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第5讲 坐标方法的简单应用
知识点1 坐标确定位置
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力的在平面上确定一个点的位置，在实际生活中我们能看到许多这种方法的应用，如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的位置用几排几座来表示等等. 我们可以用坐标来表示位置，也可以把几个位置在同一个坐标系中用坐标表示出来.
【典例】
【题干】如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为（0，1），表示慕田峪长城的点的坐标为（﹣5，﹣1），则表示雁栖湖的点的坐标为 ．
【答案】（1，﹣3）
【解析】解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
2.如图标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系．
（1）写出汽车站和消防站的坐标；
（2）某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿（3，2）→（3，﹣1）→（0，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（﹣3，﹣1）的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方．
【答案】
【解析】解：（1）汽车站（1，1），消防站（2，﹣2）；
（2）小英经过的地方：游乐场，公园，姥姥家，宠物店，邮局．
【方法总结】
在同一个平面直角坐标系中，如果已知一个位置的坐标，需要表示另外一个位置的坐标，主要是先确定坐标原点，然后再利用坐标系的四个象限（或者坐标轴）去表示其他的位置的坐标；如果给出了平面直角坐标系，那我们只需要按照点的坐标，去依次表示即可.
【随堂练习】
1．（2019春 门头沟区期末）故宫是世界上现存规模最大，保存最完整的宫殿建筑群．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫的主要建筑分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，有如下四个结论，结论中，所有正确结论的序号是　　
①当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为；
②当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为；
③当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为；
④当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【解答】解：①当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为，正确；
②当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为，错误；
③当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为，错误；
④当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为，正确．
故选：．
2．（2019春 大兴区期末）如图是北京城一些地点的分布示意图．
在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；
②当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；
③当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；
④当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为．
上述结论中，所有正确结论的序号是　　
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为，正确；
②当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为，正确；
③当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为，正确；
④当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为，正确．
故选：．
3．（2019 三门峡二模）定义：在平面直角坐标系中，把从点出发沿纵或横方向到达点（至多拐一次弯）的路径长称为，的“实际距离”．如图，若，，则，的“实际距离”为5，即或．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设，，三个小区的坐标分别为，，，若点表示单车停放点，且满足到，，的“实际距离”相等，则点的坐标为　　
A． B． C．， D．
【解答】解：设，由“实际距离”的定义可知：
点只能在区域内，
，，
又到，，距离相等，
，①
，②
要将与中绝对值去掉，
需要判断在3的左侧和右侧，以及在的上侧还是下侧，
将矩形分割为4部分，若要使到，，的距离相等，
由图可知只能在矩形中，
故，，
则方程可变为：，
解得，，，则
故选：．
4．（2019春 海淀区期中）小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为轴、轴正方向，图中点的坐标为，那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，距离原点最近，
故选：．
5．（2019 石景山区一模）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示点的坐标为，表示点的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据点的坐标为，表示点的坐标为，
可得：
，，，，
故选：．
二．填空题（共1小题）
6．（2019春 古冶区期末）如图是两人正在玩的一盘五子棋，若白棋所在点的坐标是，黑棋所在点的坐标是，现在轮到黑棋走，黑棋放到点的位置就获得胜利，点的坐标是　　．
【解答】解：由题意可得，如右图所示的平面直角坐标系，
故点的坐标为，
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
7．（2019春 沙河市期末）如图，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为．
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
（2）写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场，图书馆，公园的坐标分别为，，，请在图中标出，，的位置．
【解答】解：（1）如图：
（2）体育场、市场、超市；
（3）如上图所示．
知识点2 坐标与图形性质
【典例】
1.已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 ．
【答案】（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【解析】解：MN平行于x轴，故N的纵坐标不变，是﹣2，
点N在点M的左边时，横坐标为2﹣5=﹣3，
点N在点M的右边时，横坐标为2+5=7，
所以，点N的坐标为（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
故答案为：（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【方法总结】
若两点所在直线平行于x轴（垂直于y轴），则这两点的纵坐标相同，若两点所在直线平行于y轴（垂直于x轴），则这两点的横坐标相同。
【随堂练习】
1．（2019春 乐亭县期末）长方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点，，轴，轴，，．
（1）分别写出点，，的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使三角形的面积为长方形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）轴，轴，，，点，，
，，，．
（2）假设存在，设点的坐标为，则三角形的边上的高为，
，
即，
解得：或，
在轴上存在点，使三角形的面积为长方形面积的，点的坐标为或．
2．（2019春 苍溪县期中）（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：，，；
顺次连接，，，组成，求的面积．
【解答】解：（1）如图，
（2）如图所示，
，
答：的面积为8.5．
3．（2019春 韶关期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．
（1）求，的值及；
（2）若点在轴上，且，试求点的坐标．
【解答】解：（1），
，，
，，
点，点．
又点，
，，
．
（2）设点的坐标为，则，
又，
，
，
，
即，
解得：或，
故点的坐标为或．
4．（2019春 恩施市期末）如图在直角坐标系中，已知，，，三点，若，，满足关系式：．
（1）求，，的值．
（2）求四边形的面积．
（3）是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），
，，，
，，；
（2），，，；
四边形为直角梯形，且，，，
四边形的面积；
（3）设存在点，使的面积为四边形的面积的两倍．
的面积，
，
存在点或，
使的面积为四边形的面积的两倍．
5．（2018春 信丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空：　　，　 　；
（2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，当时，在轴上有一点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标．
【解答】解：（1），
且，
解得：，，
故答案为：，3；
（2）过点作轴于点，
，，
，
又点在第三象限
；
（3）当时，
，
点有两种情况：①当点在轴正半轴上时，设点
，
，
，
解得：，
点坐标为；
②当点在轴负半轴上时，设点，
，
，
，
解得：
点坐标为，
故点的坐标为或．
6．（2019春 莘县期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，，，
（1）在坐标系中描出各点，画出，．
（2）求出的面积（简要写明简答过程）．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）取为底，则为6，边上高
所以．
7．（2019春 茅箭区校级月考）如图，描出、、、四个点，线段、有什么关系？顺次连接、、、四点组成的图形是什么图形？
【解答】解：如图，
，且，因而四边形是平行四边形．
8．（2018秋 东营区校级期末）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．
（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？
（2）如果把原来各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？
【解答】解：（1）过点，分别作，垂直于轴，所以四边形的面积；
（2）根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变，所以所得的四边形面积是80．
知识点3 坐标与图形变化—平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【典例】
1.如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）.
（1）请写出三角形ABC平移的过程；
（2）写出点A′，C′的坐标；
（3）求△A′B′C′的面积．
【答案】
【解析】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4），
∴平移后对应点的横坐标加6，纵坐标加4，
∴△ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4个单位，再向右平移6个单位得到△A′B′C′；
（2）由（1）可知，A′（2，3），C′（5，1）；
（3）如图所示，S△A′B′C′=3×4﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×3=5.5．
【方法总结】
这题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【随堂练习】
1．（2019春 柳江区期中）如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形移动一周）．
（1）写出点的坐标　4，6　．
（2）当点移动了4秒时，描出此时点的位置，并求出点的坐标．
（3）在移动过程中，当点到轴距离为5个单位长度时，求点移动的时间．
【解答】解：（1）根据长方形的性质，可得与轴平行，与轴平行；
故的坐标为；
（2）根据题意，的运动速度为每秒2个单位长度，
当点移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，
此时的坐标为，位于上；
（3）根据题意，点到轴距离为5个单位长度时，有两种情况：
在上时，运动了个长度单位，此时运动了4.5秒；
在上时，运动了个长度单位，此时运动了秒．
2．（2018秋 柯桥区期末）已知点位于第三象限，点位于第二象限且是由点向上平移一定单位长度得到的．
（1）若点的纵坐标为，试求出的值；
（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点的坐标；
（3）若点的横、纵坐标都是整数，试求出的值以及线段长度的取值范围．
【解答】解：
（1），．
（2）由得：，又点位于第二象限，所以；
取，得点的坐标为．
（3）因为点位于第三象限，
所以，
解得：．
因为点的横、纵坐标都是整数，所以或3或4或5；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
3．（2017春 卢龙县期末）与△在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出下列各点的坐标：　　；　 　；　 　；
（2）说明△由经过怎样的平移得到？　 　．
（3）若点是内部一点，则平移后△内的对应点的坐标为　 　；
（4）求的面积．
【解答】解：（1）如图所示：，，；
故答案为：，，；
（2）先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△；
故答案为：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；
（3）若点是内部一点，则平移后△内的对应点的坐标为：．
故答案为：；
（4）的面积为：．
4．（2019春 兰陵县期中）与△在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：　；　；　　　；　　；
（2）由△经过怎样的平移得到？答：　　．
（3）若点是内部一点，则△内部的对应点的坐标为　　；
（4）求的面积．
【解答】解：（1）；；；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）；
（4）的面积
．
故答案为：（1）；；；（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；（3）．
知识点4 坐标与图形变化—对称
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线m经过（1，0）点，且垂直x轴，则点P（﹣1，2）关于直线m的对称点的坐标为_______．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于直线x=1对称的点的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
【方法总结】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握（1）关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称：①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b），②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019 竞秀区一模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是　　
A． B． C． D．
【解答】解：
故选：．
二．解答题（共1小题）
2．（2018秋 崇川区期末）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，
（1）在图中作△使△和关于轴对称；
（2）写出点的坐标．
【解答】解：（1）如图，
（2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
知识点5 坐标与图形变化—旋转
【典例】
1.如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A、B两点的坐标分别是（1，0）和（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B的坐标是____．
【解答】解：如图所示，将线段AB绕点A逆时针旋转90°后，可得B1的坐标为（﹣2，1）
再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B2的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【方法总结】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转、平移，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决问题的解是作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
【随堂练习】
1．（2019 山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格线的格点上，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，则点坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图点即为所求．．
故选：．
2．（2019春 泰州期末）点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是　　
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
【解答】解：如图，观察图象可知：点绕原点逆时针旋转得到点．
故选：．
3．（2019 荆州）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：如图，作轴于，轴于．
，
，，
，
，
△，
，，
，．
故选：．
二．填空题（共1小题）
4．（2019 杨浦区校级自主招生）如图，在直角坐标系中，将绕原点旋转到，其中，，点在轴正半轴上，则点的坐标为　，　．
【解答】解：连接，．设．
，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
由题意：，
解得：或，
点在第二象限，
，．
故答案为，．
三．解答题（共1小题）
5．（2019春 莒南县期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值．
【解答】解：（1）由图象可知，点，点，点，点，点，
点；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
（2）由（1）可知，，，解得，．
综合运用
1.如图是城市中某区域的示意图，小聪同学从点O出发，先向西走100米，再向南走200米到达学校，如果学校的位置用（﹣100，﹣200）表示，那么（300，200）表示的地点是 ．
【答案】超市
【解析】解：∵（﹣100，﹣200）表示从点O出发，先向西走100米，再向南走200米，
∴（300，200）表示从点O出发，先向东走300米，再向北走200米，
∴（300，200）表示的地点是超市，
故答案为：超市．
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），线段AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为 ．
【答案】（﹣5，3）或（3，3）
【解析】解：∵AB∥x轴，
∴A、B两点纵坐标都为3，
又∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B（﹣5，3），
当B点在A点右边时，B（3，3）；
故答案为：（﹣5，3）或（3，3）．
3.直角坐标系中有点A（m，3），点B（2，n）两点，若直线AB∥y轴，则m= ．
【答案】2
【解析】解：∵点A（m，3），点B（2，n），且AB∥y轴，
∴m=2，n≠3．
故答案为2．
4.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x= ．
【答案】﹣1或9
【解析】解：∵AB平行于x轴，且A（4，﹣3），B（x，﹣3），线段AB的长为5，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）或（9，﹣3）．
故x=﹣1或9．
故答案为：﹣1或9．
5.如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则= ．
【答案】1
【解析】解：由点A（1，0）的对应点（2，a）知线段AB向右平移1个单位，
由点B（0，2）的对应点（b，3）知线段AB向上平移1个单位，
所以a=0+1=1、b=0+1=1，
则=1，
故答案为：1．
6.如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积为9，则D点坐标为 ．
【答案】（3，3）
【解析】解：∵A（﹣4，0），B（﹣1，0），
∴AB=3，AO=4，
设C纵坐标为a，
∵四边形ABDC的面积为9，
∴3a=9，
∴a=3，
∴C（0，3），
∴平移的方式为：右移4个单位、上移3个单位，
则D点坐标为（﹣1+4，0+3），即（3，3），
故答案为：（3，3）．
7.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），则点B（0，3）的对应点D的坐标是 ．
【答案】（2，2）
【解析】解：∵点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），
∴A点向右平移2个单位长度，又向下平移1个单位长度.
∵点B（0，3），
∴B的对应点D的坐标是（0+2，3﹣1），即（2，2）
故答案为：（2，2）．
8.李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），
（1）你能帮李老师在下图中建立平面直角坐标系求出其他各景点的坐标吗？
（2）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间的实际距离．
【答案】
【解析】解：（1）如图，
坐标原点在F点，A（0，4）、B（﹣3，2）、C（﹣2，﹣1）、E（3，3）、F（0，0）
（2）AF=400米．
9.下面是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室在4楼3门，我们用（4，3）来表示其位置，试根据上面方法，结合图形，完成下面问题：
（1）儿科诊室可以表示为 ；
（2）口腔科诊室在 楼 门；
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有 ；
（4）与神经科诊室同楼层的有 ；
（5）表示为（1，2）的诊室是 ；
（6）表示为（3，5）的诊室是 ；
（7）3楼7门的是 ．
【答案】
【解析】解：（1）儿科诊室可以表示为（2，4）．
故答案为（2，4）．
（2）口腔科诊室在1楼、7门．
故答案为1、7．
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有外科．
故答案为外科．
（4）与神经科诊室同楼层的有儿科、妇科．
故答案为儿科、妇科．
（5）表示为（1，2）的诊室内科．
故答案为内科．
（6）表示为（3，5）的诊室是骨科．
故答案为骨科．
（7）3楼7门的是皮肤科．
故答案为皮肤科．
10.三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角经标系中的位置如图所示，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点A′B′C′的坐标；
（2）说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点F（a，b）是三角形ABC内的一点，则平移后三角形A′B′C′内的对应点为P′，写出点P′的坐标．
【答案】
【解析】解：（1）A′（﹣3，1）B′（﹣2，﹣2）C′（﹣1，﹣1）；
（2）△ABC向左平移4个单位，向下平移2个单位得到△A′B′C′；
（3）点P′的坐标为（a﹣4，b﹣2）．
11.△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ；　B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（4）求△ABC的面积．
【答案】
【解析】解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）P′（x﹣4，y﹣2）；
（4）△ABC的面积=2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2
=6﹣1.5﹣0.5﹣2
=2．
35第5讲 坐标方法的简单应用
知识点1 坐标确定位置
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力的在平面上确定一个点的位置，在实际生活中我们能看到许多这种方法的应用，如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的位置用几排几座来表示等等. 我们可以用坐标来表示位置，也可以把几个位置在同一个坐标系中用坐标表示出来.
【典例】
【题干】如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为（0，1），表示慕田峪长城的点的坐标为（﹣5，﹣1），则表示雁栖湖的点的坐标为 ．
2.如图标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系．
（1）写出汽车站和消防站的坐标；
（2）某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿（3，2）→（3，﹣1）→（0，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（﹣3，﹣1）的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方．
【方法总结】
在同一个平面直角坐标系中，如果已知一个位置的坐标，需要表示另外一个位置的坐标，主要是先确定坐标原点，然后再利用坐标系的四个象限（或者坐标轴）去表示其他的位置的坐标；如果给出了平面直角坐标系，那我们只需要按照点的坐标，去依次表示即可.
【随堂练习】
1．（2019春 门头沟区期末）故宫是世界上现存规模最大，保存最完整的宫殿建筑群．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫的主要建筑分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，有如下四个结论，结论中，所有正确结论的序号是　　
①当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为；
②当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为；
③当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为；
④当表示太和殿的点的坐标为，表示养心殿的点
的坐标为时，表示景仁宫的点的坐标为．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
2．（2019春 大兴区期末）如图是北京城一些地点的分布示意图．
在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；
②当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；
③当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；
④当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为．
上述结论中，所有正确结论的序号是　　
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
3．（2019 三门峡二模）定义：在平面直角坐标系中，把从点出发沿纵或横方向到达点（至多拐一次弯）的路径长称为，的“实际距离”．如图，若，，则，的“实际距离”为5，即或．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设，，三个小区的坐标分别为，，，若点表示单车停放点，且满足到，，的“实际距离”相等，则点的坐标为　　
A． B． C．， D．
4．（2019春 海淀区期中）小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为轴、轴正方向，图中点的坐标为，那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是　　
A． B． C． D．
5．（2019 石景山区一模）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示点的坐标为，表示点的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
6．（2019春 古冶区期末）如图是两人正在玩的一盘五子棋，若白棋所在点的坐标是，黑棋所在点的坐标是，现在轮到黑棋走，黑棋放到点的位置就获得胜利，点的坐标是　　．
三．解答题（共1小题）
7．（2019春 沙河市期末）如图，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为．
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
（2）写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场，图书馆，公园的坐标分别为，，，请在图中标出，，的位置．
知识点2 坐标与图形性质
【典例】
1.已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 ．
【方法总结】
若两点所在直线平行于x轴（垂直于y轴），则这两点的纵坐标相同，若两点所在直线平行于y轴（垂直于x轴），则这两点的横坐标相同。
【随堂练习】
1．（2019春 乐亭县期末）长方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点，，轴，轴，，．
（1）分别写出点，，的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使三角形的面积为长方形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2019春 苍溪县期中）（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：，，；
顺次连接，，，组成，求的面积．
3．（2019春 韶关期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．
（1）求，的值及；
（2）若点在轴上，且，试求点的坐标．
4．（2019春 恩施市期末）如图在直角坐标系中，已知，，，三点，若，，满足关系式：．
（1）求，，的值．
（2）求四边形的面积．
（3）是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2018春 信丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空：　 　，　 　；
（2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，当时，在轴上有一点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标．
6．（2019春 莘县期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，，，
（1）在坐标系中描出各点，画出，．
（2）求出的面积（简要写明简答过程）．
7．（2019春 茅箭区校级月考）如图，描出、、、四个点，线段、有什么关系？顺次连接、、、四点组成的图形是什么图形？
8．（2018秋 东营区校级期末）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．
（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？
（2）如果把原来各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？
知识点3 坐标与图形变化—平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【典例】
1.如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）.
（1）请写出三角形ABC平移的过程；
（2）写出点A′，C′的坐标；
（3）求△A′B′C′的面积．
【方法总结】
这题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【随堂练习】
1．（2019春 柳江区期中）如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形移动一周）．
（1）写出点的坐标　 　．
（2）当点移动了4秒时，描出此时点的位置，并求出点的坐标．
（3）在移动过程中，当点到轴距离为5个单位长度时，求点移动的时间．
2．（2018秋 柯桥区期末）已知点位于第三象限，点位于第二象限且是由点向上平移一定单位长度得到的．
（1）若点的纵坐标为，试求出的值；
（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点的坐标；
（3）若点的横、纵坐标都是整数，试求出的值以及线段长度的取值范围．
3．（2017春 卢龙县期末）与△在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出下列各点的坐标：　 　；　 　；　 　；
（2）说明△由经过怎样的平移得到？　 　．
（3）若点是内部一点，则平移后△内的对应点的坐标为　 　；
（4）求的面积．
4．（2019春 兰陵县期中）与△在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：　　；　　　；　　；
（2）由△经过怎样的平移得到？答：　　．
（3）若点是内部一点，则△内部的对应点的坐标为　　；
（4）求的面积．
知识点4 坐标与图形变化—对称
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线m经过（1，0）点，且垂直x轴，则点P（﹣1，2）关于直线m的对称点的坐标为_______．
【方法总结】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握（1）关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称：①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b），②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019 竞秀区一模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是　　
A． B． C． D．
二．解答题（共1小题）
2．（2018秋 崇川区期末）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，
（1）在图中作△使△和关于轴对称；
（2）写出点的坐标．
知识点5 坐标与图形变化—旋转
【典例】
1.如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A、B两点的坐标分别是（1，0）和（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B的坐标是____．
【方法总结】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转、平移，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决问题的解是作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
【随堂练习】
1．（2019 山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格线的格点上，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，则点坐标为　　
A． B． C． D．
2．（2019春 泰州期末）点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是　　
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
3．（2019 荆州）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为　　
A．， B．， C． D．
二．填空题（共1小题）
4．（2019 杨浦区校级自主招生）如图，在直角坐标系中，将绕原点旋转到，其中，，点在轴正半轴上，则点的坐标为　　．
三．解答题（共1小题）
5．（2019春 莒南县期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值．
综合运用
1.如图是城市中某区域的示意图，小聪同学从点O出发，先向西走100米，再向南走200米到达学校，如果学校的位置用（﹣100，﹣200）表示，那么（300，200）表示的地点是 ．
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），线段AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为 ．
3.直角坐标系中有点A（m，3），点B（2，n）两点，若直线AB∥y轴，则m= ．
4.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x= ．
5.如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则= ．
6.如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积为9，则D点坐标为 ．
7.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），则点B（0，3）的对应点D的坐标是 ．
8.李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），
（1）你能帮李老师在下图中建立平面直角坐标系求出其他各景点的坐标吗？
（2）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间的实际距离．
9.下面是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室在4楼3门，我们用（4，3）来表示其位置，试根据上面方法，结合图形，完成下面问题：
（1）儿科诊室可以表示为 ；
（2）口腔科诊室在 楼 门；
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有 ；
（4）与神经科诊室同楼层的有 ；
（5）表示为（1，2）的诊室是 ；
（6）表示为（3，5）的诊室是 ；
（7）3楼7门的是 ．
10.三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角经标系中的位置如图所示，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点A′B′C′的坐标；
（2）说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点F（a，b）是三角形ABC内的一点，则平移后三角形A′B′C′内的对应点为P′，写出点P′的坐标．
11.△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ；　B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（4）求△ABC的面积．
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