﹣；
故答案为：，；
（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；
（3）原式=×（+++…+）=×（1﹣+﹣+…+﹣）=×=．
　
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．
【解析】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，
∴a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0，
∴x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017
=（﹣1）2+（0+1）（﹣1）+02017+（﹣1）2017﹣02017
=1﹣1+0﹣1﹣0
=﹣1
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（2017秋 虎林市校级期中）已知a、b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2﹣﹣cd的值．
【解答】解：∵a、b互为相反数且a≠0，
∴a+b=0，则=﹣1．
又∵c，d互为倒数，
cd=1．
又∵m的绝对值是最小的正整数，
∴m=1，
则m2=1．
∴原式=1﹣（﹣1）+﹣1
=1+1﹣1
=1．
　
2．（2017秋 泗阳县期中）已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数．求代数式（ab）2017﹣﹣m3的值．
【解答】解：∵a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数，
∴ab=1，x+y=0，m=±4，
当m=4时，
原式=12017﹣﹣43=﹣63；
当m=﹣4时，
原式═12017﹣﹣（﹣4）3=65．
知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【解析】解：（1）20﹣4=16（个）；
故答案为：16．
（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+6）+0
=10﹣12﹣4+8﹣1+6
=7，
∴140+7=147（个）．
故本周实际生产玩具147个；
故答案为： 147．
（3）147×5+（10+8+6）×3+（12+4+1）×（﹣3）
=735+24×3+17×（﹣3）
=735+72﹣51
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资总额是756元；
（4）147×5+7×3
=735+21
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．
【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2017秋 无锡期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 +10 ﹣12 ﹣4 +8 ﹣1 +6 0
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具　16　个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具　147　个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【解答】解：（1）20﹣4=16个；
（2）∵（+10）+（﹣12）+（﹣4）+（+8）+（﹣1）+（+6）+0
=10﹣12﹣4+8﹣1+6
=7，
∴140+7=147（个）．
故本周实际生产玩具147个；
（3）147×5+（10+8+6）×3+（12+4+1）×（﹣3）
=735+24×3+17×（﹣3）
=735+72﹣51
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资总额是756元；
（4）147×5+7×3
=735+21
=756（元）．
故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多．
故答案为：16，147．
　
2．（2017秋 简阳市期中）“十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为___万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
【解答】解：（1）根据题意列得：4.2+（1.8﹣0.6+0.2﹣0.7）=4.2+0.7=4.9（万人）；
（2）根据表格得：七天中旅客最多的是1日为6万人，最少的是7日为1.7万人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多6﹣1.7=4.3（万人）；
（3）根据表格得：每天旅客人数分别为6万人、5.4万人、5.6万人、4.9万人、3.6万人、4.1万人、1.7万人，
则黄金周七天的旅游总收入约为（6+5.4+5.6+4.9+3.6+4.1+1.7）×100=3130（万元）．
故答案为：（1）4.9；（2）4.3
　
3．（2017秋 天宁区校级月考）气象统计资料表明，某一地区当高度每增加100米，气温就降低大约0.6℃．
（1）若测得该地区某山在山脚的气温是2℃，则距离山脚有600米高的山腰气温是____℃．
（2）在一次社会实践中，小明和小林欲考证该地区某山顶的海拔高度．他俩进行实地测量，小明在山下一海拔高度为11米的小山坡上测得气温为24℃，小林在最高位置测得气温为14.4℃．根据测量的数据，请你列式计算该山顶的海拔高度．
【解答】解：（1）由题意可得，
2+（600÷100）×（﹣0.6）
=2+6×（﹣0.6）
=2+（﹣3.6）
=﹣1.6，
故答案为：﹣1.6；
（2）由题意可得，
11+（14.4﹣24）÷（﹣0.6）×100
=11+（﹣9.6）÷（﹣0.6）×100
=11+16×100
=11+1600
=1611（米），
答：该山顶的海拔高度是1611米．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【解析】解：把5代入计算程序中得：[5+（﹣1）]÷（﹣2）=4÷（﹣2）=﹣2＜0，
把﹣2代入计算程序中得：[（﹣2）+（﹣1）]÷（﹣2）=﹣3÷（﹣2）=＞0，
则输出的结果为，
故答案为.
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（2017秋 港闸区期末）如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是 12，则最初输入的数是_____．
【解答】解：由程序图可知：
4[4（4x﹣6）﹣6]﹣6=12，
移项、合并同类项得，64x=138，
化系数为1得，x=，
故答案为：．
　
2．按如图程序计算：输入x=2，则输出的答案是______．
【解答】解：把x=2代入得：﹣2×（﹣）÷1.2=×=，
故答案为：
　
3．（2017秋 安徽月考）按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为_____．
【解答】解：把﹣3代入得：（﹣3）2=9＜10，
则有（9+2）×5=55．
故答案为：55
3.（2017秋 台州期中）如图所示的运算程序中，用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
（1）①如图1，当输入数x=﹣4时，输出数y=____；
②如图2，第一个运算框“”内，应填____；第二个运算框“”内，应填___；
（2）①如图3，当输入数x=﹣2时，输出数y=___；
②如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=____．；
（3）某市为鼓励居民节约用电，决定对居民用电实行“阶梯价”：当每户每月用电量不超过190度时（含100度），以0.5元/度的价格收费；当每户每月用电量超过100度时，其中100度以0.5元/度的价格收费，超过部分以0.8元/度的价格收费．请设计出一个如题中的“计算框图”，使得输入数为用电量x（度），输出数为电费y（元）
【解答】解：（1）①当x=﹣4时，y=﹣4×2﹣5=﹣13，
故答案为：﹣13；
②第一个运算框内“×5”；第二个运算框内“﹣3”，
故答案为：×5，﹣3；
（2）①当x=﹣1时，y=﹣2×2﹣5=﹣9＞﹣20，﹣9×2﹣5=﹣23＜﹣20，
故答案为：y=﹣23；
②分为两种情况：当x＞0时，x﹣5=26，
解得：x=31；
当x＜0时，x2+1=26，
解得：x=±5，x=5舍去；
故答案为：31或﹣5；
（3）因为当每月用电量不超过100度时（含100）以0.5元/度的价格收费；
当每月用电量超过100度时，超过部分以0.8元/度的价格收费，
所以电费收缴分两种情况，x≤100和x＞100，
分别计算，所以可以设计如框图如图．
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；
（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，_________________．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【解析】解：（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，都得这个数的绝对值，
故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．
（2）原式=（﹣5） 12=﹣17；
（3）加法的交换律仍然适用，
例如：（﹣3） （﹣5）=8，（﹣5） （﹣3）=8，
所以（﹣3） （﹣5）=（﹣5） （﹣3），
故加法的交换律仍然适用．
【方法总结】
（1）根据题目给出的 （加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出 （加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的 （加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a b= b a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a b c= a （b c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（2017秋 余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10．规定运算sum（a1：an）=a1+a2+a3+…+an．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum（a1：a3）=2+4+6=12．
（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a3=___，sum（a1：a10）=_____．
（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018=____，sum（a1：a2018）=______．
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a1：an）|=50成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，
a3=3，
sum（a1：a10）
=1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+9+（﹣10）
=﹣5，
故答案为：3，﹣5；
（2）由题意可得，
a2018=﹣2018，
sum（a1：a2018）
=1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2017+（﹣2018）
=[1+（﹣2）]+[3+（﹣4）]+…+[2017+（﹣2018）]
=（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
=﹣1009，
故答案为：﹣2018，﹣1009；
（3）在（2）的条件下存在正整数n使等式|sum（a1：an）|=50成立，
当n为奇数时，
|sum（a1：an）|=|﹣+n|=50，
解得，n=99，
当n为偶数时，
|sum（a1：an）|=|﹣|=50，解得，n=100．
　
2．（2017秋 朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．
（1）求（﹣2）⊙3的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“ ”，使得5 3=20，写出你定义的运算：m n=______（用含m，n的式子表示）．
【解答】解：（1）∵a⊙b=a（a+b）﹣1，
∴（﹣2）⊙3
=（﹣2）×[（﹣2）+3]﹣1
=（﹣2）×﹣1
=（﹣3）﹣1
=﹣4；
（2）∵5 3=20，
∴m n=3m+2+n，
故答案为：3m+2+n．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．
【解析】解：[2×3+（﹣2）2]÷5
=[6+4]÷5
=10÷5
=2.
故答案为：2．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．
【解析】解：若x为偶数，可得x=3，即x=6；
若x为奇数，可得（x+1）=3，即x=5，
故答案为：5或6
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+值为_________.
【解析】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，
当m=2时，原式=2﹣1+0=1；
当m=﹣2时，原式=﹣2﹣1+0=﹣3，
故答案为 1或﹣3.
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）；
（2）（）÷（﹣）×；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷×[2﹣（﹣3）2]；
（4）.
【解析】解：（1）原式=-|﹣6|+3-2×（-3）
=﹣6+3+6
=3；
（2）原式=﹣×（﹣）×=1；
（3）原式=﹣1﹣÷×（2﹣9）
=﹣1﹣×7×（2﹣9）
=﹣1﹣×7×（﹣7）
=﹣1﹣（﹣）
=﹣1+
=．
（4）原式=
=
=
=
=2.2．
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：=1﹣，=﹣，=﹣，=﹣，……
那么：
（1）=；
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；
（3）计算：+++……．
【解析】解：（1）=﹣；
（2）根据题意得：=﹣；
（3）原式=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
【解析】解：（1）∵13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102，
∴13+23+33+43+53=152．
（2）左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数．
（3）13+23+33+43+…+1003
=（1+2+3+4+…+100）2
=50502
=25502500．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
【解析】解：180×5+（200﹣180）×7，
=900+140，
=1040（元）．
∵1040＞1000，
∴准备1000元的水费不够．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把（a≠0）记作a ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③=，（﹣）⑤=；
（2）关于除方，下列说法错误的是，
【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1 =1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣）⑩=_________________．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．
【解析】解：【概念学习】
（1）2③=2÷2÷2=，
（﹣）⑤=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）=﹣8
故答案为：，﹣8；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1 都等于1； 所以选项B正确；
C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
故选C；
【深入思考】
（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=（﹣3）×；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×；
（﹣）⑩=（﹣）×；
故答案为：（﹣3）×；5×；（﹣）×；
（2）a =a×n；
（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33，
=144÷[（﹣）×（﹣3）3]×[（﹣2）×（﹣）4]﹣[（﹣）×（﹣3）5]÷33，
=144÷9×﹣（﹣3）4÷33，
=16×（﹣）﹣3，
=﹣2﹣3，
=﹣5．
1第5讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右进行；
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1.计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]；
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×；
（3）×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×+1|.
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（2017秋 罗平县期末）计算
（1）[1﹣（﹣+）×24]÷（﹣5）；
（2）﹣12018+|2﹣11|×（﹣）2﹣（﹣2）÷
　
2．（2017秋 江阴市期末）计算：
（1）（+）+（﹣）﹣|﹣3|
（2）﹣22+3×（﹣1）2017﹣9÷（﹣3）
　
3．（2017秋 滨海新区期末）计算：
（Ⅰ）4×（）×5；
（Ⅱ）2﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5）
　
4．（2017秋 鄂城区期末）计算：
（1）×（﹣9）﹣36×（）
（2）（）×（﹣6）+（﹣）2÷（﹣）3
　
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.
【典例】
1.计算：
（1）﹣14﹣（﹣+）×24；
（2）×（﹣5）+（﹣）×9﹣×8；
（3）|4﹣4|+（）﹣（+5）．
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．
2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（2018 合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S=∴31+32+33+34+35+36=
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_____粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：
1．计算：+++…+（仿照材料写出求解过程）
2．计算：+++…+=________（直接写出结果）
　
2．（2017秋 宿州期末）观察下列计算，，，……
（1）第 5 个式子是_________；
（2）第 n 个式子是_________；
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算
3．（2017秋 娄星区期末）观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣．
可得：++=1﹣+﹣+﹣
=1﹣
=
（1）猜想并写出：=_____﹣_______．
（2）利用上述猜想计算：+++…+．　　　
（3）探究并计算：+++…+．
　
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（2017秋 虎林市校级期中）已知a、b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2﹣﹣cd的值．
　
2．（2017秋 泗阳县期中）已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数．求代数式（ab）2017﹣﹣m3的值．
知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2017秋 无锡期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 +10 ﹣12 ﹣4 +8 ﹣1 +6 0
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具　　个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具　　个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
　
2．（2017秋 简阳市期中）“十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为___万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
3．（2017秋 天宁区校级月考）气象统计资料表明，某一地区当高度每增加100米，气温就降低大约0.6℃．
（1）若测得该地区某山在山脚的气温是2℃，则距离山脚有600米高的山腰气温是____℃．
（2）在一次社会实践中，小明和小林欲考证该地区某山顶的海拔高度．他俩进行实地测量，小明在山下一海拔高度为11米的小山坡上测得气温为24℃，小林在最高位置测得气温为14.4℃．根据测量的数据，请你列式计算该山顶的海拔高度．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（2017秋 港闸区期末）如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是 12，则最初输入的数是_____．
　
2．按如图程序计算：输入x=2，则输出的答案是______．
　
3．（2017秋 安徽月考）按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为_____．
3.（2017秋 台州期中）如图所示的运算程序中，用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
（1）①如图1，当输入数x=﹣4时，输出数y=____；
②如图2，第一个运算框“”内，应填____；第二个运算框“”内，应填___；
（2）①如图3，当输入数x=﹣2时，输出数y=___；
②如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=____．；
（3）某市为鼓励居民节约用电，决定对居民用电实行“阶梯价”：当每户每月用电量不超过190度时（含100度），以0.5元/度的价格收费；当每户每月用电量超过100度时，其中100度以0.5元/度的价格收费，超过部分以0.8元/度的价格收费．请设计出一个如题中的“计算框图”，使得输入数为用电量x（度），输出数为电费y（元）
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；
（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，_________________．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【方法总结】
（1）根据题目给出的 （加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出 （加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的 （加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a b= b a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a b c= a （b c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（2017秋 余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10．规定运算sum（a1：an）=a1+a2+a3+…+an．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum（a1：a3）=2+4+6=12．
（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a3=___，sum（a1：a10）=_____．
（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018=____，sum（a1：a2018）=______．
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a1：an）|=50成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由．
　
2．（2017秋 朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．
（1）求（﹣2）⊙3的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“ ”，使得5 3=20，写出你定义的运算：m n=______（用含m，n的式子表示）．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．
3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+值为_________.
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）；
（2）（）÷（﹣）×；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷×[2﹣（﹣3）2]；
（4）.
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：=1﹣，=﹣，=﹣，=﹣，……
那么：
（1）=；
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；
（3）计算：+++……．
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…
（1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．
8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把（a≠0）记作a ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③=，（﹣）⑤=；
（2）关于除方，下列说法错误的是，
【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；
【选项B】对于任何正整数n，1 =1；
【选项C】3④=4③；
【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣）⑩=_________________．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；
（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．
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