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12．3　复数的几何意义
探究点1　复数与复平面内的点
已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上；
(2)在第三象限．
【解】　(1)若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝.
(2)若z对应的点在第三象限，则有解得－1利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求的值；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解：(1)因为z＝bi(b∈R)，所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.所以＝2.
(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m＜－2，即m∈(－∞，－2)时，复数所表示的点在第一象限．
探究点2　复数与复平面内的向量
已知O为坐标原点，向量OZ1，OZ2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋i，z2＝＋i.若1＋z2是实数．
(1)求实数a的值；
(2)求以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的面积．
【解】　(1)由题意可得1＝－i，
因为z2＝＋i，则1＋z2＝＋＋i，
由于复数1＋z2是实数，则解得a＝3.
(2)由(1)可得z1＝＋i，z2＝－1＋i，
则点Z1，Z2，
因此，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的面积为S＝×1＝.
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　
1．已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．－5＋5i　 B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
解析：选B．向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2).
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
2．在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选B．由题意得A(－1，2)，则B(－2，1)，所以向量表示的复数为－2＋i.
探究点3　复数的模
已知虚数z满足|2z＋1－i|＝|z＋2－2i|(i为虚数单位).
(1)求|z|的值；
(2)若mz＋∈R，求实数m的值．
【解】　(1)z为虚数，可设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则＝，
即|(2a＋1)＋(2b－1)i|＝|(a＋2)＋(b－2)i|，
所以2＋2＝2＋2，
整理可得a2＋b2＝2，
所以＝＝.
(2)由(1)知mz＋＝am＋bmi＋＝am＋bmi＋＝am＋＋i.
因为mz＋∈R，所以bm－＝0.因为 b≠0 所以m＝.
复数的模的求解思路
解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．
1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是(　　)
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：选A．由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
2．已知复数z1＝m＋(m2－2m)i，z2＝1＋i，其中m∈R.
(1)若复数z1为实数，求实数m的值；
(2)求的最小值．
解：(1)由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0，
即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0.
(2)因为z1＋z2＝(m＋1)＋(m－1)i,
所以＝＝，
故的最小值为，此时m＝0.
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A．由题意得解得－32．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选D．由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，点B的坐标为(－1，2)，故向量对应的复数为－1＋2i.
3．已知复数z满足＝2－2i，则＝(　　)
A． B． 2
C． 1 D．
解析：选C．因为z＝＝i，所以＝1.故选C．
4．(1)设复数z＝a－i，i是虚数单位，且|z|＝ ，求a的值．
(2)图中复平面内点Z表示复数z，若复数＋(m∈R)对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
解：(1)因为z＝a－i，|z|＝，，所以|z|＝＝，
所以a2＝16，所以a＝±4，
(2)由图可得z＝1＋2i，
所以＋＝＋＝＋，
又因为复数＋对应的点在第二象限，所以
所以－3[A　基础达标]
1．已知复数z＝，则在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B．依题意z＝＝＝－4－3i，所以＝－4＋3i，对应点为，在第二象限．故选B．
2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1＝2－i，则复数＝(　　)
A．－1 B．1
C．－＋i D．－i
解析：选C．因为z1＝2－i，z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，则z2＝－2－i，所以＝＝＝＝＝－＋i.故选C．
3．已知复数z＝m－1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：选A．由题意可得解得1所以||＝||＝||＝|＋i|＝＝.故选A．
4．设复数z满足＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C．z＝x＋yi(x，y∈R)，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝＝1，则x2＋(y－1)2＝1.故选C．
5．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1＋的虚部为(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．2
解析：选B．由题图可得，z1＝1＋2i，z2＝2－i，
则z1＋＝1＋2i＋＝1＋2i＋＝1＋2i＋＝1＋3i，所以复数z1＋的虚部为3.故选B．
6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．
解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤.
答案：
7．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是－2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为________．
解析：因为向量对应的复数是－2＋i，所以A(－2，1)，又点A关于实轴的对称点为点B，所以B(－2，－1).所以向量对应的复数为－2－i，该复数的模为|－2－i|＝＝.故答案为.
答案：
8．复数z1，z2满足＝3，＝2，＝，则＝________．
解析：因为|z1|＝3，|z2|＝2，|z1－z2|＝，所以z－2z1z2＋z＝7，即2z1z2＝6，
则|z1＋z2|2＝z＋z＋2z1z2＝9＋4＋6＝19，则|z1＋z2|＝.故答案为.
答案：
9．复数z＝(1－i)2－3a＋2＋i(a∈R).
(1)若z为纯虚数，求实数a的值，及z在复平面内对应的点的坐标；
(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围．
解：由题意得，z＝(1－i)2－3a＋2＋i＝(2－3a)－i.
(1)若z为纯虚数，则2－3a＝0，解得a＝，
此时z＝－i，z在复平面内对应的点的坐标为(0，－1)，
所以z为纯虚数时实数a＝，z在复平面内对应的点的坐标为(0，－1).
(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，
则解得a>.
所以z在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是(，＋∞).
10．设复数z的共轭复数为，已知＝4＋3i.
(1)求复数z及；
(2)求满足＝的复数z1对应的点的轨迹方程．
解：(1)因为＝4＋3i，
所以＝＝＝＝2－i，
所以z＝2＋i，
所以＝＝＝＝＋i.
(2)设z1＝x＋yi，因为|z1－1|＝|z|，
所以2＋y2＝22＋12＝5，
即复数z1对应的点的轨迹方程为2＋y2＝5.
[B　能力提升]
11．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　)
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解析：选AC．|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC．
12．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则复数＋z2＋在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D．复数＋z2＋|z|＝＋(1－i)2＋|1－i|＝－2i＋＝－i＋，
在复平面内对应的点(，－1)，位于第四象限．故选D．
13．设复数z满足＝，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y－3＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．2x－4y＋3＝0
解析：选B．设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2i|＝|z＋1|，所以x2＋(y－2)2＝(x＋1)2＋y2，解得2x＋4y－3＝0.故选B．
[C　拓展探究]
14．(多选)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是(　　)
A．eπi＋1＝0
B．＝1
C．cos x＝
D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
解析：选AB．eπi＋1＝cos π＋isin π＋1＝0，A对；|eix|＝|cos x＋isin x|＝1，B对；cos x＝，C错；依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 12，sin 12)，显然该点位于第四象限，D错；故选AB．
15．在①<0，②复平面上表示z1z2的点在直线x＋y＋2＝0上，③z2＋2＝－2.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数z，以及.已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋2i，________．若＝＋，求复数z，以及.
解：方案一：选条件①，
因为z1＝1＋i，所以＝＝＝，
由于<0，所以，解得a＝－1.
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
|z|＝ ＝.
方案二：选条件②，
因为z1＝1＋i，z2＝a＋2i，所以z1z2＝＝a－2＋i，
在复平面上表示z1z2的点为，
依题意可知＋＋2＝0，得a＝－1，
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
|z|＝ ＝.
方案三：选条件③，
因为z2＝a＋2i，所以2＝a－2i，
由z2＋2＝2a＝－2，得a＝－1，
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
|z|＝ ＝.

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