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章末复习提升课
主题1　复数的基本概念
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径，在两个复数相等的充要条件中，注意当a，b，c，d∈R时，由a＋bi＝c＋di才能推出a＝c且b＝d，否则不成立．　
1．复数的共轭复数是(　　)
A．－＋i B．－－i
C．－i D．＋i
解析：选D．由复数＝＝＝－i，所以共轭复数为＋i，故选D．
2．已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a＝(　　)
A．－4 B．4
C．1 D．－1
解析：选C．＝＝，因为复数为纯虚数，所以2a－2＝0且a＋4≠0，
解得a＝1.故选C．
主题2　复数的几何意义
(1)复数z＝(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
【解析】　(1)因为z＝＝＝＝＝＋i，所以z在复平面内所对应的点(，)在第一象限．故选A．
(2)因为z＝＝＝＋i，
所以＝－i，则z的共轭复数对应的点在第四象限．故选A．
【答案】　(1)A　(2)A
(1)复数z、复平面上的点Z及向量 一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可以把复数、向量联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　
1．如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A．1＋3i　　　 B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析：选D．由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D．
2．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R，x≠0)且|z－2|＝，则的取值范围是________．
解析：因为|z－2|＝|x－2＋yi|，|z－2|＝，所以(x－2)2＋y2＝3.设＝k，则y＝kx.联立化简为(1＋k2)x2－4x＋1＝0.因为直线y＝kx与圆有公共点，所以Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的取值范围为[－，].
答案：[－，]
主题3　复数的四则运算
计算＋()2 004＋.
【解】　原式＝＋[()2]1 002＋
＝i＋(－i)1 002＋0＝－1＋i.
复数的四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化．复数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用．
复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化．　
1．设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．
C．1 D．
解析：选C．因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1.故选C．
2．i是虚数单位，复数＝________．
解析：＝＝＝4－i.
答案：4－i
主题4　复数与其他知识的综合应用
已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R).
(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹；
(2)求方程实根的取值范围．
【解】　(1)设实根为t，
则t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)，
即(t2＋2t＋2xy)＋(t＋x－y)i＝0.
根据复数相等的充要条件，得
由②得t＝y－x，
代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.③
所以所求点(x，y)的轨迹方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
点(x，y)是以点(1，－1)为圆心，为半径的圆．
(2)由③得圆心为(1，－1)，半径r＝，
直线t＝y－x与圆有公共点，
从而应有≤，
即|t＋2|≤2，
所以－4≤t≤0，
故方程实根的取值范围是[－4，0].
复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何等知识的交汇．　
复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
解：|z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又因为|z＋3－i|＝，
|3－i|＝＝2，
所以||z|－2|≤，
即≤|z|≤3，
所以|z|的最大值为3，最小值为.
1．若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为(　　)
A． B．i
C．1　 D．i
解析：选A．由题意可知z＝＝＝＝＋i，故其虚部为.故选A．
2．设复数z满足＝1－i，则z＝(　　)
A．1＋i　　 B．1－i　　
C．－1＋i　　 D．－1－i
解析：选C．由题意得z＝＝＝＝－1＋i.故选C．
3．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则a＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
解析：选B．由题意知＝
＝＝＋i，
又由为纯虚数，
所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－，故选B．
4．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝(　　)
A．－2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．2－2i
解析：选D．因为x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，所以b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0.根据复数相等的充要条件，得b2＋4b＋4＝0且a＋b＝0，解得a＝2，b＝－2.
所以复数z＝2－2i.
5．已知z1，z2，z3∈C，给出下列三个命题：
①若z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0；
②若z1＋z2＞z3，则z1＋z2－z3＞0；
③若两个虚数互为共轭复数，则它们的和为实数．其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．若z1＋z2＝0，则z1＝－z2，此时z1与z2不一定均为0，所以①错误；因为z1＋z2＞z3，所以z1＋z2与z3均为实数，所以z1＋z2－z3＞0，②正确；两个虚数互为共轭复数，不妨设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)，所以z1＋z2＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R，③正确．故选C．
6．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．
解析：复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在复平面内对应的点(a＋1，1－a)在第二象限，故解得a＜－1.
答案：(－∞，－1)
7．若i为虚数单位，则＝________．
解析：＝＝＝＝＝－1－i.
答案：－1－i
8．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为1，z1z2是实数，求z2.
解：因为(z1－2)(1＋i)＝1－i，
所以z1－2＝＝＝－i，
所以z1＝2－i.
设z2＝a＋i，所以z1z2＝(2a＋1)＋(2－a)i.
因为z1z2是实数，所以2－a＝0，即a＝2.
所以z2＝2＋i.
9．已知z＝.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝＝
＝＝＝1－i，
所以|z|＝＝.
(2)由(1)可得z2＝－2i，
所以z2＋az＋b＝－2i＋a(1－i)＋b＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(a＋2)i，
所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
[A　基础达标]
1．在复平面内，若表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．　　　　　　
B．
C．∪
D．
解析：选A．因为表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，所以解得m<－1.
故选A．
2．已知x，y∈R，i＝y－i，则(　　)
A．x＋y＝0　 B．x－y＝0
C．xy＝2 D．xy＝－2
解析：选A．因为(3＋xi)i＝y－(x－1)i，所以－x＋3i＝y－(x－1)i，则－x＝y，3＝1－x，
即x＝－2，y＝2，所以x＋y＝0，xy＝－4.故选A．
3．在复平面内，复数2i，3对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且＝，则点C对应的复数是(　　)
A．1＋i B．＋i
C．1＋i D．＋i
解析：选B．两个复数对应的点分别为A，B，设点C的坐标为，
则由＝，得C为AB的中点，故C的坐标为，则点C对应的复数是＋i.
故选B．
4．设z＝－2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．3
解析：选B．z＝－2i＝－2i＝－2i＝－i，|z|＝1.
5．复数z1＝cos x－isin x，z2＝sin x－icos x，则＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D．复数z1＝cos x－isin x，z2＝sin x－icos x，则z1z2＝cos x sin x－cos x sin x＋i＝－i，则|z1z2|＝1，故选D．
6．若3a＋2bi＝i4＋i3(a，b∈R)则复数z＝a＋bi的虚部为________．
解析：因为3a＋2bi＝i4＋i3，所以3a＋2bi＝1－i，则a＝，b＝－，
所以z＝－i，虚部为－.故答案为－.
答案：－
7．若复数z与其共轭复数满足＝，z＋＝2，则z＋＝________．
解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，又|z|＝，z＋＝2，所以
因此z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋a－bi＝2a＝2.
故答案为2.
答案：2
8．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为________．
解析：＝＝＝＋i.因为是实数，所以＝0，即a－b＝0.故答案为a－b＝0.
答案：a－b＝0
9．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
解：(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
10．已知z1，z2为虚数，且满足＝5，z2＝3＋4i.
(1)若z1z2是纯虚数，求z1；
(2)在(1)的条件下，求证：为纯虚数．
解：(1)设z1＝a＋bi，
则z1z2＝＝3a＋4ai＋3bi－4b＝＋i，
因为|z1|＝5，z1z2是纯虚数，
所以解得或
因此z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.
(2)证明：若z1＝4＋3i，则＝＝＝＝i是纯虚数；
若z1＝－4－3i，则＝＝＝＝－3i也是纯虚数；综上，为纯虚数．
[B　能力提升]
11．(多选)已知复数z满足z2＝－7－24i，在复平面内，复数z对应的点可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选BD．设复数z＝a＋bi，则z2＝a2＋2abi－b2＝－7－24i，
由复数相等得解得或
因此z＝3－4i或z＝－3＋4i，所以对应的点为或，因此复数z对应的点可能在第二或第四象限．故选BD．
12．(多选)复数z满足·z＋3i＝2，则下列说法正确的是(　　)
A．z的实部为－3 B．z的虚部为2
C．＝3－2i D．|z|＝
解析：选AD．由·z＋3i＝2知，·z＝2－3i，即z＝·＝＝＝－3－2i，所以z的实部为－3，A正确；z的虚部为－2，B错误；＝－3＋2i，C错误；|z|＝＝，D正确；故选AD．
13．把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是(　　)
A．－－i， B．－＋i，
C．－－i， D．－＋i，
解析：选B．由题可知z1＝z2，
则z1＝·＝－2，
所以z1＝＝＝＝－＋i，
可知z1对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选B．
[C　拓展探究]
14．设复数z满足|z|＝1，使得关于x的方程zx2＋2x＋2＝0有实根，则这样的复数z的和为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R且a2＋b2＝1)，
则原方程zx2＋2x＋2＝0变为＋i＝0，
所以ax2＋2ax＋2＝0，①且bx2－2bx＝0.②
(1)若b＝0，则a2＝1解得a＝±1，当a＝1时①无实数解，舍去；
从而a＝－1，此时x＝－1±，故z＝－1满足条件；
(2)若b≠0，由②知，x＝0或x＝2，显然x＝0不满足，故x＝2，代入①得a＝－，b＝±，所以z＝－±i，
综上满足条件的所有复数的和为－1＋＋＝－.　
答案：－
15．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①；②；③.(i是虚数单位)
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．
解：(1)＝＝＝i；
＝＝＝i；
＝＝＝i.
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到：
＝i(a，b∈R且a，b不同时为零).
下面进行证明：
要证明＝i，
只需证a＋bi＝i(b－ai)，
只需证a＋bi＝a＋bi，
因为上式成立，所以＝i成立．

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