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第13讲 数据的分析
知识点1 平均数
1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
【随堂练习】
1．（2018秋 龙泉驿区期末）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙两个小组各项得分如下表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果研究报告、小组展示、答辩按照计算成绩，哪个小组的成绩最高？
【解答】解：（1）甲组的平均成绩为（分、乙组的平均成绩为（分，
所以乙组第一名、甲组第二名；
（2）甲组的平均成绩为（分，乙组的平均成绩为（分，
所以甲组成绩最高．
2．（2019春 汉阳区期末）谋某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分．
序号 1 2 3
笔试成绩分 90 92 84
面试成绩分 85 88 86
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．
【解答】解：（1）设笔试成绩和面试成绩的比，由题意得：
，解得：，，
因此笔试成绩与面试成绩的比是，
答：笔试成绩占，面试成绩占，
（2）2号选手的综合成绩为：，
3号选手的综合成绩为：，
号选手第一，1号选手第二，3号选手第三，
答：根据综合成绩排名第一名2号选手，第二名1号选手，第三名3号选手．
3．（2019春 芜湖期末）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试．他们的成绩（百分制）如下表所示：
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩5和3的权，平均成绩高的被录取，判断谁将被录取，并说明理由．
应聘者 面试 笔试
甲 84 90
乙 91 80
【解答】解：由题意得
甲应聘者的加权平均数是（分．
乙应聘者的加权平均数是（分．
，
乙应聘者被录取．
知识点2 中位数与众数
中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的。
众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
【典例】
1.一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_________
【答案】
【解析】本题考查众数、平均数的概念.根据众数为1，求出a的值，然后根据平均数的概念求解.∵众数为1，∴a=1.∴平均数为
2.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图.
第11题图
（1）这50名同学捐款的众数为_____元，中位数为_______元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数
【答案】
【解析】（1）解：15，15；（4分）
.解：x=×(5×8+10×14+15×20+20×6+25×2)=13；
解：600×13=7800（元）；
答：估计该校学生的捐款总数为7800元
【方法总结】1.中位数也是反映一组数据的集中趋势的量，有时我们更关注的是该组数据的中位数，因为中位数不受极端值的影响。求中位数第一步必须按照顺序进行排列
2.一组数据中的众数可能不止一个，众数是反映一组数据的“多数水平”的数据代表
【随堂练习】
1．（2018 包头）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占、面试占计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
候选人 笔试成绩分 面试成绩分
甲 90 88
乙 84 92
丙 90
丁 88 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．
【解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的中位数为：（分；
（2）由题意得，
解得，，
答：表中的值为86；
（3）甲候选人的综合成绩为：（分，
乙候选人的综合成绩为：（分，
丁候选人的综合成绩为：（分，
以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙．
2．（2018 朝阳区二模）“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2018年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）
1 1 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3
5 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6
（1）对以上数据进行整理、描述和分析：
①绘制如下的统计图，请补充完整；
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是　3.4棵　，众数是　　；
（2）“互联网全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2018年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有　　户．
【解答】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，
补全图形如下：
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是（棵，众数为3棵，
故答案为：3.4棵、3棵；
（2）估计该小区采用这种形式的家庭有户，
故答案为：70．
3．（2018 怀柔区一模）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多．为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据 从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：
排球 10 9.5 9.5 10 8 9 9.5 9
7 10 4 5.5 10 9.5 9.5 10
篮球 9.5 9 8.5 8.5 10 9.5 10 8
6 9.5 10 9.5 9 8.5 9.5 6
整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
10
排球 1 1 2 7 5
篮球
（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格．
分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
项目 平均数 中位数 众数
排球 8.75 9.5 10
篮球 8.81 9.25 9.5
得出结论
（1）如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为　130　人；
（2）初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高．小军说：篮球项目整体水平较高．
你同意　 　 的看法，理由为　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【解答】解：补全表格成绩：
人数 项目 10
排球 1 1 2 7 5
篮球 0 2 1 10 3
（1）达到优秀的人数约为（人；
故答案为：130；
（2）同意小明的看法，理由为：平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高．（答案不唯一，理由需支持判断结论）
故答案为：小明，平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高．
4．（2019春 濉溪县期末）近年来，越来越多的人们加入到全民健身的热潮中来．“健步走”作为一项行走速度和运动量介于散步和竞走之间的步行运动，因其不易发生运动伤害，不受年龄、时间和场地限制的优点而受到人们的喜爱．随着信息技术的发展，很多手机可以记录人们每天健步走的步数，为大家的健身做好记录．
小明的爸爸妈妈都是健步走爱好者，一般情况下，他们每天都会坚持健步走．小明为了给爸爸妈妈颁发4月份“运动达人”奖章，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
爸爸 12 10 11 15 14 13 14 11 14 12
妈妈 11 14 15 2 11 11 14 15 14 14
平均数 中位数 众数
爸爸 12.6 12.5
妈妈 14 14
（1）写出表格中，的值；
（2）你认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给谁，并说明理由．
【解答】解：由题意，可得，
10个数据中，14出现了3次，次数最多，所以；
（2）我认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸．
因为爸爸和妈妈的众数相同，但是爸爸的平均数高于妈妈，且最小值10高于妈妈的最小值2，所以小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸．
5．（2019春 洪江市期末）某中学有15位学生利用暑假参加社会实践活动，到某公司销售部做某种商品的销售员，销售部为帮助学生制定合理的周销售定额，统计了这15位学生某周的销售量如下：
周销售量（件 450 130 60 50 40 35
人数 1 1 3 5 3 2
（1）求这15位学生周销售量的平均数、中位数、众数；
（2）假设销售部把每位学生的周销售定额规定为80件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你从表中选一个较合理的周销售量作为周销售定额，并说明理由．
【解答】解：（1）这15位学生周销售量的平均数，
中位数为50，众数为50；
（2）不合理．因为15人中有13人销售量达不到80，周销售额定为50较合适，因为50是众数也是中位数．
6．（2019春 路北区期末）某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题：
（1）根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数；
（2）写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值；
（3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于4件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数．
【解答】解：（1）把合格品数从小到大排列，第25，26个数都为4，
中位数为4；
（2）众数要看剩余的18人可能落在哪里，有可能合格品是5的有10人，合格品是6的有8人，或合格品是5的有8人，合格品是6的有10人，
所以推出4，5，6；4和5；4和6都可能为众数．
故众数可能为4，5，6；4和5；4和6；
（3）这50名工人中，合格品低于4件的人数为（人，
故该厂将接受再培训的人数约有（人．
7．（2019春 禄劝县期末）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
测验类别 平时测验 期中测验 期末测验
第1次 第2次 第3次
成绩 100 106 106 105 110
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为　106　，中位数为　　；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为　　；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
【解答】解：（1）将5次测验的成绩重新排列为100、105、106、106、110，
该同学上学期5次测验成绩的众数为106分、中位数为106分，
故答案为：106、106；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为，
故答案为：104；
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为，即该同学总评成绩约为107分．
8．（2019 六合区模拟）一销售某品牌冰箱的公司有营销人员14人，销售部为制定销售人员月销售冰箱定额（单位：台），统计了14人某月的销售量如表：
每人销售台数 20 17 13 8 5 4
人数 1 1 2 5 3 2
（1）这14位营销员该月销售冰箱的平均数、众数和中位数分别是多少？
（2）你认为销售部经历给这14为营销员定出每月销售冰箱的定额为多少台才比较合适？并说明理由．
【解答】解：（1）平均数：（台，
8台出现了5次，次数最多，所以众数为8台，
14个数据按从小到大的顺序排列后，第7、第8个数都是8，所以中位数是（台；
（2）每月销售冰箱的定额为8台才比较合适．因为在这儿8既是众数，又是中位数，是大部分人能够完成的台数．若用9台，则只有少量人才能完成，打击了大部分职工的积极性．
9．（2019春 济宁期末）“十年树木，百年树人”，教师的素养关系到国家的未来．我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为100分，并按的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取．该区要招聘2名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节，这6名选手的各项成绩见表：
序号 1 2 3 4 5 6
笔试成绩 66 90 86 64 65 84
专业技能测试成绩 95 92 93 80 88 92
说课成绩 85 78 86 88 94 85
（1）求出说课成绩的中位数、众数；
（2）已知序号为1，2，3，4号选手的成绩分别为84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用？为什么？
【解答】解：（1）将说课的成绩按从小到大的顺序排列：78、85、85、86、88、94，
中位数是，
85出现的次数最多，
众数是85．
（2）这六位选手中序号是3、6的选手将被录用．原因如下：
序号为5号的选手成绩为：，（分；
序号为6号的选手成绩为：（分．
因为，
所以序号为3、6号的选手将被录用．
10．（2019 昆明模拟）孔明同学对本校学生会组织的“为贫困山区献爱心”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为，又知此次调查中捐款30元的学生一共16人．
（1）孔明同学调查的这组学生共有　60　人；
（2）这组数据的众数是　 　元，中位数是　 　元；
（3）若该校有2000名学生，都进行了捐款，估计全校学生共捐款多少元？
【解答】解：（1）设捐5元、10元、15元、20元和30元的人数分别为、、、、，
，
解得，
（人；
（2）捐5元、10元、15元、20元和30元的人数分别为6，8，10，20，16，
出现次数最多，
众数为20元；
共有60个数据，第30个和第31个数据落在第四组内，
中位数为20元；
（3）（元，
估算全校学生共捐款38000元．
11．（2019 开远市一模）某校倡议八年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间（时 频数（人数） 频率
0.5 12 0.12
1 30 0.3
1.5 0.5
2 8
合计 1
（1）统计表中的　100　，　 　，　 　；
（2）被抽样调查的同学劳动时间的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）请将条形图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
【解答】解：（1）调查的总人数是（人，
则（人，
；
（2）被调查同学劳动时间的众数为1.5小时；中位数是1.5小时；
（3）
；
（4）所有被调查同学的平均劳动时间是：（小时）．
知识点3 从统计图计算集中趋势
数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
【典例】
某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四种），绘制成部分统计图如下，请根据图中信息，解答下列问题：
第5题图
（1）a=_____%,b=______%,“总是”对应阴影的圆心角为________°;
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校2014年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？
（4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？
【答案】
【解析】（1）解：80÷40％＝200（人），a=38÷200=19%,b=100%-40%-21%-19%=20%，
40%×360°=144°；
（2）解：2014年“有时”的人数为：20％×200＝40（人），
2014年“常常”的人数为：200×21％＝42（人），
补全统计图如解图所示：
（3）解：1200×=480(人)，
答：数学课“总是”开展小组合作学习的学生有480人；
解：相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习情况有所好转
【方法总结】
1. 解决统计图问题的方法，通常是结合两种统计图，对照统计图中各已知量，分析要求解的量.一般地，首先求出总量，再由总量及部分中的一个已知项求出另一个未知项，由此逐一求出所有的未知量，从而由所得结果补全统计图
2.统计图中相关量的计算方法:
（1）条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数，方法如下：
①未知组频数＝样本容量-已知组频数之和；
②未知组频数＝样本容量×该组所占样本容量的百分比.
（2）扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其所占扇形圆心角的度数
若求未知组在扇形统计图中圆心角的度数，利用360°×其所占百分比即可.
（3）折线统计图一般涉及求增长量.
（4）用样本估算总体：样本频数＝总数×样本频率
【随堂练习】
1．（2018 张家界）今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
等级 频数 频率
A a 0.3
B 35 0.35
C 31 b
D 4 0.04
请根据图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽取的样本容量为____；
（2）a=____，b=____；
（3）请在图2中补全条形统计图；
（4）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为____人．
【解答】解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35÷0.35=100，
故答案为：100；
（2）a=100×0.3=30，
b=31÷100=0.31，
故答案为：30，0.31；
（3）由（2）知a=30，
补充完整的条形统计图如右图所示；
（4）800×0.3=240（人），
故答案为：240．
　
2．（2018 深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：
频数 频率
体育 40 0.4
科技 25 a
艺术 b 0.15
其它 20 0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为____人，a=____，b=____．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
【解答】解：（1）总人数为40÷0.4=100人，
a=25÷100=0.25、b=100×0.15=15，
故答案为：100、0.25、15；
（2）补全条形图如下：
（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．
知识点4 数据的离散程度
极差：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的数据叫做极差。一般来说，极差越小则说明数据的波动幅度越小。
方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作s .
标准差：方差的算术平方根叫做一组数据的标准差，记作s
【典例】
1.甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）.根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】本题考查了方差，乙的8次成绩为5，9，6，8，6，8，8，6；甲的8次成绩为6，7，7，8，5，9，5，9，∴s2乙＝,s2甲＝，∴8次射击中成绩比较稳定的是甲.
2.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7000
木工 4 6000
瓦工 5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________（填“变小”，“不变”或“变大”）
【答案】变大
【解析】变化前每月工资数据为5个7000，4个6000，5个5000，变化后每月工资数据为6个7000,2个6000,6个5000，因为两组数据的平均数均为6000，明显变化后数据的波动较大，方差较大，所以调整后的该工程队员工月工资的方差变大.
【随堂练习】
1．（2018春 中山市期末）甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员 平均/环 中位数/环 众数/环
甲 7 b 7
乙 a 7.5 c
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
【解答】解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）=7，b=7，c=8；
（2）S甲2=×[（5﹣7）2×1+（6﹣7）2×2+（7﹣7）2×4+（8﹣7）2×2+（9﹣7）2×1]=1.2，
则S甲2＜S乙2，
∴甲队员的射击成绩较稳定．
　
2．（2018春 临颍县期末）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小王 60 75 100 90 75
小李 70 90 100 80 80
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：
姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
小王 80 75 75 190
小李 　84　 　80　 　80　 　104　
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
【解答】解：（1）小李的成绩：70、80、80、90、100，
∴平均成绩为：（70+80+80+90+100）÷5=84分，
众数为：80，中位数是80分；
方差为：[（70﹣84）2+（80﹣84）2+（80﹣84）2+（90﹣84）2+（100﹣84）2]÷5=104，
故答案为：84，80，80，104．
（2）∵小王的方差是190，小李的方差是104，而104＜190，
∴小李成绩较稳定；
小王的优秀率为×100%=40%，小李的优秀率为×100%=80%；
（3）选小李参加比赛比较合适，理由是：小李的成绩较小王稳定，且优秀率比小王的高，因此选小李参加比赛比较合适．
综合运用：
1.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是　　
【答案】11
【解析】解：由统计图可知，
一共有：6+9+10+8+7=40（人），
∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是第20个和21个学生对应的数据的平均数，
∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是11，
故答案为：11．
2.2017年6月2日，贵阳市生态委发布了《2016年贵阳市环境状况公报》，公报显示，2016年贵阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的部分数据，制成了下面两幅统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a=　　，b=　　；（结果保留整数）
（2）求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；（结果精确到1°）
（3）根据了解，今年1～5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%，与2016年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气质量的优良率是提高还是降低了？请对改善贵阳市空气质量提一条合理化建议
【答案】
【解析】解：（1）a=×3.83%=14，b=﹣14﹣225﹣1﹣1=125；
故答案为：14，125；
（2）因为2016年全年总天数为：125+225+14+1+1=366（天），则360°×=123°，
所以空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数为123°；
（3）2016年贵阳市空气质量的优良率为×100%≈95.6%，
∵94%＜95.6%，
∴与2016年全年的优良相比，今年前5 个月贵阳市空气质量优良率降低了，建议：低碳出行，少开空调等．
3.八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
【答案】
【解析】解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，
∴总人数=10÷0.25=40（人）；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为×100%=15%，
类别 频数（人数） 频率
小说 20 0.5
戏剧 4 0.1
散文 10 0.25
其他 6 0.15
合计 40 1
故答案为：15%；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，
∴P（丙和乙）==．
4.某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名；
（4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
【答案】
【解析】解：（1）本次调查共抽取的学生有3÷6%=50（名）．
（2）选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3=15（名），占=30%，
“爱国”占=40%，“敬业”占=24%．
条形统计图和扇形统计图如图所示，
（3）该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有1200×30%=360名．
（4）记小义、小玉和大力分别为A、B、C．
树状图如图所示：
共有6种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的有2种情形，
小义和小玉同学的征文同时被选中的概率=．
5.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是　　．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m=　　，n=　　；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【答案】
【解析】解：（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一种是③．
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）①抽样调査的家庭总户数为：80÷8%=1000（户），
m%==20%，m=20，
n%==6%，n=6．
故答案为20，6；
②C类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）=100，
条形统计图补充如下：
③根据调査数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④180×10%=18（万户）．
若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
13第13讲 数据的分析
知识点1 平均数
1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
【随堂练习】
1．（2018秋 龙泉驿区期末）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙两个小组各项得分如下表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果研究报告、小组展示、答辩按照计算成绩，哪个小组的成绩最高？
2．（2019春 汉阳区期末）谋某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分．
序号 1 2 3
笔试成绩分 90 92 84
面试成绩分 85 88 86
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．
3．（2019春 芜湖期末）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试．他们的成绩（百分制）如下表所示：
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩5和3的权，平均成绩高的被录取，判断谁将被录取，并说明理由．
应聘者 面试 笔试
甲 84 90
乙 91 80
知识点2 中位数与众数
中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的。
众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
【典例】
1.一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_________
2.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图.
第11题图
（1）这50名同学捐款的众数为_____元，中位数为_______元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数
【随堂练习】
1．（2018 包头）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占、面试占计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
候选人 笔试成绩分 面试成绩分
甲 90 88
乙 84 92
丙 90
丁 88 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．
2．（2018 朝阳区二模）“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2018年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）
1 1 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3
5 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6
（1）对以上数据进行整理、描述和分析：
①绘制如下的统计图，请补充完整；
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是　　，众数是　　；
（2）“互联网全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2018年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有　　户．
3．（2018 怀柔区一模）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多．为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据 从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：
排球 10 9.5 9.5 10 8 9 9.5 9
7 10 4 5.5 10 9.5 9.5 10
篮球 9.5 9 8.5 8.5 10 9.5 10 8
6 9.5 10 9.5 9 8.5 9.5 6
整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
10
排球 1 1 2 7 5
篮球
（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格．
分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
项目 平均数 中位数 众数
排球 8.75 9.5 10
篮球 8.81 9.25 9.5
得出结论
（1）如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为　 　人；
（2）初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高．小军说：篮球项目整体水平较高．
你同意　 　 的看法，理由为　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
4．（2019春 濉溪县期末）近年来，越来越多的人们加入到全民健身的热潮中来．“健步走”作为一项行走速度和运动量介于散步和竞走之间的步行运动，因其不易发生运动伤害，不受年龄、时间和场地限制的优点而受到人们的喜爱．随着信息技术的发展，很多手机可以记录人们每天健步走的步数，为大家的健身做好记录．
小明的爸爸妈妈都是健步走爱好者，一般情况下，他们每天都会坚持健步走．小明为了给爸爸妈妈颁发4月份“运动达人”奖章，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
爸爸 12 10 11 15 14 13 14 11 14 12
妈妈 11 14 15 2 11 11 14 15 14 14
平均数 中位数 众数
爸爸 12.6 12.5
妈妈 14 14
（1）写出表格中，的值；
（2）你认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给谁，并说明理由．
5．（2019春 洪江市期末）某中学有15位学生利用暑假参加社会实践活动，到某公司销售部做某种商品的销售员，销售部为帮助学生制定合理的周销售定额，统计了这15位学生某周的销售量如下：
周销售量（件 450 130 60 50 40 35
人数 1 1 3 5 3 2
（1）求这15位学生周销售量的平均数、中位数、众数；
（2）假设销售部把每位学生的周销售定额规定为80件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你从表中选一个较合理的周销售量作为周销售定额，并说明理由．
6．（2019春 路北区期末）某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题：
（1）根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数；
（2）写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值；
（3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于4件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数．
7．（2019春 禄劝县期末）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
测验类别 平时测验 期中测验 期末测验
第1次 第2次 第3次
成绩 100 106 106 105 110
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为　　，中位数为　　；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为　　；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
8．（2019 六合区模拟）一销售某品牌冰箱的公司有营销人员14人，销售部为制定销售人员月销售冰箱定额（单位：台），统计了14人某月的销售量如表：
每人销售台数 20 17 13 8 5 4
人数 1 1 2 5 3 2
（1）这14位营销员该月销售冰箱的平均数、众数和中位数分别是多少？
（2）你认为销售部经历给这14为营销员定出每月销售冰箱的定额为多少台才比较合适？并说明理由．
9．（2019春 济宁期末）“十年树木，百年树人”，教师的素养关系到国家的未来．我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为100分，并按的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取．该区要招聘2名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节，这6名选手的各项成绩见表：
序号 1 2 3 4 5 6
笔试成绩 66 90 86 64 65 84
专业技能测试成绩 95 92 93 80 88 92
说课成绩 85 78 86 88 94 85
（1）求出说课成绩的中位数、众数；
（2）已知序号为1，2，3，4号选手的成绩分别为84.2分，84.6分，88.1分，80.8分，请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用？为什么？
10．（2019 昆明模拟）孔明同学对本校学生会组织的“为贫困山区献爱心”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为，又知此次调查中捐款30元的学生一共16人．
（1）孔明同学调查的这组学生共有　 　人；
（2）这组数据的众数是　 　元，中位数是　 　元；
（3）若该校有2000名学生，都进行了捐款，估计全校学生共捐款多少元？
11．（2019 开远市一模）某校倡议八年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间（时 频数（人数） 频率
0.5 12 0.12
1 30 0.3
1.5 0.5
2 8
合计 1
（1）统计表中的　 　，　 　，　 　；
（2）被抽样调查的同学劳动时间的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）请将条形图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
知识点3 从统计图计算集中趋势
数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
【典例】
某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、常常、总是四种），绘制成部分统计图如下，请根据图中信息，解答下列问题：
第5题图
（1）a=_____%,b=______%,“总是”对应阴影的圆心角为________°;
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校2014年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？
（4）相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？
【随堂练习】
1．（2018 张家界）今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
等级 频数 频率
A a 0.3
B 35 0.35
C 31 b
D 4 0.04
请根据图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽取的样本容量为____；
（2）a=____，b=____；
（3）请在图2中补全条形统计图；
（4）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为____人．
　
2．（2018 深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：
频数 频率
体育 40 0.4
科技 25 a
艺术 b 0.15
其它 20 0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为____人，a=____，b=____．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
知识点4 数据的离散程度
极差：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的数据叫做极差。一般来说，极差越小则说明数据的波动幅度越小。
方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作s .
标准差：方差的算术平方根叫做一组数据的标准差，记作s
【典例】
1.甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）.根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）
2.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7000
木工 4 6000
瓦工 5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________（填“变小”，“不变”或“变大”）
【随堂练习】
1．（2018春 中山市期末）甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员 平均/环 中位数/环 众数/环
甲 7 b 7
乙 a 7.5 c
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
　
2．（2018春 临颍县期末）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小王 60 75 100 90 75
小李 70 90 100 80 80
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：
姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
小王 80 75 75 190
小李 ___ ____ ____ ____
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
综合运用：
1.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是　　
2.2017年6月2日，贵阳市生态委发布了《2016年贵阳市环境状况公报》，公报显示，2016年贵阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的部分数据，制成了下面两幅统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a=　　，b=　　；（结果保留整数）
（2）求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；（结果精确到1°）
（3）根据了解，今年1～5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%，与2016年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气质量的优良率是提高还是降低了？请对改善贵阳市空气质量提一条合理化建议
3.八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
4.某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名；
（4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
5.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是　　．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m=　　，n=　　；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
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