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第6讲 三角形
知识点1与三角形相关的线段
三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
　
2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选：C．
　
　
3．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　）
A．AF B．BH C．CD D．EC
【解答】解：根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．
故选：A．
4．如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（　　）
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．DE是△BCD的中线
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，不是中线；BD是△ABC的中线；AD=DC，BE=EC；DE是△BCD的中线；
故选：A．
5．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长．
【解答】解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE=2，AF=3，
∴AB=2AF=2×3=6，
AC=2AE=2×2=4，
∵△ABC的周长为15，
∴BC=15﹣6﹣4=5．
知识点2 多边形及内角和
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.　　
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；
　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数.
　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
1．（2018 台州）正十边形的每一个内角的度数为（　　）
A．120° B．135° C．140° D．144°
【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10=36°．
∴每个内角的度数为 180°﹣36°=144°；
故选：D．
　　
2．（2018 贵阳模拟）一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（　　）
A．增加（n﹣2）×180° B．减小（n﹣2）×180° C．增加（n﹣1）×180° D．没有改变
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，
∴凸多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．
故选：D．
　
3．（2018 石狮市模拟）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：
180°（n﹣2）=360°×3，
解得：n=8．
故选：C．
　
4．（2018 石家庄模拟）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（　　）
A．144° B．84° C．74° D．54°
【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，
∵AB=BC，
∴∠CAB=36°，
正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，
∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，
故选：B．
　
5．（2018 平谷区一模）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
【解答】解：由题意，得
外角+相邻的内角=180°且外角=相邻的内角，
∴外角=90°，
360÷90=4，
正多边形是正方形，
故选：B．
6．（2018 邵阳）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．
【解答】解：∵∠ADE=60°，
∴∠ADC=120°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，
故答案为：40°．
　
7．（2018 大连模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=40°，则∠B+∠C为______．
【解答】解：由四边形的内角和，得
∠B+∠C=360°﹣∠A﹣∠D=360°﹣90°﹣40°=230°，
故答案为：230°．
　
8．（2018春 绍兴期中）如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1.1：1：0.5：1．求它的四个内角的度数．
【解答】解：设四边形的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为1.1x，x，0.5x，x，则
1.1x+x+0.5x+x=360°，
解得x=100°．
则1.1x=110°，0.5x=50°．
故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100°．
知识点3 与三角形有关的角
1.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
1．（2018 眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【解答】解：如图，
∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，
故选：C．
　
2．（2018 宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　）
A．24° B．59° C．60° D．69°
【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=59°，
∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°，
故选：B．
　
　
3．（2018 绿园区一模）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（　　）
A．75° B．50° C．35° D．30°
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠ACF=140°，
∴∠AED=180°﹣140°=40°，
∵∠ADE=105°，
∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，
故选：C．
4．（2018 淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【解答】证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
　
5．（2018 门头沟区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．
6．（2017秋 埇桥区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
【解答】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠B+∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∴∠B=∠EAD，
∴AD∥BC．
11第6讲 三角形
知识点1与三角形相关的线段
三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
　
2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE
　
　
3．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　）
A．AF B．BH C．CD D．EC
4．如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（　　）
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．DE是△BCD的中线
5．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长．
知识点2 多边形及内角和
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.　　
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；
　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数.
　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
1．（2018 台州）正十边形的每一个内角的度数为（　　）
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．（2018 贵阳模拟）一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（　　）
A．增加（n﹣2）×180° B．减小（n﹣2）×180° C．增加（n﹣1）×180° D．没有改变
　
3．（2018 石狮市模拟）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
　
4．（2018 石家庄模拟）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（　　）
A．144° B．84° C．74° D．54°
5．（2018 平谷区一模）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
6．（2018 邵阳）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．
　
7．（2018 大连模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=40°，则∠B+∠C为______．
　
8．（2018春 绍兴期中）如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1.1：1：0.5：1．求它的四个内角的度数．
知识点3 与三角形有关的角
1.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
1．（2018 眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
　
2．（2018 宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　）
A．24° B．59° C．60° D．69°
　
　
3．（2018 绿园区一模）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（　　）
A．75° B．50° C．35° D．30°
4．（2018 淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
　
5．（2018 门头沟区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．
6．（2017秋 埇桥区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
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