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第9讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
【答案】y=﹣5x+6
【解析】解：把（1，1），（2，﹣4）代入y=kx+b，
得，
解得k=﹣5，b=6
∴函数的解析式为y=﹣5x+6，
故答案为y=﹣5x+6.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.
【答案】
【解析】解：观察表格可知y与x是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
则，
解得，
所以y与x的函数关系式为y=2x﹣10．
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.
【答案】
【解析】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3.
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴OB AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
由此可知直线l经过（﹣，3），
设直线方程为y=kx（k≠0），
则3=﹣k，
k=﹣，
∴直线l解析式为y=﹣x，
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（2018秋 奉化区期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第一象限内作等腰，．
（1）求点、的坐标；
（2）求过、两点的直线的解析式．
【解答】解：（1）一次函数中，
令得：；
令，解得，
的坐标是，的坐标是；
（2）如图，作轴于点．
，
，
又，
．
在与中，
，
，
，，，
则的坐标是，
设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，，
直线的解析式是．
2．（2018秋 淮安区期末）已知是的一次函数，表中给出了部分对应值．
2 4
5
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求、的值．
【解答】解：
（1）设一次函数的解析式为，
由题意可得，解得，
一次函数解析式为；
（2）当时，代入可得，
当时，代入可得，解得，
，．
3．（2019春 滦州市期末）直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的表达式．
（2）若直线上有一动点，且，求点的坐标．
【解答】解：（1）设直线解析式为，可得：，
解得：，
直线解析式为：；
（2）设点坐标为，
，
，解得，
点的坐标为或．
4．（2019春 莆田期末）已知与成正比例，且时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点．求平移后直线的解析式．
【解答】解：（1）与成正比例，
成正比例，
把时，代入，得，；
与的函数关系式为：，
（2）把代入得：；
（3）设平移后直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
故平移后直线的解析式为：．
5．（2019春 凉州区期末）如图，点的坐标为，，点的坐标为．
（1）求过，两点直线的函数表达式；
（2）过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
【解答】解：（1）设过，两点的直线解析式为，则根据题意，得，
解得，，
则过，两点的直线解析式为；
（2）设点坐标为，依题意得，所以点坐标分别为，．
，
，
所以，的面积为或．
6．（2019春 新蔡县期末）如图，直线经过点，和点．
（1）求直线的解析式；
（2）求直线与坐标轴的交点坐标；
（3）求．
【解答】解：（1）设直线的解析式为，
直线经过点，和点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）令，得；
令得，
直线与坐标轴的交点坐标，，；
（3）设直线与轴交于点，
．
7．（2019春 莘县期末）已知与成正比例．
（1）是关于的一次函数吗？请说明理由；
（2）如果当时，，求关于的函数表达式．
【解答】解：（1）设，
，
是关于的一次函数；
（2）把，代入得，解得，
关于的函数表达式为．
8．（2019春 寿县期末）如图，一次函数的图象经过、两点，与轴相交于点．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2）的面积．
【解答】解：（1）由图可知、，
，
解得，
故此一次函数的解析式为：；
（2）由图可知，，，
，，
．
答：的面积是4．
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.
【答案】y=﹣2x﹣10
【解析】解：把函数y=﹣2x﹣2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是：y=﹣2（x+3）﹣2﹣2=﹣2x﹣10．
故选答案为y=﹣2x﹣10.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
【答案】y=5x﹣4
【解析】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将直线y=5x+6关于x轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=5x+6；
∵关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴将直线﹣y=5x+6关于y轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=-5x+4，即y=5x﹣4．
故答案为y=5x﹣4.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【答案】
【解析】解：令x=0，则y=1，即直线y=x+1与y轴交点为（0，1）；
令y=0，则x=﹣1，即直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0）．
点（0，1）绕点（1，0）旋转180°变为（2，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°变为（3，0）．
设旋转后所得直线的表达式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
则有，
解得：．
故旋转后所得直线的表达式为y=x﹣3．
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（2019春 内黄县期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，以为底边在轴右侧作等腰，将沿轴折叠，使点恰好落在直线上，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线与轴交于点，
，
，
又是以为底的等腰三角形，
点的纵坐标为2，
沿轴折叠，使点恰好落在直线上，
当时，，
解得，
点的横坐标为1，
点的坐标为，
故选：．
2．（2019 岐山县一模）直线关于轴对称的直线是　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线与直线关于轴对称，
直线的解析式为
即．
故选：．
二．填空题（共3小题）
3．（2019 盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是　　．
【解答】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，
令，得，令，则，
，，，
，，
过作交于，过作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，，
设直线的函数表达式为：，
，
，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
4．（2019 淄川区一模）直线与直线的图象关于轴对称，若直线的表达式为，则直线的表达式为　　．
【解答】解：与直线关于轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变，则
，即．
所以直线的解析式为：．
故答案为．
5．（2019 高邮市一模）若把一次函数的图象先绕着原点旋转，再向左平移2个单位长度后，恰好经过点和点，则原一次函数的表达式是　　．
【解答】解：设直线的解析式为．
和点，
，
解得，
直线的解析式为．
将直线向右平移2个单位长度后得到的解析式为，即，
再将绕着原点旋转后得到的解析式为，即，
所以直线的表达式是．
故答案是：．
三．解答题（共4小题）
6．（2018 莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．
求出直线的“旋转垂线”的解析式；
若直线的“旋转垂线”为直线．求证：．
【解答】解：直线经过点和，
则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，
设直线的“旋转垂线”的解析式为，
把和，代入，可得
，解得，
直线的“旋转垂线”的解析式为；
证明：直线经过点，和，
则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，
把和，代入，可得
，
，
．
7．（2017秋 高淳区期末）已知平移一次函数的图象过点后的图象为．
（1）求图象对应的函数表达式，并画出图象；
（2）求一次函数的图象与及轴所围成的三角形的面积．
【解答】解：（1）由已知可设对应的函数表达式为，
把，代入表达式解得：，
对应的函数表达式为，
画图如下：，
（2）设与的交点为，过点作轴于点，
由题意得，解得
即，，则，
设、分别交轴的于点、，
由，解，即
由解得，即，
，
即与及轴所围成的三角形的面积为．
8．（2018秋 山亭区期中）已知一次函数，当时，．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角形面积．
（3）观察图象回答，当　　 时，．
【解答】解：（1）把，代入一次函数，得
解得．
则该函数解析式为：；
（2）将直线向上平移6个单位后得到的直线是：
当时，．
当时，，
平移后的图象与轴交点的坐标是，与轴的交点坐标是，
则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：；
（3）观察图象知，当时，，
故答案为：．
9．（2015春 洪山区期末）（1）将直线向右平移3个单位长度的解析式为　　；
（2）直线关于直线对称的直线解析式为　 　．
【解答】解：（1）将直线向右平移3个单位长度后的解析式为；
（2）直线过点，，
又，关于直线的对称点分别为，，
设所求直线的解析式为，
把，代入得，
解得．
所以关于直线对称的直线的函数解析式为．
故答案为：；．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．
【答案】
【解析】解：（1）设线段OA所在直线的函数关系式为y=kx（k≠0），
∵点A（20，18）在直线OA上，
∴18=20k，
∴k=．
∵乙骑电动车按出发时速度2倍的按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，
∴点B的坐标为（30，0），点C的坐标为（35，0）．
设线段CD所在直线对应函数关系式为y=x+b，
∵点C（35，0）在线段CD上，
∴0=×35+b，
∴b=﹣，
∴线段CD所在直线对应的函数关系式为y=x﹣．
当y=45时，有x﹣=45，
解得：x=85，
∴线段CD对应函数关系式为y=x﹣（35≤x≤85）．
（2）45﹣22.5=22.5（千米），
当y=22.5时，有x﹣=22.5，
解得：x=60．
甲步行的速度为（22.5﹣18）÷（60﹣20）=0.1125（千米/分）．
答：甲步行的速度为0.1125千米/钟．
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；
（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【答案】
【解析】解：（1）当0≤x≤50时．图象经过（0，0），（50，26）．
可设函数解析式为y=kx（k≠0）．
代入（50,26），得50k=26，
解得k=，
∴y=x（0≤x≤50）．
当x≥50时．图象经过（50，26），（80，48），
可设函数解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0）．
则有，解得，
∴y=x﹣．
（2）当x=65时，65＞50，y=×65﹣=37．
答：该用户应交电费37元.
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（2018 绍兴）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
【解答】解：（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，
∵行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1=40（升）
∴加满油时油箱的油量是40+30=70升．
（2）设y=kx+b（k≠0），
把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k=﹣0.1，b=70
∴y=﹣0.1x+70，
当y=5 时，x=650
即已行驶的路程的为650千米．
　
2．（2018 长春）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．
（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是____立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为___分钟．
【解答】解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5立方米；
（2）设y=kx+b（k≠0）
把（3，15）（5.5，25）代入
解得
∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3
（3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1立方米；
只打开输出口前，水泥输出量为5.5﹣3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出8﹣2.5=5.5立方米，用时5.5分钟
∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟
故答案为：1，11
　
3．（2018 绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）之间的函数关系的图象．请根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）图中E点的坐标是_____，题中m=___km/h，甲在途中休息___h；
（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？
【解答】
解：（1）由图形得D（7，560），
设OD的解析式为：y=kx，
把D（7，560）代入得：7k=560，k=80，
∴OD：y=80x，
当x=2时，y=2×80=160，
∴E（2，160），
由题意得：60×1+m=160，m=100，
7﹣2﹣（560﹣160）÷100=1，
故答案为：（2，160），100，1；
（2）∵A（1，60），E（2，160），
∴直线AE：y=100x﹣40，
当x=4时，y=400﹣40=360，
∴B（4，360）
∴C（5，360），
∵D（7，560），
∴设CD的解析式为：y=kx+b，
把C（5，360），D（7，560）代入得：，解得：，
∴直线CD的解析式为：y=100x﹣140（5≤x≤7）；
（3）∵OD的解析式为：y=80x（0≤x≤7），
当x=5时，y=5×80=400，
400﹣360=40，
∴出发5h时两个相距40km，
把y=360代入y=80x得：x=4.5，
∴出发4.5h时两人第二次相遇，
①当4.5＜x＜5时，80x﹣360=20，
x=4.75，4.75﹣4.5=0.25（h），
②当x＞5时，80x﹣（100x﹣140）=20，
x=6，6﹣4.5=1.5（h），
答：两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km．
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y1元，方案B的收费金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【答案】
【解析】解：（1）方案A的收费：
①当0≤x≤25时，y1=30；
②当x＞25时，y1=30+0.05×60×（x﹣25），即y1=3x﹣45；
方案B的收费：
①当0≤x≤50时，y2=50；
②当x＞50时，y2=50+0.05×60×（x﹣50），即y2=3x﹣100；
（2）当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费，理由如下：
∵当35＜x＜50时，y1=3x﹣45，y2=50，
∴y1﹣y2=3x﹣45﹣50=3x﹣95，即y=3x﹣95．
∵3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵x=35时，y=10，
∴当35＜x＜50时，y＞10，
∴y1＞y2，
∴当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，计算出y1﹣y2的值，根据一次函数的性质即可得出答案．
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019 合浦县二模）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利情况如表所示：
销售方式 粗加工后销售 精加工后销售
每吨获利（元 1000 2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润元与精加工的蔬菜吨数之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？
【解答】解：（1）设应安排天进行精加工，天进行粗加工，
根据题意得，
解得，
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．
（2）①精加工吨，则粗加工吨，根据题意得：
；
②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
，
解得：
，
又在一次函数中，，
随的增大而增大，
当时，．
精加工天数为，
粗加工天数为．
安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．
2．（2019 枣阳市模拟）受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元斤千米）
甲养殖场 200 0.012
乙养殖场 140 0.015
（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？
（2）设从甲养殖场调运鸡蛋斤，总运费为元，试写出与的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
【解答】解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋斤，从乙养殖场调运鸡蛋斤，
根据题意得：，
解得：，
，，
符合条件．
答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；
（2）从甲养殖场调运了斤鸡蛋，从乙养殖场调运了斤鸡蛋，
根据题意得：，
解得：，
总运费，，
随的增大而增大，
当时，元，
每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．
3．（2019春 陆川县期末）我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表：
票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票
单价（元 80 120 150
某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买种票张，种票张数是种票的3倍还多7张，种票张，根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）设购票总费用为元，求（元与（张之间的函数关系式；
（3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？
【解答】解：（1）根据题意，
，
所以；
（2）；
（3）依题意得
解得，
因为整数为20、21、22，
所以共有3种购票方案、20，、67，、13；、21，、70，、9；、22，、73，、；
而，
因为，
所以随的增大而减小，
所以当时，，
即当种票为22张，种票73张，种票为5张时费用最少，最少费用为11270元．
4．（2019 长沙模拟）某公司有型产品40件，型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元如下表：
型利润 型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元，求关于的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案，哪种方案总利润最大，并求出最大值．
【解答】解：（1），
又，
，
（2），
，
，
有3种不同方案．
，
当时，，
分配甲店型产品40件，型30件，分配乙店型0件，
型30件时总利润最大．最大利润为17600元．
5．（2019春 恩施市期末）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用（元与印刷份数（份之间的关系如图所示：
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？
【解答】解：（1）设甲的函数解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则甲的函数解析式是：；
设乙的函数解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则乙的函数解析式是：；
（2）根据题意得：，
解得：，
故当印刷300份学案时，两种印刷方式收费一样．
6．（2019春 番禺区期末）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格40元张，另一类为团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折．某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游人，购买门票需要元．
（1）如果每人分别买票，求与之间的函数解析式．
（2）如果买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
【解答】解：（1）散客门票：；
（2）团体票：；
（3）因为，
所以当人数为8人，时，两种购票方案相同；
当人数少于8人，时，按散客门票购票比较省钱；
当人数多于8人，时，按团体票购票比较省钱．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以推测L与x之间的关系式是________________.
【答案】L=2x+20
【解析】解：设L与x之间的关系式是L=ax+b（a、b是常数，a≠0），
当x=0，L=20时，当x=1，L=22时，得
，解得，
L与x之间的关系式是L=2x+20，
故答案为L=2x+20，
2.在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.
【答案】将l1沿y轴向上平移4个单位（或将l1沿x轴向右平移2个单位）
【解析】解：设直线l2的解析式为y=﹣2x+b，将（4，0）代入，
得0=﹣2×4+b，解得b=8，
则直线l2的解析式为y=﹣2x+8（l1沿y轴向上平移4个单位得到）．
∵l1：y=﹣2x+4=﹣2（x﹣2），
l2：y=﹣2x+8=﹣2（x﹣4），
∴l1沿x轴向右平移2个单位后得到直线l2，
∴将l1沿y轴向上平移4个单位或将l1沿x轴向右平移2个单位后得到直线l2．
故答案为：将l1沿y轴向上平移4个单位（或将l1沿x轴向右平移2个单位）
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．
【答案】
【解析】解：当y=0时，kx+4=0，解得x=﹣，则A（﹣，0），
当x=0时，y=kx+4=4，则B（0，4），
因为△OAB的面积为10，
所以·（﹣）·4=10，解得k=﹣，
所以直线解析式为y=﹣x+4．
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
【答案】
【解析】解：（1）∵直线向右平移2个单位，
∴平移后的解析式为：y=2（x﹣2）+1=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3；
（2）∵直线y=2x+1与y轴、x轴的交点为A、B，
∴A（0，1），B（﹣，0）．
∵点A, B绕原点旋转180°后的坐标为A′（0，﹣1），B′（，0），
∴设旋转后的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线解析式为y=2x﹣1．
故答案为：y=2x﹣1.
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.
【答案】
【解析】解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，
解得x=；
令y=3，x=；
当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4=12，
解得k=﹣2；
即k的值为﹣2．
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
【答案】
【解析】解：（1）由图象可得，
长春到吉林的距离为450千米，
普通快车到达吉林所用时间为：450÷（150÷2.5）=7.5（时），
故答案为：450，7.5；
（2）设特快列车与长春的距离s与t之间的函数关系式是s=kt+b（k、b是常数，k≠0），
根据图像可得，
解得，
即特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式是s=﹣120t+450；
（3）设长春与铁路桥之间的距离是x千米，
x=﹣120×（2.5﹣0.5）+450=﹣240+450=210，
答：长春与铁路桥之间的距离是210千米．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？
【答案】
【解析】解：由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y=kx，则2k=20，解得k=10，
∴直线OA解析式为y=10x（0≤x≤2），
∴买1千克时，付款金额为y=10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y=tx+b，
∴，解得，
∴直线AB解析式为y=8x+4（x＞2），
∴当x=5时，y=44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44=6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】
【解析】解：（1）y=.
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000﹣a）m2．
∴，
∴200≤a≤800
当200≤a＜300时，W1=130a+100（1200﹣a）=30a+120000．
当a=200 时．Wmin=126000元；
当300≤a≤800时，W2=80a+15000+100（1200﹣a）=135000﹣20a．
当a=800时，Wmin=119000元.
∵119000＜126000
∴当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800=400（m2）．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=，A点坐标为（，0），求线段AD所在直线的解析式．
【答案】
【解析】解：∵四边形OABC是长方形，
∴AB=OC=，
∵A（，0），
∴OA=BC=，
设OD=t，由折叠的性质可得DE=OD=t，OA=AE=，
∴CD=﹣t，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE2=AE2-AB2，
即BE2=，
∴BE=2.
∴CE=BC﹣BE=﹣2=，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE2=CD2+CE2，
∴t2=（﹣t）2+（）2，解得t=，
∴D（0，），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
∴，解得，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+．
34第9讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.
3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（2018秋 奉化区期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第一象限内作等腰，．
（1）求点、的坐标；
（2）求过、两点的直线的解析式．
2．（2018秋 淮安区期末）已知是的一次函数，表中给出了部分对应值．
2 4
5
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求、的值．
3．（2019春 滦州市期末）直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的表达式．
（2）若直线上有一动点，且，求点的坐标．
4．（2019春 莆田期末）已知与成正比例，且时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点．求平移后直线的解析式．
5．（2019春 凉州区期末）如图，点的坐标为，，点的坐标为．
（1）求过，两点直线的函数表达式；
（2）过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
6．（2019春 新蔡县期末）如图，直线经过点，和点．
（1）求直线的解析式；
（2）求直线与坐标轴的交点坐标；
（3）求．
7．（2019春 莘县期末）已知与成正比例．
（1）是关于的一次函数吗？请说明理由；
（2）如果当时，，求关于的函数表达式．
8．（2019春 寿县期末）如图，一次函数的图象经过、两点，与轴相交于点．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2）的面积．
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（2019春 内黄县期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，以为底边在轴右侧作等腰，将沿轴折叠，使点恰好落在直线上，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
2．（2019 岐山县一模）直线关于轴对称的直线是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
3．（2019 盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是　　．
4．（2019 淄川区一模）直线与直线的图象关于轴对称，若直线的表达式为，则直线的表达式为　　．
5．（2019 高邮市一模）若把一次函数的图象先绕着原点旋转，再向左平移2个单位长度后，恰好经过点和点，则原一次函数的表达式是　　．
6．（2018 莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．
求出直线的“旋转垂线”的解析式；
若直线的“旋转垂线”为直线．求证：．
7．（2017秋 高淳区期末）已知平移一次函数的图象过点后的图象为．
（1）求图象对应的函数表达式，并画出图象；
（2）求一次函数的图象与及轴所围成的三角形的面积．
8．（2018秋 山亭区期中）已知一次函数，当时，．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角形面积．
（3）观察图象回答，当　　 时，．
9．（2015春 洪山区期末）（1）将直线向右平移3个单位长度的解析式为　　；
（2）直线关于直线对称的直线解析式为　 　．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；
（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（2018 绍兴）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．
　
2．（2018 长春）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．
（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是____立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为___分钟．
3．（2018 绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）之间的函数关系的图象．请根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）图中E点的坐标是_____，题中m=___km/h，甲在途中休息___h；
（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y1元，方案B的收费金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，计算出y1﹣y2的值，根据一次函数的性质即可得出答案．
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019 合浦县二模）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利情况如表所示：
销售方式 粗加工后销售 精加工后销售
每吨获利（元 1000 2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润元与精加工的蔬菜吨数之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？
2．（2019 枣阳市模拟）受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元斤千米）
甲养殖场 200 0.012
乙养殖场 140 0.015
（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？
（2）设从甲养殖场调运鸡蛋斤，总运费为元，试写出与的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
3．（2019春 陆川县期末）我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表：
票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票
单价（元 80 120 150
某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买种票张，种票张数是种票的3倍还多7张，种票张，根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）设购票总费用为元，求（元与（张之间的函数关系式；
（3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？
4．（2019 长沙模拟）某公司有型产品40件，型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元如下表：
型利润 型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元，求关于的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案，哪种方案总利润最大，并求出最大值．
5．（2019春 恩施市期末）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用（元与印刷份数（份之间的关系如图所示：
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？
6．（2019春 番禺区期末）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格40元张，另一类为团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折．某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游人，购买门票需要元．
（1）如果每人分别买票，求与之间的函数解析式．
（2）如果买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以推测L与x之间的关系式是________________.
2.在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=，A点坐标为（，0），求线段AD所在直线的解析式．
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