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第6讲 三角形
知识点1 与三角形相关的线段
三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
1．长度分别为x，3，5的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：2＜x＜8．
∴x的值可以是3，
故选：B．
　
2．四根长度分别为 3、4、6、x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（　　）
A．组成的三角形中周长最小为 9
B．组成的三角形中周长最小为 10
C．组成的三角形中周长最大为 18
D．组成的三角形中周长最大为 16
【解答】解：由题意知，3，4，x和3，6，x都能组成三角形，
∴3＜x＜7，
∵x为正整数，
∴x取4或5或6，
要组成三角形的周长最小，即：x=4时，三边为3，4，4，其最小周长为3+4+4=11，
要组成的三角形的周长最大，即：x=6，三边为4，6，6，其周长最大值为4+6+6=16，
综上所述，选D
故选：D．
　
3．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：C．
　
4．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD=x cm）
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC，
∴BD=CD，
设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，
分为两种情况：
①AC+CD=60，AB+BD=40，
则4x+x=60，x+y=40，
解得：x=12，y=28，
即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，
则4x+x=40，x+y=60，
解得：x=8，y=52，
即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC=48cm，AB=28cm．
　
知识点2 多边形及内角和
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.　　
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；
　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数.
　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
1．（2018 贵阳模拟）一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（　　）
A．增加（n﹣2）×180° B．减小（n﹣2）×180° C．增加（n﹣1）×180° D．没有改变
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，
∴凸多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．
故选：D．
　
2．（2018 聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是_______．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2） 180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°=540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°=180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为：540°或360°或180°．
3．（2017秋 梁子湖区期末）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（1）如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=50°，则∠BPC=____°；
（2）如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，直接写出∠BPC与∠A的数量关系_______．
（3）如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α．
①写出∠BPC与α的数量关系；
②根据α的取值范围，直接判断△BPC的形状（按角分类）
【解答】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
∴∠PBC+∠BCP=65°，
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠BPC=115°．
（2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°﹣∠A），
在△PBC中，∠P=180°﹣（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．
（3）如图3，
①延长BA、CD于Q，
则∠P=90°﹣∠Q，
∴∠Q=180°﹣2∠P，
∴∠BAD+∠CDA
=180°+∠Q
=180°+180°﹣2∠P
=360°﹣2∠P，
∴∠P=180°﹣α；
②当0＜α＜180时，△BPC是钝角三角形，
当α=180时，△BPC是直角三角形，
当α＞180时，△BPC是鋭角三角形．
故答案为：115；∠BPC=90°﹣∠A．
　
4．（2018春 衢州期中）如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．
（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？试说明理由
（3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙所示），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．
【解答】解：（1）如图：
由三角形外角的性质，得
∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2．
由三角形的内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180゜；
（2）如图：
由三角形外角的性质，得∠C+∠E=∠1，∠A+∠D=∠2，
由三角形的内角和定理，得∠B+∠1+∠2=180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180゜；
（3）∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD=∠CAD+∠ACD+∠D=180°，
故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，没有变化．
　
知识点3 与三角形有关的角
1.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
　
1．（2018 大庆模拟）如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（　　）
A．40° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD﹣∠EBD，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°，
∴（∠ACD﹣∠ABC）=25°，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°，
故选：C．
　
2．（2018 双清区模拟）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
【解答】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°．
（2）∠EFD=（∠C﹣∠B）
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE==90°﹣（∠C+∠B）
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）
（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）．
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=．
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
3．（2017秋 抚州期末）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改为“∠A=70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A=n°，求∠BOC的度数．
【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，
∴2∠BOC﹣∠A=180°，
∴∠BOC=90°+∠A，
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°；
（2）∠BOC=90°+∠A=125°；
（3）∠BOC=90°+n°．
　
11第6讲 三角形
知识点1 与三角形相关的线段
三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
1．长度分别为x，3，5的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
　
2．四根长度分别为 3、4、6、x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（　　）
A．组成的三角形中周长最小为 9
B．组成的三角形中周长最小为 10
C．组成的三角形中周长最大为 18
D．组成的三角形中周长最大为 16
　
3．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
　
4．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD=x cm）
　
知识点2 多边形及内角和
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.　　
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；
　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数.
　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
1．（2018 贵阳模拟）一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（　　）
A．增加（n﹣2）×180° B．减小（n﹣2）×180° C．增加（n﹣1）×180° D．没有改变
　
2．（2018 聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是_______．
3．（2017秋 梁子湖区期末）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（1）如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=50°，则∠BPC=____°；
（2）如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，直接写出∠BPC与∠A的数量关系_______．
（3）如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α．
①写出∠BPC与α的数量关系；
②根据α的取值范围，直接判断△BPC的形状（按角分类）
　
4．（2018春 衢州期中）如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．
（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？试说明理由
（3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙所示），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．
　
知识点3 与三角形有关的角
1.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
　
1．（2018 大庆模拟）如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（　　）
A．40° B．20° C．25° D．30°
　
2．（2018 双清区模拟）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
3．（2017秋 抚州期末）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改为“∠A=70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A=n°，求∠BOC的度数．
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