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第7讲 正比例函数
知识点1 正比例函数的概念
正比例函数：一般地，形如（为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中是自变量，是因变量，是的函数.
【典例】
1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（　　）
A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
2.已知，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【方法总结】
1.判断某两个变量之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是否符合正比例函数的一般式.
2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于0，即可求得字母的值.
【随堂练习】
1．（2018秋 漳浦县期末）若是正比例函数，则　　．
2．（2019春 镇原县期末）若函数是正比例函数，则常数的值是　　．
3．（2019春 陆川县期末）函数为常数）
（1）当取何值时，是的正比例函数？
（2）当取何值时，是的一次函数？
4．（2019春 莒县期中）已知是关于的正比例函数，
（1）写出与之间的函数解析式：
（2）求当时，的值．
5．（2019 鄂州模拟）已知函数．
（1）为何值时，函数为正比例函数；
（2）为何值时，函数的图象经过一，三象限；
（3）为何值时，随的增大而减小？
（4）为何值时，函数图象经过点？
知识点2 正比例函数的图象与性质
正比例函数（为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.
当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；
当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象时，只需要找两个点即可.
【典例】
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1）；（2）．
2.已知函数，，， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为____________．
【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的值的大小时，只需比较每条直线与轴所夹锐角的大小，锐角越大，越大，分别确定一、三象限中的大小和二、四象限中的大小，再按照“一、三象限的值>二、四象限的值”将值的大小进行最终排序.
【随堂练习】
1．（2018秋 渝中区校级期末）已知正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象为　　
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的坐标是　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（2019秋 盐田区校级期末）若函数的值随自变量的增大而增大，则函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
4．（2019 奉贤区二模）如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是　　．
5．（2019春 武城县期中）已知直线经过点，、，，当时，有，则的取值范围是　　．
知识点3 正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
【典例】
1．（2017秋 常熟市校级期中）若y=y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．
2．（2018春 廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解析式的为y=kx这种形式，然后需要代入一个点的坐标即可求出k的值，如果指出y与x成正比例函数关系，也只的是y=kx。
【随堂练习】
1．（2019春 海安县期中）已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求与之间的函数关系式．
2．（2019春 开福区校级月考）已知与成正比，且当时，，求函数解析式．
3．（2019春 璧山区期中）如图，正比例函数的图象经过点，点在第四象限．过点做轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为4.5
（1）求该正比例函数的解析式；
（2）在轴上是否存在一点，使的面积为6？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2018秋 东营区校级期末）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值．
5．（2018秋 桐城市期末）已知正比例函数图象经过点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）图象上两点，、，，如果，比较，的大小．
6．（2018秋 赣榆区期末）已知正比例函数的图象过点．
（1）写出这个正比例函数的函数解析式；
（2）已知点在这个正比例函数的图象上，求的值．
综合运用
1．（2016秋 宜兴市校级月考）已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
2．（2018 昭平县一模）y=x，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象必经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有y＞0
D．y随x的增大而增大
3．（2017 曲江区模拟）已知正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，则点（m，1﹣m）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
　
4．（2018春 廉江市期末）若正比例函数y=（m﹣1）x，y随x的增大而减小，则m的值是______．
5．（2017春 南岸区期末）设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如min{0，1}=0．min{4，3，2}=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（　　）
A．y=2x
B．y=x+3
C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3
D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3
7第7讲 正比例函数
知识点1 正比例函数的概念
正比例函数：一般地，形如（为常数， ）的函数叫做正比例函数，其中是自变量，是因变量，是的函数.
【典例】
1.下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（　　）
A. 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B. 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C. 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D. 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
【答案】A.
【解析】解：A选项，根据“正方形的周长=边长×4”可得，y=4x，符合正比例函数的解析式，所以正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系成正比例函数，故本选项正确；
B选项，根据“圆的面积=πr2”可得， y=πx2，不符合正比例函数的一般式，则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误；
C选项，根据“直角三角形的两个锐角互余”可知，x+y=90，即y=90﹣x，不符合正比例函数的一般式，则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误；
D选项，根据“树高=60+月份数×3”可得， y=3x+60，不符合正比例函数的一般式，则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误.
故选：A．
2.已知，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【答案】略
【解析】解：由正比例函数的定义可得： 且，
且，
∴且且，
综合可得．
【方法总结】
1.判断某两个变量之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是否符合正比例函数的一般式.
2.已知一个正比例函数求字母的值，只需要令未知数的次数等于1，且它前面的系数不等于0，即可求得字母的值.
【随堂练习】
1．（2018秋 漳浦县期末）若是正比例函数，则　2　．
【解答】解：是正比例函数，
，
，
故答案是：2．
2．（2019春 镇原县期末）若函数是正比例函数，则常数的值是　　．
【解答】解：依题意得：，
解得：．
3．（2019春 陆川县期末）函数为常数）
（1）当取何值时，是的正比例函数？
（2）当取何值时，是的一次函数？
【解答】解：（1）当且时，是的正比例函数，
解得；
（2）当时，即时，是的一次函数．
4．（2019春 莒县期中）已知是关于的正比例函数，
（1）写出与之间的函数解析式：
（2）求当时，的值．
【解答】解：（1）当，且时，是的正比例函数，
故时，是的正比例函数，
；
（2）当时，．
5．（2019 鄂州模拟）已知函数．
（1）为何值时，函数为正比例函数；
（2）为何值时，函数的图象经过一，三象限；
（3）为何值时，随的增大而减小？
（4）为何值时，函数图象经过点？
【解答】解：（1）根据题意得，解得；
（2）根据题意得，解得；
（3）根据题意得，解得；
（4）把代入得，解得，
即为时，函数图象经过点．
知识点2 正比例函数的图象与性质
正比例函数（为常数， ），必过（0，0）点，且它的图象是一条直线.
当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；
当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
注：由于正比例函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可知，画正比例函数图象时，只需要找两个点即可.
【典例】
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1）；（2）．
【答案】略．
【解析】解：（1）
①列表：
②描点：
③连线：
由函数图象可知，函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；
（2）
①列表：
②描点：
③连线：
由函数图象可知，函数图象经过第二四象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．
2.已知函数，，， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为____________．
【答案】略
【解析】解：（1）如图，在同一直角坐标系里画出
（2）观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线与轴所夹的锐角越大．
（3）由（2）的规律可知，越大，则它所对应的直线与轴所夹的锐角越大，
观察图象可知，直线与轴所夹的锐角大于直线与轴所夹的锐角，
∴，
又∵两条直线都经过二、四象限，
∴，
∴，
故答案为．
【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当时，图象过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象过二、四象限，随的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的值的大小时，只需比较每条直线与轴所夹锐角的大小，锐角越大，越大，分别确定一、三象限中的大小和二、四象限中的大小，再按照“一、三象限的值>二、四象限的值”将值的大小进行最终排序.
【随堂练习】
1．（2018秋 渝中区校级期末）已知正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
一次函数的一次项系数大于0，常数项小于0，
一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴的负半轴相交．
故选：．
2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的坐标是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，，，
，，，为自然数）．
，
点的坐标为，，即，．
故选：．
3．（2019秋 盐田区校级期末）若函数的值随自变量的增大而增大，则函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：正比例函数是常数，的函数值随的增大而增大，
，
一次函数，
，，
此函数的图象经过一、二、三象限．
故选：．
二．填空题（共2小题）
4．（2019 奉贤区二模）如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是　　．
【解答】解：因为正比例函数的图象经过第一、三象限，
所以，
解得：，
故答案为：．
5．（2019春 武城县期中）已知直线经过点，、，，当时，有，则的取值范围是　　．
【解答】解：直线经过点，、，，当时，有，
此函数是减函数，
，解得．
故答案为：．
知识点3 正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
【典例】
1．（2017秋 常熟市校级期中）若y=y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9，当x=3时y的值．
【解答】解：设y1=ax，y2=k（x﹣3），
∴y=ax+k（x﹣3）．
由当x=1时y=3，当x=﹣1时y=9可得，
，
解得：，
∴y与x之间的关系式为：y=﹣x﹣2（x﹣3），即y=﹣3x+6；
∴当x=3时，y=﹣3×3+6=﹣3．
2．（2018春 廉江市期末）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
【解答】解：（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得：
﹣k=2，k=﹣2，
则正比例函数解析式为y=﹣2x；
（2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2x，得：﹣2m=m+3，
解得：m=﹣1；
（3）当x=﹣时，y=﹣2×（﹣）=3≠1，
所以点P不在这个函数图象上．
【方法总结】对于求正比例函数的解析式，如果没有给出表达式，首先要设解析式的为y=kx这种形式，然后需要代入一个点的坐标即可求出k的值，如果指出y与x成正比例函数关系，也只的是y=kx。
【随堂练习】
1．（2019春 海安县期中）已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求与之间的函数关系式．
【解答】解：设，，则，根据题意得：
解得：，
则与之间的函数关系式是：．
2．（2019春 开福区校级月考）已知与成正比，且当时，，求函数解析式．
【解答】解：与的函数关系式为，
当时，，
即，
．
函数的解析式为．
3．（2019春 璧山区期中）如图，正比例函数的图象经过点，点在第四象限．过点做轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为4.5
（1）求该正比例函数的解析式；
（2）在轴上是否存在一点，使的面积为6？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点的横坐标为3，且的面积为4.5
点的纵坐标为，点的坐标为，
正比例函数经过点，
解得
正比例函数的解析式是；
（2） 的面积为6，点的坐标为，
，
点的坐标为或．
4．（2018秋 东营区校级期末）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值．
【解答】解：（1）设，，
所以，
把时，；当时，分别代入得，
解得，
所以与的函数关系式为，即；
（2）当时，，即．
5．（2018秋 桐城市期末）已知正比例函数图象经过点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）图象上两点，、，，如果，比较，的大小．
【解答】解：（1）把代入得，解得，
所以正比例函数解析式为；
（2）因为，
所以随的增大而减小，
所以当时，．
16．（2018秋 赣榆区期末）已知正比例函数的图象过点．
（1）写出这个正比例函数的函数解析式；
（2）已知点在这个正比例函数的图象上，求的值．
【解答】解：（1）把代入正比例函数，
得，
，
所以正比例函数的函数解析式为；
（2）把点代入得，
，
．
综合运用
1．（2016秋 宜兴市校级月考）已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
【解答】解：根据题意设y1=k1x，y2=k2（x﹣2），即y=y1+y2=k1x+k2（x﹣2），
将x=﹣1时，y=2；x=3时，y=﹣2分别代入得：，
解得：k1=﹣，k2=﹣，
则y=﹣x﹣（x﹣2）=﹣x+1．
即y与x的函数关系式为y=﹣x+1；
画出该函数的图象为
2．（2018 昭平县一模）y=x，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象必经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有y＞0
D．y随x的增大而增大
【解答】解：A、把（1，2）代入得：左边≠右边，故本选项错误；
B、k=＞0，图象经过一、三象限，故本选项错误；
C、当x＜0时y＜0，故本选项错误；
D、k=＞0，y随x的增大而增大，故本选项正确．
故选：D．
3．（2017 曲江区模拟）已知正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，则点（m，1﹣m）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵正比例函数y=（m﹣1）x，若y的值随x的增大而增大，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴1﹣m＜0，
∴点（m，1﹣m）所在的象限是第四象限，
故选：D．
　
4．（2018春 廉江市期末）若正比例函数y=（m﹣1）x，y随x的增大而减小，则m的值是______．
【解答】解：由题意得：m2﹣3=1，且m﹣1＜0，
解得：m=﹣2，
故答案为：﹣2．
5．（2017春 南岸区期末）设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．例如min{0，1}=0．min{4，3，2}=2，则关于x的函数y=min{2x，x+3}可以表示为（　　）
A．y=2x
B．y=x+3
C．当x＞3时，y=2x；当x＜3时，y=x+3
D．当x＜3时，y=2x；当x＞3时，y=x+3
【解答】解：根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定2x和x+3的大小，所以不能直接表示为，A：y=2x，B：y=x+3．
当x＜3时，可得：x+x＜x+3，即2x＜x+3，可表示为y=2x．
当x≥3时，可得：x+x≥x+3，即2x≥x+3，可表示为y=x+3．
故选：D．
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