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12．4　复数的三角形式*
探究点1　复数的代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化为三角形式：
(1)－－i；
(2)1－i.
【解】　(1)－－i＝2(－－i)＝2(cos ＋isin )．
(2)1－i＝(－i)＝(cos ＋isin ).
把复数的代数形式转化为三角形式只要找到复数的模和复数的辐角主值即可．　
把ai(a>0)的代数形式化为三角形式．
解：因为a>0，所以ai＝a(cos ＋isin ).
探究点2　复数的三角形式化为代数形式
把下列复数的三角形式化为代数形式：
(1)2(sin ＋icos )；
(2)8(cos ＋isin ).
【解】　(1)2(sin ＋icos )＝2(＋i)＝＋i.
(2)8(cos ＋isin )＝8[cos (－)＋isin (－)]＝8(－i)＝4－4i .
把复数的三角形式化为代数形式只需将三角函数计算出值即可．　
把下列复数的三角形式化为代数形式：
(1)6(cos π＋isin π)；(2)sin ＋icos .
解：(1)6(cos π＋isin π)＝6(－1＋i×0)＝－6.
(2)sin ＋icos ＝＋i·(－)＝－i.
探究点3　复数三角形式的乘除法运算
计算下列各式的值：
(1)8(sin ＋icos )3；
(2)(cos ＋isin )÷(cos ＋isin ).
【解】　(1)8(sin ＋icos )3＝8(cos ＋isin )3
＝8(cos π＋isin π)＝8×(－1)＝－8.
(2)(cos ＋isin )÷(cos ＋isin )
＝[cos (－)＋isin (－)]
＝(cos π＋isin π)
＝－.
复数三角形式的乘除法运算只需要利用复数乘除法的运算法则进行计算即可．
化简下列各式：
(1)5(cos ＋isin )÷ ；
(2).
解：(1)5(cos ＋isin )÷
＝＝＝i.
(2)
＝＝1.
1.将复数－1＋i化成三角形式，正确的是(　　)
A．2(cos ＋isin )
B． 2(cos ＋isin )
C．2(cos ＋isin )
D．2(cos ＋isin )
解析：选A．－1＋i＝2(－＋i)＝
2(cos ＋isin )，故选A．
2.复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(　　)
A．80°　 B．100°
C．190° D．260°
解析：选C．z＝－sin 100°＋icos 100°＝－cos 10°－isin 10°＝cos 190°＋isin 190°，故选C．
3．两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，是z1＝z2成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．复数z1，z2的模与辐角分别相等，则z1＝z2成立；反之辐角不一定相等，可以相差2π的整数倍，故选A．
4.复数z＝(sin 25°＋icos 25°)3的三角形式是(　　)
A．cos 195°＋isin 195°
B．sin 75°＋icos 75°
C．cos 15°＋isin 15°
D．cos 75°＋isin 75°
解析：选A．z＝(sin 25°＋icos 25°)3＝(cos 65°＋isin 65°)3＝cos 195°＋isin 195°，故选A．
5．设3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角主值是(　　)
A．＋θ B． －θ
C． θ－ D． －θ
解析：选A．(3＋4i)·i＝5(cos θ＋isin θ)·(cos ＋isin )
＝5，
因为3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角主值是＋θ.
[A　基础达标]
1．下列表示复数1＋i的三角形式中，
①；②；
③；④；正确的个数是(　　)
A．1　 B．2
C．3 D．4
解析：选B．因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，所以辐角主值为，所以1＋i＝＝，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，
故选B．
2．设z1，z2是复数，arg z1＝α，arg z2＝β，则arg(z1z2)有可能是下列情况中的哪些？(　　)
①α＋β；②α＋β－2π；③2π－(α＋β)；④π＋α＋β.
A．① B．①②
C．①②③ D．①②④
解析：选B．α，β均为锐角时，z1z2的辐角主值为α＋β，辐角主值均为钝角时，z1z2的辐角主值为α＋β，若α，β均大于π时，z1z2的辐角主值为α＋β－2π.
3. 设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i，则arg z1＋arg z2＋arg z3＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．z1＝1－2i在第四象限，设辐角主值为α，z3＝－1＋3i在第二象限设辐角主值为β，则tan α＝－2，tan β＝－3, 所以tan (α＋β)＝1，所以α＋β＝，z2＝1＋i的辐角主值为，所以arg z1＋arg z2＋arg z3＝.
4．设z为复数，且z的辐角主值为，z－2的辐角主值为，则复数z为(　　)
A．－2＋i B．2－＋i
C．－1＋i D．1＋i
解析：选D．设z的辐角为α，因为z的辐角主值为，所以z位于第一象限且tan α＝，故选D．
5．已知|z|＝1，且非零复数ω＝(z＋i)2的辐角主值是，则这样的z共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A．设z＝cos α＋isin α，α∈，则ω＝2(cos α＋isin α)i＝2[cos (α＋)＋isin (α＋)]；因为复数ω＝(z＋i)2的辐角主值是，所以α＝0，故选A．
6．若复数z满足||＝，arg()＝，则z＝________．
解析：设＝z0，则|z0|＝，arg z0＝，
所以z0＝·(cos ＋isin )＝＋i，从而可由＝＋i解得z＝1＋i.
答案：1＋i
7．若动点P对应的复数为z，且满足|z－4i|＝2，则z的辐角主值的范围为________，|z|取得最大值时，z＝________．
解析：结合图形，即把代数问题几何化、图形化，见下图：
|z－4i|＝2表示动点P到点(0，4)距离为2的点组成的曲线，|z|取得最大值时即曲线上的点|y|取最大值时，即点(0，6)，对应z＝6i.
答案：[，]　6i
8. 的三角形式为________．
解析：＝(－1－i)＝[cos ()＋isin ()].
答案：[cos ()＋isin ()]
9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2，
设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1z＝
8[cos ＋isin ].由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以α＝kπ＋(k∈Z).又α∈(0，π)，所以α＝，
所以z2＝2(cos ＋isin )＝－1＋i.
10．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．
解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，
所以z2＝(cos ＋isin )，
z1＝z2＝(1＋i)z2＝(cos ＋isin )×(cos ＋isin )
＝2(cos ＋isin )，
所以z1的立方根为(cos ＋isin )，
k＝0，1，2，
即(cos ＋isin )，(cos ＋isin )，
(cos ＋isin ).
[B　能力测试]
11．在复平面内有五个点与方程x5＝－1＋i的五个根相对应，则这五个点中有两个点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B．x5＝－1＋i＝(cos ＋isin )，
x＝(cos ＋isin )，k＝0，1，2，3，4，故选B．
12．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β＝(　　)
A．135° B．315°
C．675° D．585°
解析：选C．复数2－i和3－i均位于第四象限，α，β∈(270°，360°)，因为tan (α＋β)＝－1，所以α＋β＝675° .
13．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－i D．＋i
解析：选D．由复数z的模为2，辐角为，
可得z＝2＝－1＋i.
所以＝＝＝＋i.
故选D．
[C　拓展探究]
14．(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A．＝2
B．当r＝1，θ＝时，z3＝1
C．当r＝1，θ＝时，＝－i
D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
解析：选AC．对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则z2＝r2，可得|z2|＝|r2|＝r2，|z|2＝|r(cos θ＋isin θ)|2＝r2，A选项正确；
对于B选项，当r＝1，θ＝时，z3＝3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，B选项错误；
对于C选项，当r＝1，θ＝时，z＝cos ＋isin ＝＋i，则＝－i，C选项正确；对于D选项，zn＝n＝cos nθ＋isin nθ＝cos ＋isin ，
取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，D选项错误．
故选AC．
15．已知|z＋1|＝，arg(z－3)＝，求复数z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋1＝(x＋1)＋yi，z－3＝－2x＋4yi，
因为|z＋1|＝，所以＝.①
因为arg(z－3)＝，所以tan ＝，即＝1.②
联立①②，解得或(经检验，当x＝－，y＝时，z－3＝－2x＋4yi＝＋i，不满足arg(z－3)＝，应舍去)
所以z＝2－i.

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