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第2讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（　　）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（2019春 江宁区校级月考）如果，则的平方根是　　．
2．（2019春 寿光市期中）一个正数的平方根是与，则这个正数是　 　．
3．（2019春 西城区期末）49的平方根是　 　．
4．（2019春 利辛县期末）若有平方根，则实数的取值范围是　 　．
5．（2019春 丰城市期末）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数为　 　．
6．（2019春 丹江口市期中）若一个正数的两个不同的平方根为与，则这个正数为　 　．
7．（2019春 嘉陵区期中）（1）已知的平方根是，的平方根是士4，求的平方根；
（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．
8．（2019春 新左旗期中）已知一个数的两个平方根分别是和，求这个数．
9．（2019春 费县期中）已知与是的平方根，求和的值．
10．（2019春 白城期中）解方程：．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；
有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
的算术平方根为____
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（2019春 东西湖区期末）计算：的值是　 　．
2．（2019 历下区模拟）将一组数，2，，，，，按下面的方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
，，，，；
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为　 　．
3．（2019 沈丘县一模）计算：　 　．
二．解答题（共5小题）
4．（2019春 丹江口市期中）观察下列各式
①
②
③
（1）观察①②③等式，猜想写出第⑤个等式，并验证你的猜想的正确性；
（2）根据上述规律，直接写出　　．
5．（2018秋 丹江口市期末）观察下列等式：
等式；等式；等式；
（1）猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为　　，第9个等式为　　，并通过计算验证两式结果的准确性；
（2）归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为　　，证明猜想的准确性．
6．（2019春 和县期末）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？通过计算说明．
7．（2019春 蚌埠期中）已知，，是9的平方根，求：的值．
8．（2019 昆明模拟）观察下列各式及其验证过程：，验证：，，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用的整数）表示的等式．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根.
一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．
【典例】
1.计算的结果是（　　）
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
一．填空题（共5小题）
1．（2019春 路北区期中）若、为实数，且满足，则的立方根为　　．
2．（2018秋 福田区校级期末）若，，则　　．
3．（2019 信阳二模）计算：　 　．
4．（2018秋 榆林期末）的立方根是　 　．
5．（2019春 定远县期末）若，则　 　．
二．解答题（共4小题）
6．（2019春 丹江口市期中）解方程：
（1）
（2）．
7．（2019春 洛宁县期末）正数的两个平方根分别为和．
（1）求的值；
（2）求这个数的立方根．
8．（2019春 恩施市期末）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根．
9．（2019春 大通区期中）已知3既是的平方根，也是的立方根，求的平方根．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与最接近的整数是______
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
一．填空题（共3小题）
1．（2018秋 南召县期末）　 　．
2．（2018秋 沈河区期末）如图所示，已知四边形是等边长为2的正方形，，则数轴上点所表示的数是　 　．
3．（2019 江油市模拟）设，，，，，设，则　 　（用含的代数式表示，其中为正整数）．
二．解答题（共4小题）
4．（2019 海港区校级自主招生）（1）已知正数，满足，求的值．
（2）先填空：，，　　，　　，　　，然后根据发现的规律，试写出的结果（用表示）．可参考公式，为正整数．
5．（2019春 江夏区校级月考）计算
（1）
（2）；
6．（2018秋 渝中区校级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且、两点之间的距离为12．
（1）填空：点在数轴上表示的数是　　，点在数轴上表示的数是　　．
（2）若线段的中点为，线段上一点，，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒；当　　秒时，原点恰为线段的三等分点．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为，求与的关系式．
7．（2018秋 通州区期末）阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”．
解答下列问题：
（1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为　　；
（2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为　　；
（3）点表示的数为，点，表示的数分别是，，点为数轴原点，点为线段上一点．
①设点表示的数为，若点可以为点与点的“平衡点”，则的取值范围是　　；
②当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求的取值范围，使得点可以为点与点的“平衡点”．
综合运用
1.的平方根是 ．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
3.计算：= ．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为 ．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有 个．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为 ．
8.比大且比小的整数是 ．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…
有理数集合{ …}　
无理数集合{ …}
负实数集合{ …}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．
11.计算：
﹣﹣（﹣2）2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
10第2讲 实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【答案】-1
【解析】解：因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数
所以：2a﹣1﹣a+2=0，
解得：a=﹣1，
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（　　）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【答案】C.
【解析】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；
故选：C
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（2019春 江宁区校级月考）如果，则的平方根是　　．
【解答】解：，
，，
解得，，，
，
的平方根是，
故答案为：．
2．（2019春 寿光市期中）一个正数的平方根是与，则这个正数是　144　．
【解答】解：一个正数的平方根是与，
，解得
．
故答案为：144．
3．（2019春 西城区期末）49的平方根是　　．
【解答】解：49的平方根是．
故答案为：．
4．（2019春 利辛县期末）若有平方根，则实数的取值范围是　　．
【解答】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
5．（2019春 丰城市期末）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数为　4　．
【解答】解：一个正数的平方根分别为和，
．
解得：．
．
，
这个正数是4．
故答案为：4．
6．（2019春 丹江口市期中）若一个正数的两个不同的平方根为与，则这个正数为　9　．
【解答】解：一个正数的两个不同的平方根为与，
，
，
，
这个正数为：．
故答案为：9．
二．解答题（共4小题）
7．（2019春 嘉陵区期中）（1）已知的平方根是，的平方根是士4，求的平方根；
（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．
【解答】解：（1）依题意，得且，
，．
．
的平方根为，
即；
（2）与是同一个正数的平方根，
，
，
，
．
8．（2019春 新左旗期中）已知一个数的两个平方根分别是和，求这个数．
【解答】解：一个数的两个平方根分别是和，
，
，
，
10的平方是100．
故这个数是100．
9．（2019春 费县期中）已知与是的平方根，求和的值．
【解答】解：①当与是同一个平方根时，
，
解得，
此时，，
②当与是两个平方根时，
，
解得，
此时．
10．（2019春 白城期中）解方程：．
【解答】解：整理得，，
．
故答案为：．
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；
有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
的算术平方根为____
【答案】3
【解析】解：∵=9，32=9
∴的算术平方根为3．
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【随堂练习】
1．（2019春 东西湖区期末）计算：的值是　3　．
【解答】解：，
故答案为：3．
2．（2019 历下区模拟）将一组数，2，，，，，按下面的方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
，，，，；
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为　　．
【解答】解：，
这列数中最大的数是，
观察发现数字的规律为，
设64是这列数中的第个数，则
，
解得，
观察发现，每5个数一行，即5个数一循环，
，
是第7行的第2个数．
最大的有理数的位置记为．
故答案为：．
3．（2019 沈丘县一模）计算：　　．
【解答】解；原式．
故答案为：．
二．解答题（共5小题）
4．（2019春 丹江口市期中）观察下列各式
①
②
③
（1）观察①②③等式，猜想写出第⑤个等式，并验证你的猜想的正确性；
（2）根据上述规律，直接写出　　．
【解答】解：（1）①，
②，
③，
由此可得：
第⑤个式子为：；
（2）由上面的规律可得：
故答案为：．
5．（2018秋 丹江口市期末）观察下列等式：
等式；等式；等式；
（1）猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为　　，第9个等式为　　，并通过计算验证两式结果的准确性；
（2）归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为　　，证明猜想的准确性．
【解答】解：（1）第4个等式为；
第9个等式为；
；
（2）；
，
又，
原式．
故答案为：，；．
6．（2019春 和县期末）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？通过计算说明．
【解答】解：设长方形纸片的长为，宽为．
，
，
，
因此，长方形纸片的长为．
因为，
而正方形纸片的边长只有，所以不能裁出符合要求的纸片．
7．（2019春 蚌埠期中）已知，，是9的平方根，求：的值．
【解答】解：，
，
又，
，
又是9的平方根，
，
分两种情况：
当时，；
当时，．
8．（2019 昆明模拟）观察下列各式及其验证过程：，验证：，，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用的整数）表示的等式．
【解答】解：（1），
验证：．
（2）的整数）．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根.
一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．
【典例】
1.计算的结果是（　　）
【答案】3
【解析】解：==3，
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根.
2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．
【答案】4
【解析】解：∵m2=36，n3=﹣64，=5，
∴m=6或﹣6、n=﹣4、x=5或﹣5，
当m=6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=6﹣4﹣5=﹣3；
当m=6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=6﹣4+5=7；
当m=﹣6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=﹣6﹣4﹣5=﹣15；
当m=﹣6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=﹣6﹣4+5=﹣5；
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
【随堂练习】
1．（2019春 路北区期中）若、为实数，且满足，则的立方根为　　．
【解答】解：，
且，
解得：、，
则，
故答案为：
2．（2018秋 福田区校级期末）若，，则　293.8　．
【解答】解：
．
故答案为：293.8．
3．（2019 信阳二模）计算：　　．
【解答】解：
．
故答案为：．
4．（2018秋 榆林期末）的立方根是　　．
【解答】解：，
的立方根是．
故答案为：．
5．（2019春 定远县期末）若，则　3　．
【解答】解：，
，
解得：．
故答案为：3．
二．解答题（共4小题）
6．（2019春 丹江口市期中）解方程：
（1）
（2）．
【解答】解：（1）
，
．
（2），
，
．
7．（2019春 洛宁县期末）正数的两个平方根分别为和．
（1）求的值；
（2）求这个数的立方根．
【解答】解：（1）正数的两个平方根是和，
，
解得：
（2），
，．
这个正数的两个平方根是，
这个正数是169．
，
的立方根是．
8．（2019春 恩施市期末）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根．
【解答】解：3既是的算术平方根，又是的立方根，
，，
，，
．
的平方根为
9．（2019春 大通区期中）已知3既是的平方根，也是的立方根，求的平方根．
【解答】解：根据题意得，
由①得：，把代入②得：，
，
，
的平方根是，
的平方根是．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【答案】3
【解析】解：，，﹣π，是无理数，
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合：
﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }；
（2）无理数集合{ }
（3）整数集合{ }
（4）负实数集合{ }
【答案】
【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、、0、0.131331333、﹣}；
（2）无理数集合{、π、﹣、}；
（3）整数集合{﹣1、、0、﹣}；
（4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣、、﹣}．
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
3.与最接近的整数是______
【答案】6
【解析】解：∵36＜37＜49，
∴＜＜，即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
【方法总结】
本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
【答案】
【解析】解：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）
=﹣1﹣8×+3×（﹣）
=﹣1﹣1﹣1
=﹣3．
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（2018秋 南召县期末）　5　．
【解答】解：原式，
故答案为：5
2．（2018秋 沈河区期末）如图所示，已知四边形是等边长为2的正方形，，则数轴上点所表示的数是　　．
【解答】解：，
，
，
点坐标．
故答案为：．
3．（2019 江油市模拟）设，，，，，设，则　　（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【解答】解：根据题意得：，，，，
，
，
则．
故答案为：．
二．解答题（共4小题）
4．（2019 海港区校级自主招生）（1）已知正数，满足，求的值．
（2）先填空：，，　36　，　　，　　，然后根据发现的规律，试写出的结果（用表示）．可参考公式，为正整数．
【解答】解：（1），
两边平方得，，
整理得，
．
（2），，，，，
；
故答案为：36，100，225．
5．（2019春 江夏区校级月考）计算
（1）
（2）；
【解答】解：（1）
；
（2）
．
6．（2018秋 渝中区校级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且、两点之间的距离为12．
（1）填空：点在数轴上表示的数是　13　，点在数轴上表示的数是　　．
（2）若线段的中点为，线段上一点，，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒；当　　秒时，原点恰为线段的三等分点．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为，求与的关系式．
【解答】解：（1）长方形的长是8个单位长度，且点在数轴上表示
点在数轴上表示的数是
、两点之间的距离为12
点表示的数为
长方形的长是4个单位长
点在数轴上表示的数是
故答案为：13，
（2）由题意知，线段的中点为，则表示的数为，线段上一点且，则表示的数为7；
由以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，则经过秒后，点表示的数为，点表示的数为；
①当时，则有，解得：或
②当时，则有，解得：或
综上所述，当或或或时，
原点恰为线段的三等分点．
故答案为：或或或．
（3）由题意知，当时，长方形和无重叠，些时
当时，两个长方形重叠部分的面积为即
当时，长方形和无重叠，
7．（2018秋 通州区期末）阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”．
解答下列问题：
（1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为　　；
（2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为　　；
（3）点表示的数为，点，表示的数分别是，，点为数轴原点，点为线段上一点．
①设点表示的数为，若点可以为点与点的“平衡点”，则的取值范围是　　；
②当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求的取值范围，使得点可以为点与点的“平衡点”．
【解答】解：（1）点表示的数；
故答案为：；
（2）点表示的数；
故答案为：5；
（3）①点表示的数范围，
的取值范围；
故答案为：；
②点表示的数为；点表示的数为，
根据题意可知，点为点与点的平衡点，
点表示的数为，
点在线段上，
当点与点相遇时，，
当点与点相遇时，，
，
综上所述，当时，点可以为点与点的“平衡点”．
综合运用
1.的平方根是 ．
【答案】±
【解析】解：的平方根是±，
故答案为：±．
2.（﹣4）2的算术平方根是 ．
【答案】4
【解析】解：（﹣4）2=16．
16的算术平方根是4．
故答案为：4．
3.计算：= ．
【答案】﹣0.4
【解析】解：∵（﹣0.4）3=﹣0.064，
∴=﹣0.4，
故答案为：﹣0.4．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，
∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，
∴（﹣m）2018=（﹣1）2018=1．
故答案为：1．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是 ．
【答案】±3
【解析】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，
∴a=5，b=2，
a+2b=5+4=9，
±，
故答案为：±3．
6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有 个．
【答案】4
【解析】解：无理数有2π、0.454454445…、﹣、这4个，
故答案为：4．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为 ．
【答案】8
【解析】解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∵n＜＜n+1，
∴n=8，
故答案为：8．
8.比大且比小的整数是 ．
【答案】3
【解析】解：比大且比小的整数是：=3．
故答案为：3．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…
有理数集合{ …}　
无理数集合{ …}
负实数集合{ …}．
【答案】
【解析】解：①有理数集合{﹣3.14，，﹣，0，，…}　
②无理数集合{﹣，π，1010010001…}
负实数集合{﹣3.14，﹣，﹣，…}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．
【答案】
【解析】解：原式=2﹣2+2﹣
=4﹣3．
11.计算：
﹣﹣（﹣2）2．
【答案】
【解析】解：
﹣﹣（﹣2）2
=3+3﹣4
=2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】
【解析】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
（3）9的算术平方根是3，3的算术平方根是，
故答案为：3和9．
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